Huguggjgg

LİSE 12.sınıf
,
1

20251003_092154
20251003_092154720×960 23.1 KB

2

26. soru: y = f(x), pozitif gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olmak üzere,

log_9 (f(x)) = 1 + log_3 x eşitliği veriliyor. Buna göre, log_3 (f \circ f)(1) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm adımları:

1. Verilen denklemi analiz edelim:

\log_9 (f(x)) = 1 + \log_3 (x)

Burada, farklı tabanlarda logaritmalar var. Logaritma tabanlarını aynı hâle getirmek için:

\log_9 (f(x)) = \frac{\log_3 (f(x))}{\log_3 (9)} = \frac{\log_3 (f(x))}{2}

Çünkü:

9 = 3^2 \implies \log_3 9 = 2

Buna göre:

\frac{\log_3 (f(x))}{2} = 1 + \log_3 (x) \\ \Rightarrow \log_3 (f(x)) = 2 (1 + \log_3 (x)) = 2 + 2 \log_3 (x)

2. Logaritmanın toplama özelliğini kullanalım:

2 + 2 \log_3 (x) = \log_3 (3^2) + \log_3 (x^2) = \log_3 (9) + \log_3 (x^2)

Toplam logaritma:

\log_3 (9) + \log_3 (x^2) = \log_3 (9 \cdot x^2) = \log_3 \left(9 x^2\right)

Dolayısıyla:

\log_3 (f(x)) = \log_3 \left(9 x^2\right) \implies f(x) = 9 x^2

3. Fonksiyon tanımlandı: f(x) = 9 x^2

4. Soruda log_3 (f \circ f)(1) isteniyor.

Yani:

\log_3 \left( f(f(1)) \right) = ?

Önce f(1)'i bulalım:

f(1) = 9 \cdot 1^2 = 9

Şimdi f(f(1)) = f(9)'u bulalım:

f(9) = 9 \cdot 9^2 = 9 \cdot 81 = 729

5. Son olarak:

\log_3 ( f(f(1)) ) = \log_3 (729)

Bilinen:

3^6 = 729

Yani:

\log_3 (729) = 6

6. Burada önemli bir nokta var: sonuca 6 bulduk ama seçeneklerde yok. Soruda log_3 (f o f)(1) işlemi isteniyor, yani bileşik fonksiyonun logaritması.

Ancak soruda yazım farklı olabilir, veya bir kısım kaçırılmış olabilir.

Fakat eğer bize log_9 (f(x)) = 1 + log_3 x verilmiş, ve biz log_3 ( f(f(1)) ) istenmiş ise yukarıdaki işlemler doğrudur.

7. Ancak soruda logaritma tabanı farklı ise, kontrol edelim:

Alternatif olarak basitçe daha önce bulunan haliyle f(x) = 9 x^2 ise f(f(1)) = 729, bunu log_3 tabanında yazalım:

\log_3 (729) = 6

Sonuç 6’dır.

8. Soruda cevaplar 7, 9, 11, 13, 14 olarak verilmiş. Belki cevap bizden log_3 (f(f(1))) + 1 bekleniyor veya log_3 (f(f(1))) işlemi başka şekilde yorumlandı.

Alternatif Yöntem:

Başka şekilde yorumlamak için:

İlk ifadeyi şu şekilde yazalım:

\log_9 (f(x)) = 1 + \log_3 (x)
\Rightarrow \log_3 (f(x)) = 2 + 2 \log_3 (x)

Yani daha önceden de bulduğumuz gibi.

Şimdi,

g(x) = \log_3 (f(x)) = 2 + 2 \log_3(x)

Buna göre,

g(f(x)) = ?

Çünkü,

\log_3 (f(f(x))) = g(f(x))

f(x) = 9 x^2 olduğu için:

g(f(x)) = 2 + 2 \log_3 (f(x)) = 2 + 2 g(x)

Ama g(x) = 2 + 2 \log_3 (x) olduğundan:

g(f(x)) = 2 + 2 (2 + 2 \log_3 (x)) = 2 + 4 + 4 \log_3 (x) = 6 + 4 \log_3 (x)

Öyleyse:

\log_3 (f(f(1))) = g(f(1)) = 6 + 4 \log_3 (1) = 6 + 4 \cdot 0 = 6

Yine 6 buluyoruz.

Sonuç olarak:

Verilen bilgi ve çözüm adımlarına göre, doğru cevap bulunması gereken değer 6'dır.

Ancak cevap seçeneklerinde 6 yok. Soruda ya yazım hatası var ya da işlem log_3 (f(f(1))) değil başka bir işlem olabilir.

Özet tablo:

İşlem Değer
f(x) 9x^{2}
f(1) 9
f(f(1)) = f(9) 9 \times 9^2 = 729
\log_3 (f(f(1))) \log_3 (729) = 6

Eğer sorunun log_3 (f \circ f)(1) işlemi değil de başka bir işlem türü olduğunu düşünüyorsanız lütfen belirtin. Ancak mevcut bilgilerle cevap 6’dır.

@Cruciale

3

Soru:

Pozitif gerçek sayılarda tanımlı (y=f(x)) fonksiyonu için
[
\log_{9}\bigl(f(x)\bigr)=1+\log_{3}x
]
eşitliği veriliyor. Buna göre
[
\log_{3}\bigl(f\circ f\circ f\bigr)(1)
]
işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm Adımları

  1. Eşitliği tek bir tabana çevirelim.
    (\log_{9}f(x)) yerine, taban dönüştürme kuralı kullanarak
    [
    \log_{9}f(x)
    =\frac{\log_{3}f(x)}{\log_{3}9}
    =\frac{\log_{3}f(x)}{2}
    ]
    yazabiliriz. Böylece eşitlik
    [
    \frac{\log_{3}f(x)}{2} ;=;1+\log_{3}x
    ]
    olur.

  2. (\log_{3}f(x))’i yalnız bırakalım.
    Her iki tarafı 2 ile çarparsak
    [
    \log_{3}f(x)=2\bigl(1+\log_{3}x\bigr)
    =2+2\log_{3}x
    =2+\log_{3}(x^2)
    =\log_{3}\bigl(3^2\cdot x^2\bigr)
    =\log_{3}!(9x^2)
    ]
    bulunur.

  3. (f(x))’i elde edelim.
    (\log_{3}f(x)=\log_{3}(9x^2)) olduğuna göre, pozitif tanım kümesi sayesinde
    [
    f(x)=9x^2
    ]
    sonucunu elde ederiz.

  4. Kompozisyonları sırayla hesaplayalım.

    • (f(1)=9\cdot1^2=9)
    • (f\bigl(f(1)\bigr)=f(9)=9\cdot9^2=9^3=729)
    • (f\bigl(f(f(1))\bigr)=f(729)=9\cdot729^2
      =9\cdot(3^6)^2
      =9\cdot3^{12}
      =3^2\cdot3^{12}
      =3^{14})

  5. Son olarak logaritmayı alalım.
    [
    \log_{3}\bigl(f\circ f\circ f\bigr)(1)
    =\log_{3}\bigl(3^{14}\bigr)
    =14.
    ]

Sonuç Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1. Taban dönüşümü (\log_{9}f(x)=\tfrac{\log_{3}f(x)}{2}) –
2. Logaritmayı yalnız bırakma (\log_{3}f(x)=2+2\log_{3}x) –
3. Fonksiyonun bulunması (f(x)=9x^2) –
4. Kompozisyonlar (f(1)=9,;f(f(1))=729,;f^3(1)=3^{14}) –
5. Son logaritma (\log_{3}(3^{14})=14) 14

Yanıt: E) 14
@Cruciale