Dikdörtgen Kartonun Parçalara Ayrılması Problemi
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar}
- Bir dikdörtgen, kenar uzunlukları 1\text{ cm}'den büyük doğal sayılar olacak şekilde 3 dikdörtgene bölündüğünde; komşu iki parça ortak bir kenara (x_1 > 1) sahip olur ve bu parçaların diğer kenarlarının toplamı (y_1 + y_2), üçüncü parçanın bir kenar uzunluğunu oluşturur. Yani üçüncü parçanın alanı (y_1 + y_2) toplamının bir tam katı olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Seçeneğinin İncelenmesi (33\text{ cm}^2, 77\text{ cm}^2, 20\text{ cm}^2)
- 33\text{ cm}^2 ve 77\text{ cm}^2’lik alanların ortak kenarı: \text{EBOB}(33, 77) = 11\text{ cm}
- Diğer kenarlar: \frac{33}{11} = 3\text{ cm} ve \frac{77}{11} = 7\text{ cm}
- Bu iki kenarın toplamı: 3\text{ cm} + 7\text{ cm} = 10\text{ cm}
- Üçüncü parçanın alanı: 20\text{ cm}^2 = 10\text{ cm} \times 2\text{ cm}
- Tüm kenar uzunlukları (11, 3, 7, 2, 10) 1\text{ cm}'den büyük doğal sayılar olduğu için bu parçalanma mümkündür.
Adım 2 — B Seçeneğinin İncelenmesi (35\text{ cm}^2, 14\text{ cm}^2, 42\text{ cm}^2)
- 35\text{ cm}^2 ve 14\text{ cm}^2’lik alanların ortak kenarı: \text{EBOB}(35, 14) = 7\text{ cm}
- Diğer kenarlar: \frac{35}{7} = 5\text{ cm} ve \frac{14}{7} = 2\text{ cm}
- Bu iki kenarın toplamı: 5\text{ cm} + 2\text{ cm} = 7\text{ cm}
- Üçüncü parçanın alanı: 42\text{ cm}^2 = 7\text{ cm} \times 6\text{ cm}
- Tüm kenar uzunlukları (7, 5, 2, 6) 1\text{ cm}'den büyük doğal sayılar olduğu için bu parçalanma mümkündür.
Adım 3 — C Seçeneğinin İncelenmesi (45\text{ cm}^2, 27\text{ cm}^2, 24\text{ cm}^2)
- 45\text{ cm}^2 ve 27\text{ cm}^2’lik alanların ortak kenarı: 9\text{ cm}
- Diğer kenarlar: \frac{45}{9} = 5\text{ cm} ve \frac{27}{9} = 3\text{ cm}
- Bu iki kenarın toplamı: 5\text{ cm} + 3\text{ cm} = 8\text{ cm}
- Üçüncü parçanın alanı: 24\text{ cm}^2 = 8\text{ cm} \times 3\text{ cm}
- Tüm kenar uzunlukları (9, 5, 3, 8) 1\text{ cm}'den büyük doğal sayılar olduğu için bu parçalanma mümkündür.
Adım 4 — D Seçeneğinin İncelenmesi (55\text{ cm}^2, 21\text{ cm}^2, 15\text{ cm}^2)
- 55 ve 15 seçilirse: Ortak kenar 5\text{ cm} olur. Diğer kenarlar 11\text{ cm} ve 3\text{ cm} olup toplamları 11 + 3 = 14\text{ cm} yapar. Ancak üçüncü alan olan 21, 14’e tam bölünmez (21 / 14 = 1{,}5).
- 21 ve 15 seçilirse: Ortak kenar 3\text{ cm} olur. Diğer kenarlar 7\text{ cm} ve 5\text{ cm} olup toplamları 7 + 5 = 12\text{ cm} yapar. Ancak üçüncü alan olan 55, 12’ye tam bölünmez.
- 55 ve 21 aralarında asal olduğundan ortak kenarları yalnızca 1\text{ cm} olabilir (fakat kenarlar 1\text{ cm}'den büyük olmalıdır).
- Dolayısıyla bu parçalanma kesinlikle mümkün değildir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D Şıkkı (55\text{ cm}^2, 21\text{ cm}^2, 15\text{ cm}^2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpanlar ve Katlar (EBOB)
- Tanım: İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür.
- Bu problemde: Yan yana veya alt alta gelen dikdörtgenlerin ortak kenarını bulmak için kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Alanları Toplamak
- Yanlış: Parçaların alanlarını toplayıp büyük bir dikdörtgen oluşturup oluşturmadığına yalnızca alan toplamından bakmak.
- Doğru: Her parçanın kenar uzunluklarının 1\text{ cm}'den büyük birer doğal sayı olduğunu ve geometrik olarak kenarların birbirini tam tamamlaması gerektiğini kontrol etmek.
- Neden yanlış: Alanlar toplamı bir dikdörtgen alanı oluştursa bile geometrik olarak kenar uzunlukları tamsayı şartını sağlamayabilir.
Benzer mantıkta bir LGS çarpanlar ve katlar sorusu daha çözmemi ister misin?