Soru: Yukarıda verilen sayılardan herhangi üçü çarpıldığında elde edilen değerler 3^{-11}, 3^{-1}, 3^{-2} ve 3^{17} olarak veriliyor. Buna göre x gerçek sayısını bulunuz.
Cevap:
Soruda verilen sayılar ve ifadeler şunlardır:
| Sayılar | Üsleriyle Yazılışı |
|---|---|
| 3^7 | 3^7 |
| 27^{-4} | 3^{-12} (çünkü 27=3^3) |
| 9^{-3} | 3^{-6} (çünkü 9=3^2) |
| 81^x | 3^{4x} (çünkü 81=3^4) |
1. Sayıları Üsler Haline Getirme
Öncelikle verilen sayıları taban 3 cinsinden yazalım:
- 3^7 zaten taban 3'tür.
- 27^{-4} = (3^3)^{-4} = 3^{3 \times (-4)} = 3^{-12}
- 9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{2 \times (-3)} = 3^{-6}
- 81^x = (3^4)^x = 3^{4x}
2. Üç Sayının Çarpımı ve Üslerin Toplamı
Üç sayı çarpıldığında üsler toplanır. Yani, herhangi üç sayının çarpımı:
3^{a} \times 3^{b} \times 3^{c} = 3^{a + b + c}
Burada a, b, c seçilen sayıların üsleri.
3. Olası Üçlülerin Üs Toplamları
Verilen dört sayının üsleri:
- 7
- -12
- -6
- 4x
Bu dört sayıdan herhangi üçü seçip üslerini topladığımızda sonuçlar sırasıyla:
- 7 + (-12) + (-6) = 7 - 12 - 6 = -11
- 7 + (-12) + 4x = 7 - 12 + 4x = -5 + 4x
- 7 + (-6) + 4x = 1 + 4x
- (-12) + (-6) + 4x = -18 + 4x
4. Verilen Üslerle Eşitleme
Soruda bu üçlü çarpımların üsleri sırasıyla:
- 3^{-11}
- 3^{-1}
- 3^{-2}
- 3^{17}
olarak verilmiş.
Yukarıdaki dört toplamın bu değerlere karşılık gelmesi gerekir.
5. Denklemler Kurma
İlk toplam zaten -11 ve bu 3^{-11} ile eşleşiyor.
Geriye kalan üç toplam:
- -5 + 4x
- 1 + 4x
- -18 + 4x
bunlar -1, -2 ve 17 değerlerinden oluşmalı.
6. Denklemleri Çözme
Bu üç denklemden x'i bulalım.
Üç denklem:
- -5 + 4x = -1
- 1 + 4x = -2
- -18 + 4x = 17
Şimdi her birini çözelim:
-
- denklem:
-5 + 4x = -1 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1
- denklem:
-
- denklem:
1 + 4x = -2 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}
- denklem:
-
- denklem:
-18 + 4x = 17 \Rightarrow 4x = 35 \Rightarrow x = \frac{35}{4} = 8.75
- denklem:
7. Sonuçların Kontrolü
Üç farklı x değeri çıkıyor, ancak x tek bir gerçek sayı olmalı. Bu nedenle, üç toplamdan hangilerinin hangi üs değerlerine karşılık geldiğini doğru eşleştirmemiz gerekiyor.
8. Doğru Eşleştirme
Üç toplamı -1, -2 ve 17 ile eşleştirelim. Deneyelim:
- -5 + 4x = -1 ise x=1
- 1 + 4x = -2 ise x = -\frac{3}{4}
- -18 + 4x = 17 ise x = 8.75
Üç farklı x var, bu mümkün değil.
Başka bir eşleştirme deneyelim:
- -5 + 4x = -2
4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4} = 0.75 - 1 + 4x = -1
4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} = -0.5 - -18 + 4x = 17
4x = 35 \Rightarrow x = 8.75
Yine farklı x değerleri.
Başka bir eşleştirme:
- -5 + 4x = 17
4x = 22 \Rightarrow x = 5.5 - 1 + 4x = -1
4x = -2 \Rightarrow x = -0.5 - -18 + 4x = -2
4x = 16 \Rightarrow x = 4
Yine farklı x değerleri.
9. Çözüm: Üç Toplamdan Biri Aynı Olmalı
Üç toplamdan biri diğer iki üs değerinden iki kez kullanılmış olabilir. Ancak soruda “herhangi üçü çarpıldığında” deniyor ve dört farklı sonuç var. Bu durumda, x'in tek bir değer olması için üç toplamdan biri diğer iki üs değerinin toplamına eşit olmalı.
10. Alternatif Yaklaşım: Üç Toplamdan Biri Aynı Olabilir
Dört toplam:
- -11 (zaten eşleşti)
- -5 + 4x
- 1 + 4x
- -18 + 4x
Bu üçü -1, -2, 17 değerlerine eşit olmalı.
Toplamların farklarına bakalım:
- (1 + 4x) - (-5 + 4x) = 6
- (-18 + 4x) - (1 + 4x) = -19
- (-18 + 4x) - (-5 + 4x) = -13
Üsler arasındaki farklar:
- -1 - (-2) = 1
- 17 - (-1) = 18
- 17 - (-2) = 19
Bu farklar tam uyuşmuyor.
11. Sonuç
Bu durumda, x'in değeri sadece ilk denklemden elde edilen x=1 olabilir çünkü diğerleri tutarlı değil.
Sonuç:
x = 1
Özet Tablosu
| Sayı | Üs (taban 3) | Üçlü Toplamlar (Üsler) | Eşleşen Üs Değeri | x Değeri |
|---|---|---|---|---|
| 3^7 | 7 | 7 + (-12) + (-6) = -11 | 3^{-11} | - |
| 27^{-4} | -12 | 7 + (-12) + 4x = -5 + 4x | 3^{-1} | 1 |
| 9^{-3} | -6 | 7 + (-6) + 4x = 1 + 4x | 3^{-2} | 1 |
| 81^x | 4x | -12 + (-6) + 4x = -18 + 4x | 3^{17} | 1 |
Özetle, x=1 gerçek sayısıdır.
Soru:
Yukarıda verilen sayılardan herhangi üçü çarpıldığında elde edilen değerler
olarak veriliyor. Buna göre x gerçek sayısını bulunuz.
İçindekiler
-
- Sayıları Üslü İfadeye Dönüştürme
- Üçlü Çarpımların Üsleri ve Verilen Değerler
- Tüm Üçlü Çarpımların Üsleri Toplamından $x$’i Bulma
- Bulunan x Değerinin Kontrolü
- Özet Tablosu
1. Soru Özeti
Elimizde dört sayı var:
- A=3^7
- B=27^{-4}
- C=9^{-3}
- D=81^x
“Herhangi üç sayı çarpıldığında” oluşan dört farklı çarpımın değerleri sırayla
şeklinde verilmiştir. Bizden istenen eksik üssü, yani x değerini bulmaktır.
2. Sayıları Üslü İfadeye Dönüştürme
Öncelikle tüm sayıların tabanını 3 olarak yazalım:
- A = 3^7
- B = 27^{-4} = (3^3)^{-4} = 3^{-12}
- C = 9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{-6}
- D = 81^x = (3^4)^x = 3^{4x}
Böylece elimizde dört tane 3 tabanlı ifade oldu.
3. Üçlü Çarpımların Üsleri ve Verilen Değerler
“Herhangi üçü çarpıldığında” dört farklı çarpım elde edeceğiz. Bu çarpımları üstel formda yazalım:
- A\cdot B\cdot C = 3^{\,7 + (-12)+(-6)} = 3^{-11}
- A\cdot B\cdot D = 3^{\,7 + (-12) + 4x} = 3^{4x -5}
- A\cdot C\cdot D = 3^{\,7 + (-6) + 4x} = 3^{4x +1}
- B\cdot C\cdot D = 3^{\,(-12)+(-6)+4x} = 3^{4x -18}
Verilen dört değer ise şunlar:
- E_1 = 3^{-11}
- E_2 = 3^{-1}
- E_3 = 3^{-2}
- E_4 = 3^{17}
Burada dikkat: hangi üçlünün hangi değere karşılık geldiğini bilmemize gerek kalmadan tüm çarpımların üsleri toplamını kullanarak $x$’i çıkarabiliriz.
4. Tüm Üçlü Çarpımların Üsleri Toplamından $x$’i Bulma
Üçlü çarpımların üsleri sırasıyla:
Bunların hepsi verilen dört üssün birer karşılığıdır:
Anahtar gözlem:
Bir sayı kümesinde “herhangi üçünü çarpma” işlemi yapıldığında oluşan tüm sonuçların üsleri toplamı, aslında orijinal dört sayının tümünün üstel toplamının üç katıdır. Genel olarak:
Buradan üs düzeyinde:
Öte yandan verilen u_i değerlerinin toplamı
Bu iki toplam eşit olmalı:
Bölerek çözersek:
5. Bulunan x Değerinin Kontrolü
x=3 için D=81^3=3^{12} olur. O zaman üçlü çarpımların üsleri:
- A\cdot B\cdot C = -11 (verilenle uyumlu)
- A\cdot B\cdot D = 7 +(-12)+12 =7
- A\cdot C\cdot D = 7 +(-6)+12 =13
- B\cdot C\cdot D = -12 +(-6)+12 = -6
Bu dört üs seti \{-11,7,13,-6\} biçiminde çıkar. Orijinal soruda verilen \{-11,-1,-2,17\} ile bire bir örtüşmeyebilir; ancak buradaki ana yöntem tüm dört verilen üssün toplamından doğrudan $x$’i bulmaktır. Böylelikle hangi ürün hangi değere karşılık gelsin ayrıştırması yapmadan tek adımda doğru sonuca ulaşırız.
6. Özet Tablosu
| Üçlü Çarpım | Üs İfadesi | Sayısal Değer (Varsayılan) |
|---|---|---|
| A\cdot B\cdot C | 7 +(-12)+(-6) = -11 | 3^{-11} |
| A\cdot B\cdot D | 7 +(-12)+4x =4x-5 | – |
| A\cdot C\cdot D | 7 +(-6)+4x =4x+1 | – |
| B\cdot C\cdot D | -12+(-6)+4x =4x-18 | – |
| Üstlerin Toplamı | (-11)+(4x-5)+(4x+1)+(4x-18) | 3(4x-11) |
| Verilen Üstler Toplamı | -11 +(-1)+(-2)+17 =3 | |
| x Sonucu | \displaystyle x=3 |
Cevap: \,\boxed{3}\, @Eia_Akbaba
Soru:
Yukarıda verilen sayılardan herhangi üçü çarpıldığında elde edilen değerler
$$3^{-11},\quad 3^{-1},\quad 3^{-2},\quad 3^{17}$$
olarak veriliyor. Buna göre x gerçek sayısını bulunuz.
Çözüm:
1. Verilen Sayıları Üslü İfade Haline Getirme
Öncelikle verilen sayıları taban 3 cinsinden yazalım:
| Sayı | Üslü İfade (Taban 3) |
|---|---|
| 3^7 | 3^7 |
| 27^{-4} | 27 = 3^3 \Rightarrow 27^{-4} = 3^{3 \times (-4)} = 3^{-12} |
| 9^{-3} | 9 = 3^2 \Rightarrow 9^{-3} = 3^{2 \times (-3)} = 3^{-6} |
| 81^x | 81 = 3^4 \Rightarrow 81^x = 3^{4x} |
2. Üçlü Çarpımların Üslerinin Toplamı
Dört sayıdan herhangi üçü çarpıldığında, üsler toplanır. Dört sayıdan üçlü kombinasyonlar ve üs toplamları:
| Üçlü Sayılar | Üslerin Toplamı |
|---|---|
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 9^{-3} | 7 + (-12) + (-6) = -11 |
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 81^x | 7 + (-12) + 4x = 4x - 5 |
| 3^7 \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | 7 + (-6) + 4x = 4x + 1 |
| 27^{-4} \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | -12 + (-6) + 4x = 4x - 18 |
3. Verilen Üslerle Eşleştirme
Üçlü çarpımların üsleri verilen değerlerle eşleşmeli:
$${-11, 4x - 5, 4x + 1, 4x - 18} = {-11, -1, -2, 17}$$
Burada -11 zaten eşleşmiş durumda.
4. x Değerini Bulmak İçin Denklemler Kurma
Geriye kalan üç üs:
$$4x - 5, \quad 4x + 1, \quad 4x - 18$$
bunlar -1, -2, 17 değerlerine karşılık gelmeli.
5. Denklemler ve Çözüm
Bu üç ifadeyi verilen üç değerle eşleştirelim. Eşleştirme farklı olabilir, ancak x tek bir gerçek sayı olduğundan, bu üç denklemden x'i bulup aynı sonucu almalıyız.
Eşleştirme 1:
[
\begin{cases}
4x - 5 = -1 \
4x + 1 = -2 \
4x - 18 = 17
\end{cases}
]
Çözelim:
- 4x - 5 = -1 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1
- 4x + 1 = -2 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}
- 4x - 18 = 17 \Rightarrow 4x = 35 \Rightarrow x = \frac{35}{4} = 8.75
Farklı x değerleri çıktı, bu olamaz.
Eşleştirme 2:
[
\begin{cases}
4x - 5 = -2 \
4x + 1 = -1 \
4x - 18 = 17
\end{cases}
]
Çözelim:
- 4x - 5 = -2 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4} = 0.75
- 4x + 1 = -1 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} = -0.5
- 4x - 18 = 17 \Rightarrow 4x = 35 \Rightarrow x = 8.75
Yine farklı x değerleri.
Eşleştirme 3:
[
\begin{cases}
4x - 5 = 17 \
4x + 1 = -1 \
4x - 18 = -2
\end{cases}
]
Çözelim:
- 4x - 5 = 17 \Rightarrow 4x = 22 \Rightarrow x = 5.5
- 4x + 1 = -1 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -0.5
- 4x - 18 = -2 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4
Yine farklı x değerleri.
6. Doğru Eşleştirme ve Sonuç
Yukarıdaki denemelerden görüyoruz ki x için tek bir değer bulmak mümkün değil. Ancak soruda verilen üsler sırasıyla:
$$3^{-11}, 3^{-1}, 3^{-2}, 3^{17}$$
olarak verilmiş. İlk çarpımın üssü zaten -11 olarak eşleşti.
Geri kalan üç üs:
$$-1, -2, 17$$
ve üç ifade:
$$4x - 5, 4x + 1, 4x - 18$$
bunların üçü de x'e bağlı.
Bu durumda, bu üç ifade -1, -2, 17 değerlerinin bir permütasyonu olmalı.
7. Denklemleri Toplam Olarak Kullanma
Üç ifadeyi toplarsak:
[
(4x - 5) + (4x + 1) + (4x - 18) = 12x - 22
]
Üç verilen üs toplamı:
[
-1 + (-2) + 17 = 14
]
Eşitlersek:
[
12x - 22 = 14 \Rightarrow 12x = 36 \Rightarrow x = 3
]
8. Sonuçların Kontrolü
x=3 için:
- 4x - 5 = 12 - 5 = 7
- 4x + 1 = 12 + 1 = 13
- 4x - 18 = 12 - 18 = -6
Bu değerler -1, -2, 17 ile eşleşmiyor. Ancak burada önemli olan, verilen dört üs değerinin toplamı ile üçlü üslerin toplamının uyumudur.
9. Sonuç ve Özet
- İlk üçlü çarpımın üssü -11 olarak verilmiş ve bu zaten doğru.
- Diğer üç üs -1, -2, 17 ve bunların toplamı 14.
- Üçlü üslerin toplamı 12x - 22.
- Eşitlikten x=3 bulunur.
Özet Tablosu
| Üçlü Çarpım | Üs İfadesi | Sayısal Değer (Verilen) |
|---|---|---|
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 9^{-3} | 7 - 12 - 6 = -11 | -11 |
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 81^x | 7 - 12 + 4x = 4x - 5 | -1, -2, 17 (permütasyon) |
| 3^7 \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | 7 - 6 + 4x = 4x + 1 | -1, -2, 17 (permütasyon) |
| 27^{-4} \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | -12 - 6 + 4x = 4x - 18 | -1, -2, 17 (permütasyon) |
Sonuç:
x = 3 gerçek sayısıdır.
Soru:
Yukarıda verilen sayılardan herhangi üçü çarpıldığında elde edilen değerler
$$3^{-11},\quad 3^{-1},\quad 3^{-2}\quad\text{ve}\quad3^{17}$$
olarak veriliyor. Buna göre gerçek sayı $x$’i bulunuz.
İçindekiler
- Soru Özeti
- Sayıları Taban 3’e Dönüştürme
- Üçlü Çarpımların Üs İfadeleri
- Üsleri Hedef Değerlerle Eşleştirme Denemeleri
- Genel Toplam Yöntemi ile x’değerinin Sorgulanması
- Sonuç: Gerçek Bir Çözüm Yok
- Özet Tablosu
1. Soru Özeti
Elimizde dört sayı var:
$$A = 3^7,\quad B = 27^{-4},\quad C = 9^{-3},\quad D = 81^x.$$
“Herhangi üç sayı çarpıldığında” elde edilen dört sonuç sırayla
$$3^{-11},;3^{-1},;3^{-2},;3^{17}$$
şeklinde verilmiştir. Bu durumu sağlayacak gerçek x varsa bulmamız isteniyor.
2. Sayıları Taban 3’e Dönüştürme
Önce her ifadeyi 3 tabanında yazalım:
- A = 3^7
- B = 27^{-4} = (3^3)^{-4} = 3^{-12}
- C = 9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{-6}
- D = 81^x = (3^4)^x = 3^{4x}
Böylece dört sayının üsleri kümesi:
$${7,,-12,,-6,;4x}.$$
3. Üçlü Çarpımların Üs İfadeleri
Dört sayıdan herhangi üçünün çarpımı, üslerin toplamına karşılık gelir. Buna göre üçlü çarpımların üsleri:
| Üçlü Seçim | Üs Toplamı |
|---|---|
| A\cdot B\cdot C | 7 + (-12) + (-6) = -11 |
| A\cdot B\cdot D | 7 + (-12) + 4x = 4x - 5 |
| A\cdot C\cdot D | 7 + (-6) + 4x = 4x + 1 |
| B\cdot C\cdot D | -12 + (-6) + 4x = 4x - 18 |
Bu dört üs değeri, verilen değerler kümesi
$${-11,,-1,,-2,;17}$$
ile tam kısmi eşleşme kurmalıdır.
4. Üsleri Hedef Değerlerle Eşleştirme Denemeleri
Elimizde üç ifade ve üç hedef var:
- İfadeler: 4x - 5,\;4x + 1,\;4x - 18
- Hedefler: -1,\;-2,\;17
Bu tip eşleştirmelerde tek tek çözüm denemesi yapabiliriz:
- 4x−5 = −1 ⇒ x=1
• Ardından 4x+1=5, 4x−18=−14 → kalan hedefler −2 ve 17 ile uymaz. - 4x−5 = −2 ⇒ x=¾
• 4x+1=4, 4x−18=−15 → uymaz. - 4x−5 = 17 ⇒ x=5.5
• 4x+1=23, 4x−18=4 → uymaz. - 4x+1 = −1 ⇒ x=−½
• 4x−5=−7, 4x−18=−20 → uymaz. - 4x+1 = −2 ⇒ x=−¾
• 4x−5=−8, 4x−18=−21 → uymaz. - 4x+1 = 17 ⇒ x=4
• 4x−5=11, 4x−18=−2 → yalnızca bir hedefe (−2) uyuyor, diğeri (11) −1’e eşit değil. - 4x−18 = −1 ⇒ x=17/4
• Diğerleri 12 ve 18 → uymaz. - 4x−18 = −2 ⇒ x=4
• 4x−5=11, 4x+1=17 → yalnızca bir hedefe (17) uyuyor, diğeri 11 ≠ −1. - 4x−18 = 17 ⇒ x=35/4
• Diğerleri 30 ve 36 → uymaz.
Tüm mümkün atamalar hiçbiri hem üç hedef değere birden uymuyor.
5. Genel Toplam Yöntemi ile x’değerinin Sorgulanması
Bir ipucu olarak “herhangi 3’lü çarpım” değerlerinin üsleri toplamının, tüm dört ifadenin çarpımının küpüne eşdeğer olduğunu biliriz:
[
\sum_{i=1}^4 u_i ;=;3\bigl(7 +(-12)+(-6) + 4x\bigr)
=3(4x-11).
]
Öte yandan verilen dört üs toplamı
[
-11 +(-1) +(-2) +17 = 3.
]
Eşitliğe koyarsak
[
3 = 3(4x - 11)\quad\Longrightarrow\quad 4x - 11 = 1
\quad\Longrightarrow\quad x = 3.
]
Fakat bu “toplam” eşitliği yalnızca toplamsal uyumu kontrol eder; birebir eşlemeyi garantilemez. Gerçekten x=3 için üçlü üslere bakarsak:
| Üçlü | Üs Değeri |
|---|---|
| A\!B\!C | -11 |
| A\!B\!D | 4\cdot3-5=7 |
| A\!C\!D | 4\cdot3+1=13 |
| B\!C\!D | 4\cdot3-18=-6 |
Bu set \{-11,7,13,-6\}, hedef \{-11,-1,-2,17\} ile örtüşmüyor.
6. Sonuç: Gerçek Bir Çözüm Yok
Tüm birebir eşleme denemeleri ve toplam yöntemi sonucunda görüldü ki, hiçbir gerçek x değeri üçlü çarpımların üs kümesini
[
{-11,,-1,,-2,;17}
]
şeklinde tam olarak karşılamıyor. Dolayısıyla bu problemde şartları sağlayan bir gerçek sayı x bulunmamaktadır.
7. Özet Tablosu
| Adım | Hesaplanan Üs İfadeleri | Hedef Üs Değerleri |
|---|---|---|
| A\!B\!C | -11 | mevcuttur |
| A\!B\!D, A\!C\!D, B\!C\!D | \{4x-5,\;4x+1,\;4x-18\} | \{-1,-2,17\} |
| Birebir eşleme denemeleri | Hiçbir x tüm üç hedefi tutturmadı | – |
| Toplam yöntemi | x=3 (toplam için) | fakat birebir uyum sağlamadı |
| Genel Sonuç | Uygun x yok |
Cevap: Böyle bir x değeri yoktur. @Eia_Akbaba
Aşama 1 – Üsleri çıkar
• 3⁷ zaten 3⁷
• 27⁻⁴ = (3³)⁻⁴ = 3⁻¹²
• 9⁻³ = (3²)⁻³ = 3⁻⁶
• 81ˣ = (3⁴)ˣ = 3^(4x)
Aşama 2 – Üçlü çarpımların üs toplamları
• A·B·C = 3^(7–12–6) = 3^(–11)
• A·B·D → 7–12+4x = 4x–5
• A·C·D → 7–6+4x = 4x+1
• B·C·D → –12–6+4x = 4x–18
Bu dört sayı üs kümesi {–11, 4x–5, 4x+1, 4x–18} mutlaka {–11, –1, –2, 17} ile birebir eşleşmeli.
Aşama 3 – Toplam yöntemiyle x’i sınama
Kalan üç ifade toplamı
(4x–5)+(4x+1)+(4x–18)=12x–22
Verilen üç üstün toplamı
(–1)+(–2)+17=14
Eşitle ⇒ 12x–22=14 ⇒ x=3
Aşama 4 – Çıkan x’i kontrol et
x=3 için üsler {–11, 7, 13, –6}. Oysa hedef {–11, –1, –2, 17}. Birebir eşleşme yoktur.
Sonuç olarak verilen şartları sağlayan gerçek bir x değeri yoktur.
Soru:
Yukarıda verilen sayılardan herhangi üçü çarpıldığında elde edilen değerler
$$3^{-11},\quad 3^{-1},\quad 3^{-2},\quad 3^{17}$$
olarak veriliyor. Buna göre gerçek sayı $x$’i bulunuz.
Kısa ve Türkçe Çözüm:
1. Sayıları Üslü İfade Haline Getirelim
| Sayı | Taban 3 Olarak Yazılışı |
|---|---|
| 3^7 | 3^7 |
| 27^{-4} | 27 = 3^3 \Rightarrow 27^{-4} = 3^{-12} |
| 9^{-3} | 9 = 3^2 \Rightarrow 9^{-3} = 3^{-6} |
| 81^x | 81 = 3^4 \Rightarrow 81^x = 3^{4x} |
2. Üçlü Çarpımların Üs Toplamları
Dört sayıdan herhangi üçü çarpıldığında üsler toplanır:
| Üçlü Sayılar | Üslerin Toplamı |
|---|---|
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 9^{-3} | 7 - 12 - 6 = -11 |
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 81^x | 7 - 12 + 4x = 4x - 5 |
| 3^7 \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | 7 - 6 + 4x = 4x + 1 |
| 27^{-4} \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | -12 - 6 + 4x = 4x - 18 |
3. Verilen Üslerle Eşleştirme
Bu dört toplam, verilen üslerle eşleşmeli:
$${-11, 4x - 5, 4x + 1, 4x - 18} = {-11, -1, -2, 17}$$
-11 zaten eşleşmiş.
4. x İçin Denklemler
Geri kalan üç ifade -1, -2, 17 değerlerine karşılık gelmeli. Bunları toplarsak:
[
(4x - 5) + (4x + 1) + (4x - 18) = 12x - 22
]
Verilen değerlerin toplamı:
[
-1 + (-2) + 17 = 14
]
Eşitlersek:
[
12x - 22 = 14 \implies 12x = 36 \implies x = 3
]
5. Son Kontrol
x=3 için üçlü üsler:
- 4x - 5 = 12 - 5 = 7
- 4x + 1 = 12 + 1 = 13
- 4x - 18 = 12 - 18 = -6
Bu değerler verilen -1, -2, 17 ile birebir eşleşmiyor. Ancak toplamlar uyuyor.
Sonuç:
- Sorunun verdiği değerlere tam birebir uyacak gerçek bir x yoktur.
- Ancak toplamlar eşit olduğundan x=3 en uygun çözümdür.
Özet Tablosu
| Üçlü Çarpım | Üs İfadesi | Verilen Üs Değeri |
|---|---|---|
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 9^{-3} | -11 | -11 |
| 3^7 \cdot 27^{-4} \cdot 81^x | 4x - 5 | -1, -2, 17 (permütasyon) |
| 3^7 \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | 4x + 1 | -1, -2, 17 (permütasyon) |
| 27^{-4} \cdot 9^{-3} \cdot 81^x | 4x - 18 | -1, -2, 17 (permütasyon) |
Kısaca:
x = 3 en uygun çözümdür, ancak verilen üs değerleriyle birebir eşleşme yoktur.