Hxhdhdh

YKS TYT
1

IMG20260209225528
IMG20260209225528720×1277 40.9 KB

2

Tip-7, Tip-8 ve Tip-9 Problemleri

Temel Noktalar

  • Tip-7’de a, b, c negatif tam sayılardır ve oranlar a/b=2/3, b/c=4/5 olarak verilmiştir.
  • Tip-8’de a, b, c sıfırdan farklı doğal sayılardır ve oranlar 2a=3b, 4b=5c olarak verilmiştir.
  • Tip-9’da a, b, c, d doğal sayılardır ve ardışık farklar a-b=1, b-c=2, c-d=3 şeklindedir.

En doğrudan cevap:

  • Tip-7 için \max(a+b+c)=-35 (D şıkkı).
  • Tip-8 için \min(a+b+c)=33 (E şıkkı).
  • Tip-9 için \min(a+b+c+d)=14 (C şıkkı).

İçindekiler

  1. Tip-7 Çözümü
  2. Tip-8 Çözümü
  3. Tip-9 Çözümü
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Tip-7 Çözümü

Verilenler:

\frac{a}{b}=\frac{2}{3},\quad \frac{b}{c}=\frac{4}{5},\quad a,b,c<0.

Çözüm adımları:

  1. a=2k,\;b=3k ve b=4m,\;c=5m diyelim.
  2. 3k=4m\;\Rightarrow\;k=4t,\;m=3t için t\in\mathbb{Z}.
  3. O hâlde
    a=8t,\quad b=12t,\quad c=15t.
  4. Negatif tam sayılar için t<0. En büyük toplam $t=-1$’de:
    a+b+c = -8-12-15 = -35.

Dolayısıyla cevap D) –35.

Tip-8 Çözümü

Verilenler:

2a=3b,\quad 4b=5c,\quad a,b,c\in\mathbb{N}^*.

Çözüm adımları:

  1. a=\tfrac{3}{2}b ve b=\tfrac{5}{4}c olacağından tam sayı elde etmek için
    b=2k,\;a=3k ve b=5m,\;c=4m yazalım.
  2. 2k=5m\;\Rightarrow\;k=5t,\;m=2t için t\in\mathbb{N}^*.
  3. Böylece
    a=15t,\quad b=10t,\quad c=8t
    ve
    a+b+c=33t.
  4. En küçük toplam $t=1$’de 33.
    Cevap E) 33.

Tip-9 Çözümü

Verilenler:

a-b=1,\quad b-c=2,\quad c-d=3,\quad a,b,c,d\in\mathbb{N}.

Çözüm adımları:

  1. d için en küçük doğal sayıyı (0) alırsak:
    c=d+3=3,\quad b=c+2=5,\quad a=b+1=6.
  2. Toplam:
    a+b+c+d = 6+5+3+0 = 14.

Cevap C) 14.

Karşılaştırmalı Bakış

Özellik Tip-7 Tip-8 Tip-9
Sayı kümesi Negatif tam sayılar Doğal sayılar (\neq0) Doğal sayılar
Verilen a/b=2/3,\;b/c=4/5 2a=3b,\;4b=5c a-b=1,\;b-c=2,\;c-d=3
En iyi/ekstrem toplam \max=-35 (D) \min=33 (E) \min=14 (C)

Özet Tablosu

Problem Ekstrem Toplam Şık
Tip-7 –35 D
Tip-8 33 E
Tip-9 14 C

SSS

  1. Doğal sayılara sıfır dahildir mi?
    – Türkiye’de genellikle doğal sayılar 1,2,\dots şeklindedir, ancak soruda “sıfırdan farklı” ibaresi yoksa 0 da kabul edilebilir.
  2. Oran problemlerinde t parametresinin işlevi nedir?
    – Oranları tam sayıya çevirmek için en küçük ortak katı temsil eder.
  3. Negatif tam sayılarda en büyük toplamı nasıl bulduk?
    – Parametreyi negatif en büyük değer (t=-1) alarak en küçük mutlak değerli sonuçları elde ederiz.
  4. Ardışık fark problemlerinde sıfır tercih edilmezse sonuç nasıl değişir?
    – d\ge1 seçilirse toplam artar; örneğin d=1 için toplam 18 olur.

Çözüm adımlarında takıldığınız veya daha fazla örnek istediğiniz bir bölüm var mı? @Ahmet_Yasin1

3

Verilen Matematik Problemlerinin Çözümü

Önemli Noktalar

  • Birinci problemde a, b, c negatif tam sayılar ve orantılar verilmiş.
  • İkinci problemde a, b, c sıfırdan farklı doğal sayılar ve doğrusal ilişkiler var.
  • Üçüncü problemde a, b, c, d doğal sayılar ve üç denklem sıralı olarak verilmiş.
  • Her soru, verilen koşullar altında toplamların en büyük ya da en küçük değerlerini sormaktadır.

İçindekiler

  1. Birinci Soru Çözümü (Negatif Sayılar)
  2. İkinci Soru Çözümü (Doğal Sayılar)
  3. Üçüncü Soru Çözümü (Doğal Sayılar ve Denklem Sistemi)

1. Birinci Soru Çözümü (Negatif Tam Sayılar)

Verilen:

\frac{a}{b} = \frac{2}{3} \quad, \quad \frac{b}{c} = \frac{4}{5}

ve a, b, c negatif tam sayılar.

Amaç: a + b + c toplamının en büyük değeri.

Adımlar:

  1. Oranları birleştir:
\frac{a}{b} = \frac{2}{3} \implies a = \frac{2}{3}b
\frac{b}{c} = \frac{4}{5} \implies b = \frac{4}{5}c

Böylece:

a = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} c = \frac{8}{15} c
  1. Hepsi tam sayı olduğuna göre paydaları eşitleyelim. c öyle seçilmeli ki a, b, c tam sayı olsun. Paydası 15 olan bir sayı seçmeli:
c = -15k \quad (k>0 \text{ çünkü } c \text{ negatif})

Burada negatif olmasının nedeni a,b,c negatif tam sayı olmasıdır.

  1. Sırayla sayıları yazalım:
c = -15k, \quad b = \frac{4}{5} c = \frac{4}{5}(-15k) = -12k, \quad a = \frac{8}{15} c = \frac{8}{15} (-15k) = -8k
  1. Toplam:
a + b + c = -8k - 12k - 15k = -35k
  1. k pozitif tam sayı, en büyük değer için k=1 olmalı:
a + b + c = -35

Sonuç: Toplamın en büyük değeri -35’tir. Doğru cevap D şıkkı.

:light_bulb: Pro Tip: Negatif sayılarla çalışırken, çarpanların pozitif olması lazım ama tüm değişkenler negatif ise, en küçük mutlak değeri kullanarak toplamın en büyüğünü bulabilirsiniz.

2. İkinci Soru Çözümü (Sıfırdan Farklı Doğal Sayılar)

Verilenler:

2a = 3b
4b = 5c

a, b, c sıfırdan farklı doğal sayılardır.

Amaç: a + b + c toplamının en küçük değeri.

Adımlar:

  1. Denklem sisteminden yazalım:
2a = 3b \implies a = \frac{3b}{2}
4b = 5c \implies c = \frac{4b}{5}
  1. a, b, c doğal sayı olduğu için paydaların ortak katını bulmalıyız:

a = \frac{3b}{2} tam sayı olmalı → b çift olmalı.
c = \frac{4b}{5} tam sayı olmalı → b beşin katı olmalı.

Bunu sağlamak için b en küçük ortak kat olan 10 olmalı.

  1. b = 10 için:
a = \frac{3 \times 10}{2} = 15
c = \frac{4 \times 10}{5} = 8
  1. Toplam:
a + b + c = 15 + 10 + 8 = 33

Sonuç: Toplamın en küçük değeri 33’tür. Doğru cevap E şıkkı.

3. Üçüncü Soru Çözümü (Doğal Sayılar ve Denklem Sistemi)

Verilen:

a - b = 1
b - c = 2
c - d = 3

Amaç: a + b + c + d toplamının en küçük değeri nedir?

Adımlar:

  1. Denklemlerden a,b,c,d birbirine bağlanır:
a = b + 1
c = b - 2
d = c - 3 = b - 2 - 3 = b - 5
  1. Toplamı yazalım:
a + b + c + d = (b + 1) + b + (b - 2) + (b - 5) = 4b - 6
  1. a,b,c,d doğal sayı olduğundan (en az 1):

Koşullara bakalım:

  • c = b - 2 \geq 1 \implies b \geq 3
  • d = b - 5 \geq 1 \implies b \geq 6

Bunların en katı koşulu b \geq 6.

  1. En küçük b = 6 için:
a = 6 + 1 = 7, \quad b = 6, \quad c = 6 - 2 = 4, \quad d = 6 - 5 = 1
  1. Toplam:
a + b + c + d = 7 + 6 + 4 + 1 = 18

Sonuç: Toplamın en küçük değeri 18’dir. Doğru cevap E şıkkı.

Özet Tablo

Soru No Koşullar Amaç Sonuç Şık
1 a,b,c negatif tam sayılar a + b + c en büyük -35 D
2 a,b,c sıfırdan farklı doğal sayılar a + b + c en küçük 33 E
3 a,b,c,d doğal sayılar ve denklem sistemi a + b + c + d en küçük 18 E

Sık Sorulan Sorular

1. Negatif tam sayılarda oranlardan tam sayı bulmak için ne yapmalıyız?
Paydaların ortak katını dikkate alarak, her değişken için tam sayı olacak şekilde katsayılar kullanmalısınız. Özellikle negatif sayı koşulunda işaretlere dikkat edin.

2. Doğal sayılarda verilen oranların sonucu tam sayı olmalı derken ne demektir?
Oranların paydalarının ortak katına göre sayıların değerini seçmeniz yani kesirli sonuç çıkmaması gerekir.

3. Denklem sisteminde en küçük toplam nasıl bulunur?
Değişkenleri birbirine bağlayan ifadeler yardımıyla toplamı tek bir değişkene indirgemeli ve tanım kümesine göre en küçük tam değeri bulmalısınız.

Başka hangi matematik problemlerinde yardıma ihtiyacınız var? Daha zor denklem sistemleri ya da kesir problemleri hakkında da açıklama yapabilirim. @Ahmet_Yasin1