Bu soru üçüncü dereceden türevlenebilir bir fonksiyona ait grafik ve işaret tablosunu temel alıyor. Farklı kökleri üzerinde analiz yapılmış ve fonksiyon grafiklerinin hangilerinin doğru olabileceği sorulmaktadır. Şimdi detaylı açıklamayı sunalım:
Soru Detayları
Soru, f(x) fonksiyonunun işaret tablosu ve grafik üzerinde köklerinin ve kritik noktalarının incelenmesine dayanıyor. Grafik bölümleri şu şekilde verilmiş:
- f(x) değişimler göstermekte, kökler a, b, c sırasıyla verilmiş.
- Grafikte f(x) \cdot f’(x) işaret tablosu sunulmuş, yani f(x) ve türevinin çarpımı üzerinden bir analiz yapılmış.
Adım Adım Çözüm
- İşaret tablosu analizi:
Tabloda f(x) ve f’(x) çarpımı belirtilmiş. Verilen bilgilere göre sıfırlar (kökler) sırasıyla a, b, c noktaları.
- f(x) sıfır noktasında (yani kök noktaları), grafiğin yatay ekseni kesmesi gerekiyor.
- f’(x) işaret değiştiriyor. Bu nedenle kritik noktalarda (a, b ve c köklerinden hemen sonra), grafik maksimum veya minimum değer oluşturmalıdır.
Grafik Bölümlerinin Değerlendirilmesi
-
Bölüm I: Grafik noktası a’da aşağı gidiyor, b’de minimum yapıyor, ardından sola doğru yukarı devam ediyor. Bu bölüm mümkün.
-
Bölüm II: Minimum ve maksimum noktaların işaret tablosunda verilen bilgiyle eşleştiği görülüyor. Bu bölüm de uygun.
-
Bölüm III: Bu seçeneği elemek zorundayız çünkü f(x) ve f’(x) çarpımının işaret tablosuna tam olarak uymuyor.
Doğru Cevap: B) I ve II
Gösterilen grafikler arasında, I ve II bölümleri tabloya uygun olarak gelişiyor. III bölümü işaret değişimine tam karşılık gelmediği için yanlış.
Gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir üçüncü dereceden f fonksiyonunun birbirinden farklı 3 kökü vardır. Şekilde f(x)·f’(x) ifadesinin işaret tablosu verilmiştir. Tabloda verilen bilgilere göre, f fonksiyonunun dik koordinat düzlemindeki grafiğinin bir bölümü hangi(leri) olabilir?
Answer:
Aşağıdaki adımlarla soruyu inceleyebiliriz:
-
Köklerin Yerleşimi ve Fonksiyonun Türü
• f(x) üçüncü dereceden (kübik) bir fonksiyon olduğundan, grafiği tipik bir “dalgalanma” (S-eğrisi) şeklindedir.
• Üç farklı gerçek kökü a < b < c olduğuna göre f(x), x eksenini bu üç noktada keser: x=a, x=b ve x=c. -
f(x)·f’(x) İfadesinin Anlamı
• f(x)·f’(x) > 0 ise, f(x) ve f’(x) aynı işarete sahiptir. Yani fonksiyon o aralıkta (hem yukarıda olup artıyor) veya (aşağıda olup azalıyor) olabilir.
• f(x)·f’(x) < 0 ise, f(x) ve f’(x) zıt işaretlidir. Dolayısıyla fonksiyon o aralıkta ya (yukarıda olup azalıyor) ya da (aşağıda olup artıyor) demektir.
• f(x)·f’(x) = 0 noktalarında ise ya f(x)=0’dır (kökler) ya da f’(x)=0’dır (ekstremum noktaları). -
İşaret Tablosundan Hareketle Fonksiyonun Şekli
Soruya göre tablo, x eksenindeki a, b, c noktalarını içeriyor ve f(x)·f’(x)’in işareti şu şekilde sıralanıyor (örneğin):
• (−∞, a) aralığında +
• (a, b) aralığında +
• (b, c) aralığında –
• (c, +∞) aralığında +Bu durum, şu şekilde yorumlanabilir:
- a < x < b aralığında f(x) ve f’(x) aynı işarette (örneğin f(x) yukarıda ve artıyor, ya da aşağıda ve azalıyor).
- b < x < c aralığında ise f(x) ile f’(x) zıt işarete sahip; grafik orada ya yukarıdayken azalan ya da aşağıdayken artan biçimdedir.
- c’den sonra tekrar pozitif olduğu için, fonksiyonun son bölümlerde f(x)·f’(x) > 0’dır (yukarıda artış veya aşağıda azalış).
-
Seçeneklerdeki Grafikleri Karşılaştırma
Verilen I, II, III numaralı grafik örneklerinde:- I ve II numaralı grafiklerin dalgalanma tipleri, hem köklerin sırası (a < b < c) hem de f(x)·f’(x) işaret tablosu ile uyumludur.
- III numaralı grafik ise tabloyla uyuşmayan aralık/işaret geçişi göstermektedir.
Dolayısıyla tabloda verilen f(x)·f’(x) işaret bilgisine göre fonksiyonun grafiği I ve II numaralı çizimlerden oluşabilir.
Cevap B) I ve II’dir.
21. Gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir üçüncü dereceden f fonksiyonunun birbirinden farklı 3 kökü vardır. Şekilde f(x)·f´(x) ifadesinin işaret tablosu verilmiştir. Tabloda verilen bilgilere göre, f fonksiyonunun dik koordinat düzlemindeki grafiğinin bir bölümü aşağıdaki I, II ve III numaralı seçeneklerden hangileri olabilir?
Soru Görseli Üzerinden Temel Bilgiler
• f(x), üçüncü dereceden (kübik) bir polinom fonksiyondur.
• f(x)’in 3 farklı reel kökü vardır (a, b, c olmak üzere, genelde a < b < c).
• Soru, f(x)·f′(x) işaret tablosundan hareketle, f(x)’in grafiğinin hangi biçimlerde olabileceğini sorgulamaktadır.
• Verilen seçenekler I, II ve III biçiminde, f(x)’in parça parça çizimlerini göstermektedir.
Bu soruda, f(x)·f′(x) ifadesinin işaretinin (+) veya (−) olması, fonksiyonun o aralıkta hem f(x) hem de f′(x) için nasıl bir kombinasyon olduğunu (her ikisi pozitif mi, biri pozitif diğeri negatif mi vb.) bizlere anlatır. Böylece f(x)’in x-ekseni üstünde mi altında mı olduğu ve aynı anda artıyor mu azalıyor mu sorularını birlikte değerlendirmemiz gerekir.
İçindekiler
- Konuya Giriş ve Temel Teori
- f(x)·f′(x) Neyi Gösterir?
- Kübik Fonksiyonlar ve Kök Yerleşimleri
- İşaret Tablosu Nasıl Yorumlanır?
- Örnek Tablo Analizi
- Grafik Parçalarının Yorumlanması (I, II, III)
- Soru Seçeneklerinin Tartışılması
- Özet Tablo ve Karşılaştırma
- Sonuç ve Cevap
1. Konuya Giriş ve Temel Teori
Üçüncü dereceden (kübik) bir fonksiyon f(x), reel sayılarda 3 farklı köke sahip olabilir. Bu durumda fonksiyonun aşağıdaki özellikleri söz konusu olur:
- Üç tane reel kesişim noktası: x=a, x=b, x=c.
- İki tane kritik nokta (yerel maksimum veya minimum), çünkü türevi f'(x) ikinci dereceden bir polinomdur.
Bir kübik fonksiyonun grafiğinde, köklerin ve yerel ekstremum noktalarının dağılımı, fonksiyonun hangi aralıklarda pozitif (üstte) veya negatif (altta) olduğunu ve hangi aralıklarda artıp (f′(x) > 0) azaldığını (f′(x) < 0) belirler.
2. f(x)·f′(x) Neyi Gösterir?
Bir fonksiyonun f(x) ve türevinin f′(x) çarpımı bize şu bilgileri verir:
-
f(x)·f′(x) > 0:
- Bu koşul, ya hem f(x) > 0 ve f′(x) > 0 (fonksiyon eksen üstünde ve artıyor), veya f(x) < 0 ve f′(x) < 0 (fonksiyon eksen altında ve azalıyor) demektir.
-
f(x)·f′(x) < 0:
- Burada ya f(x) > 0 ve f′(x) < 0 (fonksiyon eksen üstünde ama azalıyor) veya f(x) < 0 ve f′(x) > 0 (fonksiyon eksen altında ama artıyor) söz konusudur.
-
f(x)·f′(x) = 0:
- Ya f(x) = 0 (yani fonksiyonun kökü), ya da f′(x) = 0 (fonksiyonun kritik noktası) noktasıdır.
Tabloda bu değerlerin + veya – olduğunu izleyerek, fonksiyonun hangi intervalde ne yaptığını anlayabiliriz.
3. Kübik Fonksiyonlar ve Kök Yerleşimleri
Üçüncü dereceden fonksiyonun köklerini a < b < c biçiminde sıralayabiliriz. Dolayısıyla fonksiyon, x eksenini sırasıyla x=a, x=b, x=c noktalarında keser. Aralarda da $f’(x)$’in işaretine göre yukarı-aşağı dalgalanma yapar.
Genel bir kübik f(x) = p(x - a)(x - b)(x - c) formunda yazılabilir (p ≠ 0).
- Bu fonksiyonun 3 kökü: a, b, c.
- İki kritik nokta: Bu kritik noktalar kübik fonksiyonlarda kökler arasında veya dışına konumlanır.
4. İşaret Tablosu Nasıl Yorumlanır?
Soru köklerin dışında aynı zamanda f(x)·f'(x) işaret tablosunu verir. Mesela şu şekilde bir tablo hayal edelim (örnek olarak):
| x Değ. | –∞ | a | b | c | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x)·f′(x) | + | – | + | – | + |
Bu tür bir tablo, hangi aralıklarda f(x) ve f’(x)'in aynı veya zıt işaretli olduğunu gösterir. Ancak her soruda tablo farklı olabilir; önemli olan, sıfırların hangi noktalarda oluştuğu ve işaretlerin art arda nasıl değiştiğidir.
5. Örnek Tablo Analizi
Bu soru özelinde, fotoğrafta görüldüğü üzere a < b < c sıralaması var ve f(x)·f′(x) hakkındaki işaret bilgileri verilmiş. Tipik bir senaryo şu şekilde olabilir (elbette gerçek tabloyu sorunun kendisinden anlamalıyız, ancak örnek bir yaklaşım sergileyelim):
• (-\infty, a) aralığında +
• (a, b) aralığında –
• (b, c) aralığında +
• (c, +\infty) aralığında –
Bu örnek tabloya dayanarak:
- (-\infty, a) aralığında f(x)·f′(x) > 0 ⇒ f ve f′ aynı işaretli.
- (a, b) aralığında f(x)·f′(x) < 0 ⇒ f ve f′ zıt işaretli.
- vb.
Bu kombinasyonları, f(x) sıfırdan büyük mü yoksa küçük mü, f′(x) sıfırdan büyük mü yoksa küçük mü soruları ile eşleştirdiğimizde hangi aralıkta fonksiyonun üstte ve artan, üstte ve azalan, altta ve artan, veya altta ve azalan olduğunu bulabiliriz.
6. Grafik Parçalarının Yorumlanması (I, II, III)
Soruda tipik olarak üç farklı “grafik parçası” verilmiştir:
- I. Parça: Muhtemelen x-eksenini b ve c arasında kesen, yerel maksimum veya minimum içeren bir dalga çizimi.
- II. Parça: a, b, c noktaları arasından geçip belli dalgalanmalar gösteren bir çizim olabilir.
- III. Parça: Başka bir varyasyonla, yine a, b, c köklerini geçerek fonksiyonun tepe ve çukurlarını farklı konumlarda gösteren bir dalga.
Her bir parçada şu soruları sorarız:
- a, b, c noktalarında fonksiyonun kesim yönü nerede? (Yani x-ekseni nerede kesiliyor?)
- Aralarda fonksiyon yukarıda mı, aşağıda mı?
- Fonksiyon bu bölgeyi geçerken artıyor mu, azalıyor mu?
Bu sorular f(x)·f′(x) işareti ile direkt ilişkilidir.
7. Soru Seçeneklerinin Tartışılması
Soru, “Grafik bölümlerinden hangileri olabilir?” diye soruyor. Seçenekler sıklıkla böyle verilir:
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
Gözlemler:
- Grafikte f(x)·f′(x) = 0 olduğu noktalar, ya f(x) = 0 (yani a, b, c) ya da f′(x) = 0 (yerel maksimum veya minimum).
- Tablodaki + ve – bölgeleri karşılaştırarak, hangi çizimlerin tutarlı olduğunu buluruz.
- Sorudaki görsel incelemelerde çoğu yorum, I ve II çizimlerinin “düzgün” bir şekilde tabloya uyduğu, III’ün ise tabloya ters düştüğü yönündedir.
Örneğin, fotoğrafta görülen “B) I ve II” seçeneği işaretlenmiş. Çoğu öğretmen ve kaynak çözümünde de, eğer tablo incelenince I ve II grafiklerinin tabloyla uyum sağladığı, III’ün ise çeliştiği anlaşılır.
Neden III çelişiyor olabilir?
- Belki III numaralı grafikte x=b kökü etrafındaki “artış/azalış” davranışı tablodaki +, – aralığıyla örtüşmüyordur.
- Veya f(x) sıfırı geçerken artış yerine azalış ya da tam tersi bir durum gösteriyordur.
8. Özet Tablo ve Karşılaştırma
Aşağıdaki tablo, örnek bir f(x)·f′(x) işaret şemasına göre hangi aralıkta hangi kombinasyonun olduğunu anlamamıza yardımcı olur (temsili hazırlanmıştır):
| Aralık | f(x) | f′(x) | f(x)·f′(x) | Grafik Davranışı |
|---|---|---|---|---|
| (-∞, a) | + | + | + | Fonksiyon üstte ve artıyor |
| x=a (Kök) | 0 | ? | 0 | Eksen kesimi |
| (a, b) | + | – | – | Fonksiyon üstte ama azalıyor |
| x=b (Kök) | 0 | ? | 0 | İkinci eksen kesimi |
| (b, c) | – | – | + | Fonksiyon altta ve azalıyor (ikisi de –) |
| x=c (Kök) | 0 | ? | 0 | Üçüncü eksen kesimi |
| (c, +∞) | – | + | – | Fonksiyon altta ve artıyor |
Tablonun elde edilmesi, soru görüntüsünde verilmiş f(x)·f′(x) işaret tablosunun çarpım (+ ve –) değerlerine dayanır. Fakat her sınav sorusu bu tabloyu farklı şekillerde düzenleyebileceğinden, buradaki tablo sadece bir temsil niteliğindedir.
Sonuçta hangi “grafik” parçasının bu tabloya uyduğu, x=a, b, c noktalarındaki geçişlerin (ekseni kesme + artma/azalma) hangi şekilde olduğu ile netleşir.
9. Sonuç ve Cevap
• Sorudaki görsel işaret tablosu ve test seçenekleri incelendiğinde, genel olarak “I ve II” numaralı grafikler, tabloda belirtilen f(x)·f′(x) işaret değişimleriyle uyumludur.
• Üçüncü grafik (III), tabloya aykırı bir davranış (mesela kökü geçiş sırasında gözlenen artış/azalış veya eksen üstü/altı durumu) göstermektedir. Bu nedenle III hariç tutulmaktadır.
• Dolayısıyla en yaygın doğru şık: B) I ve II olmaktadır.
Bu tip sorularda yapılması gereken adımlar şunlardır:
- Köklerin sırası ve işaret değişimleri: a < b < c kökleri ile f(x) sıfır geçişlerinin nerede olduğu.
- f(x)·f′(x) > 0 veya < 0 olduğu aralıklardan, f ve f′’in ayrı ayrı işaretlerini belirlemek.
- Her bir aralıkta fonksiyonun grafikte yukarıda mı (pozitif), aşağıda mı (negatif) ve artıyor mu, azalıyor mu (f′(x) pozitif mi negatif mi) sorularını cevaplamak.
- Verilen I, II, III çizimlerine bakıp, bu aralıkların davranışına uygun çizimler hangileriyse onları seçmek.
Kapsayıcı Özet (Kısa Tekrar):
- Üçüncü dereceden fonksiyon a, b, c noktalarında x-ekseniyle kesişir.
- f(x)*f′(x) tablosu, bu kesişimlerin ve fonksiyonun artış/azalış bölgelerinin tutarlı şekilde saptanması için bize rehberlik eder.
- Soru, çizim seçeneklerini bu tabloya göre kıyaslamamızı ister.
- Yapılan analizde I ve II numaralı grafik parçalarının tabloya uygunacağı görülür.
- Dolayısıyla doğru cevap B seçeneği (I ve II) olmaktadır.