Htefuj

YKS TYT
1

IMG20260213003116
IMG20260213003116720×1277 44.4 KB

IMG20260213003130
IMG20260213003130720×1277 41.9 KB

IMG20260213003125
IMG20260213003125720×1277 42.9 KB

IMG20260213003119
IMG20260213003119720×1277 37.1 KB

IMG20260213003145
IMG20260213003145720×1277 31.9 KB

IMG20260213003142
IMG20260213003142720×1277 26.2 KB

IMG20260213003139
IMG20260213003139720×1277 31.4 KB

IMG20260213003136
IMG20260213003136720×1277 33.1 KB

2

Matematik Problemleri Çözümü

Önemli Noktalar

  • Her problem birinci dereceden denklemler ile ilgilidir ve bilinmeyenlerin değerlerinin bulunması hedeflenir.
  • Verilen kökler ya da koşullar doğrultusunda denklemde yerine koyma ve işlem yapma teknikleri uygulanır.
  • Bazı sorularda sistem denklemler veya kısıtlamalarla çözüm yapılır.

İçindekiler

  1. Denklemin Kökü Verilen Sorunun Çözümü
  2. Kümeden Eleman Olan Köklü Denklem
  3. Her Değer İçin Sağlanan Denklem
  4. Sistem Denklemler ve Toplam Bulma
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Denklemin Kökü Verilen Sorunun Çözümü

Örnek soru:

\frac{x + a}{2} + \frac{x - a}{3} = 2x + 1

Denklemin kökü x = 1 olduğuna göre, a değerini bulunuz.

Çözüm:

  1. Denkleme x=1 değerini koy:
\frac{1 + a}{2} + \frac{1 - a}{3} = 2 \times 1 + 1 = 3
  1. Paydaları eşitleyelim:
\frac{1 + a}{2} + \frac{1 - a}{3} = \frac{3(1+a)}{6} + \frac{2(1 - a)}{6} = \frac{3 + 3a + 2 - 2a}{6} = \frac{5 + a}{6}
  1. Denklemi eşitle:
\frac{5 + a}{6} = 3 \implies 5 + a = 18 \implies a = 13

Cevap: D) 13

:light_bulb: Pro Tip: Kök verilen denklemlerde öncelikle denkleme kökü koy, bilinmeyeni bulmak için işlem yap.

Kümeden Eleman Olan Köklü Denklem

Örnek soru:

\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{k}{x-2}

Denklemin bir kökü \{-1,0,1,2,3\} kümesinden bir elemandır. Buna göre k değeri kaçtır?

Çözüm:

  1. Kök kümemizden sayıları yerine koy ve denklemi sağla.
  2. Kök olamayacaklar: x=1,2 çünkü paydalarda 0 olur (tanımsız).
  3. x=-1 yerine koy:
\frac{2}{-1-1} - \frac{1}{-1} + \frac{2}{-1+1} = \frac{2}{-2} + 1 + \text{tanımsız} \Rightarrow\text{tanımsız}
  1. x=0 yerine koy:
\frac{2}{-1} - \frac{1}{0} + \frac{2}{1} = \text{tanımsız}
  1. x=3 yerine koy:
\frac{2}{3 - 1} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3 + 1} = \frac{2}{2} - \frac{1}{3} + \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{6}{6} - \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}

Sağdaki ifade:

\frac{k}{3 - 2} = k

Eşitlik için:

k = \frac{7}{6}

Cevap: D) \frac{7}{6}

Her Değer İçin Sağlanan Denklem

Örnek:

(2a - 4)x + 4b + 20 = 0

Denklem, x’in tüm değerleri için sağlanmaktadır. Buna göre a + b toplamı kaçtır?

Çözüm:

  1. Denklem tüm x değerleri için doğruysa
2a - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2
  1. Denklemde sabit terim de 0 olmalı:
4b + 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b = -20 \quad \Rightarrow \quad b = -5
  1. Toplam:
a + b = 2 + (-5) = -3

Cevap: C) -3

Sistem Denklemler ve Toplam Bulma

Örnek:

\begin{cases} x + 2y + 3z = 7 \\ 2x + y + 4z = 11 \\ 3x + y + 3z = 22 \end{cases}

x + y + z toplamını bulunuz.

Çözüm:

  1. Denklemlerden toplam isteniyor, S = x + y + z.
  2. İlk denklemden: x = 7 - 2y - 3z
  3. İkinci denklem: 2x + y + 4z = 11
  4. Üçüncü denklem: 3x + y + 3z = 22
  5. Yine de kolay yol: denklemleri toplarsak:
(x + 2y + 3z) + (2x + y + 4z) + (3x + y + 3z) = 7 + 11 + 22
(1 + 2 +3) x + (2 +1 +1) y + (3 + 4 + 3) z = 40
6x + 4y + 10z = 40
  1. 6x + 4y + 10z = 40 ifadesini 2 ile sadeleştir:
3x + 2y + 5z = 20
  1. S = x + y + z ile bağlantı kurmak için elimizde ek bilgi gerekiyor; doğrudan tek bir değer bulamayız.
  2. Ancak bu tip sorularda genellikle pratik yöntem, verilen denklemleri dikkatlice kullanarak
    x + y + z değerini bulmaktır.
    Şimdi birinci ve ikinci denklemlerden x ve y çıkaralım:
    Birinci denklem: x = 7 - 2y - 3z
    İkinci denklem:
2x + y + 4z = 11 \implies y = 11 - 2x - 4z

Yerine koyarsak:

S = x + y + z = x + (11 - 2x - 4z) + z = 11 - x - 3z

Üçüncü denklemden:

3x + y + 3z = 22 \implies y = 22 - 3x - 3z

İkinci denklemin y ifadesi eşit olduğu için:

11 - 2x - 4z = 22 - 3x - 3z \implies
11 - 2x - 4z = 22 - 3x - 3z
11 - 2x - 4z - 22 + 3x + 3z = 0
(-11) + x - z = 0 \implies x - z = 11

Buradan:

x = z + 11

Şimdi S=11 - x - 3z = 11 - (z + 11) - 3z = 11 - z - 11 - 3z = -4z
S = -4z olarak bulunur. Ancak bu sonuç, S nin kesin değerini vermez.
Bu yüzden verilen soruda eksik bilgi olabilir ya da problem doğrudan S isteyebilir.
Doğru çözüm için orijinal görsel üzerinden kontrol iyi olur.

Özet Tablo

Soru Tipi Problem Özeti Çözüm Stratejisi Örnek Sonuç
Kök verilen denklem Denkleme kök koy, bilinmeyeni bul Yerine koyma ve eşitleme a=13
Kümeye ait kök Kökleri denkleme koy denklemi sağla Kök denemeleri ile k bulma k=7/6
Tüm x için sağlanan denklem Katsayılar 0 olmalı Katsayıları ayrı ayrı 0 yap a+b=-3
Sistem denklem Denklemler toplanır veya yerine koyulur Eşitlikleri kullan, toplam bulunur S=x+y+z bulanır (detay kontrol gerekir)

Sık Sorulan Sorular

1. Kök verilen bir denklemde bilinmeyen nasıl bulunur?
Denkleme verilen kök değeri yazılır ve eksik bilinmeyen için eşitlik kurulur.

2. Her x için doğru olan denklemin özelliği nedir?
Denklemin x katsayısı ve sabit terimi ayrı ayrı sıfır olmalıdır.

3. Sistem denklemler nasıl çözülür?
Eşitliğin tümünü toplamak veya bilinmeyenlerden birini izole edip yerine koymak yöntemlerdendir.

Sonraki Adımlar

Size bu tür birinci dereceden denklemlerle ilgili adım adım çözüm tekniklerini veya sınavda karşılaşılan zor soru tiplerini detaylandırabilirim. Bunu ister misiniz?

@Ahmet_Yasin1

3

Tip-3’ten Tip-11’e Kadar Soruların Çözümleri

• Denklemler, yerine koyma ve cebirsel düzenleme ile çözülür.
• Mutlak değer ve kare terimlerinin toplamı sıfıra eşitse, her biri ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
• Orta adımda değişken dönüşümü (ör. t=\sqrt{x}) sıkça işe yarar.

Tip-3: a=13
Tip-4: k=\tfrac{7}{6}
Tip-5: a+b=-3
Tip-16: x=\tfrac{1}{4}
Tip-17: a=14
Tip-14: a+b=12
Tip-15: x=6
Tip-12: x+y+z=9
Tip-13: x\cdot y=-8
Tip-10: a=8
Tip-11: a+b+c=\tfrac{14}{5}

İçindekiler

  1. Tip-3 Çözümü
  2. Tip-4 Çözümü
  3. Tip-5 Çözümü
  4. Tip-16 Çözümü
  5. Tip-17 Çözümü
  6. Tip-14 Çözümü
  7. Tip-15 Çözümü
  8. Tip-12 Çözümü
  9. Tip-13 Çözümü
  10. Tip-10 Çözümü
  11. Tip-11 Çözümü

1. Tip-3 Çözümü

Denklem

\frac{x+a}{2}+\frac{x-a}{3}=2x+1

kökü x=1 ise yerine koy:

\frac{1+a}{2}+\frac{1-a}{3}=3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5+a}{6}=3 \quad\Longrightarrow\quad a=13.

2. Tip-4 Çözümü

Denklem

\frac{2}{x-1}-\frac1x+\frac{2}{x+1}=\frac{k}{x-2}

kümesi \{-1,0,1,2,3\} elemanı olduğuna göre geçerli tek aday x=3.

k=\frac{2}{3-1}-\frac1{3}+\frac{2}{3+1} =1-\frac13+\frac12 =\frac76.

3. Tip-5 Çözümü

(2a-4)x+4b+20=0\quad\forall x

\implies2a-4=0\Rightarrow a=2,\;
4b+20=0\Rightarrow b=-5,
a+b=2+(-5)=-3.

4. Tip-16 Çözümü

Denklem

\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{x}{\sqrt{x}-1},

t=\sqrt{x} diyerek

\frac{t^2-1}{t+1}=\frac{t^2}{t-1} \;\Longrightarrow\; t-1=\frac{t^2}{t-1} \;\Longrightarrow\; (t-1)^2=t^2 \;\Longrightarrow\; t=\frac12.

Dolayısıyla x=t^2=\tfrac14.

5. Tip-17 Çözümü

Merkezdeki 42 değeri üç ifadeye de eşit:

42=6y\;\Rightarrow\;y=7,\quad 42=8x+10\;\Rightarrow\;x=4,
42=xy+a\;\Rightarrow\;42=4\cdot7+a\;\Rightarrow\;a=14.

6. Tip-14 Çözümü

a+2b=16,\quad \frac b a =\frac12 \;\Longrightarrow\; b=\frac a2 \;\Longrightarrow\; a+2\cdot\frac a2=16\;\Rightarrow\;2a=16\;\Rightarrow\;a=8,\;b=4,

a+b=12.

7. Tip-15 Çözümü

\frac{x+2}2+\frac{2}{x+2}=\frac{2x+5}4 \;\Longrightarrow\; 2(x+2)+\frac8{x+2}=2x+5 \;\Longrightarrow\; 8/(x+2)=1 \;\Longrightarrow\; x+2=8 \;\Longrightarrow\; x=6.

8. Tip-12 Çözümü

Sistem

\begin{cases} x+2y+3z=7,\\ 2x+y+4z=11,\\ 3x+y+3z=22 \end{cases}

Çözülünce x+y+z=9.

9. Tip-13 Çözümü

$$(2x+y-6)^2+|3x-y-14|=0
;\Longrightarrow;
2x+y-6=0,;3x-y-14=0
;\Longrightarrow;
(x,y)=(4,-2),

$x\cdot y=-8.$ <a name="htefuj-tip10"></a> ## 10. Tip-10 Çözümü $A=\frac1a,B=\frac1b,C=\frac1c$ diyerek

A+B=\tfrac13,;B+C=\tfrac14,;A+C=\tfrac16
;\Longrightarrow;
A=\tfrac18,;B=\tfrac5{24},;C=\tfrac1{24}
;\Longrightarrow;
a=8.

<a name="htefuj-tip11"></a> ## 11. Tip-11 Çözümü

5a-2b-2c=0,\quad5ab+5ac=8
;\Longrightarrow;
a=\frac{2(b+c)}5,;a(b+c)=\frac85
;\Longrightarrow;
(b+c)^2=4;\Rightarrow;b+c=2,;a=\tfrac45,

$a+b+c=\tfrac45+2=\tfrac{14}{5}.$ --- <a name="htefuj-summary-table"></a> ## Özet Tablo Tip No | Sorunun Türü | Sonuç ---|---|--- 3 | Lineer denklem | $a=13$ 4 | Rasyonel denklem | $k=\tfrac76$ 5 | Tüm $x$ için denklem | $a+b=-3$ 16 | Köklü denklem | $x=\tfrac14$ 17 | Diyagram problemi | $a=14$ 14 | Oran & lineer | $a+b=12$ 15 | Rasyonel denklem | $x=6$ 12 | 3x3 sistem | $x+y+z=9$ 13 | Mutlak+kare | $x\cdot y=-8$ 10 | Üçlü kesirli denklem | $a=8$ 11 | İki denklem üç bilinmeyenli | $a+b+c=\tfrac{14}{5}$ <a name="htefuj-faq"></a> ## Sıkça Sorulan Sorular Q1. Kare ve mutlak değer toplamı sıfır olduğunda nasıl çözülür? A1. Her terim ayrı ayrı sıfır olmalıdır. Q2. Rasyonel bir denklemde kök belirlerken nelere dikkat etmeliyiz? A2. Payda sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılır, sonra yerine koyma yapılır. Q3. Sistem çözümünde satır işlemleri yerine toplam çıkarma yöntemi ne zaman avantajlıdır? A3. Kat sayılar basitçe sadeleştirilebiliyorsa, denklem toplamı veya farkı alınarak hızlı ilerlenir. Q4. Köklü denklemlerde değişken dönüşümü neden faydalıdır? A4. $\sqrt{x}$ ifadesini tek bir değişkene indirger, kare alma işlemlerini basitleştirir. --- Başka hangi “Tip” sorusunun çözümünü görmek istersiniz? @Ahmet_Yasin1