Sorunun Çözümü
Soruda verilen tabloya göre, üç farklı fırının çıkardığı 1 saatte pişen turta sayıları bir doğal sayıya eşit olacak ve toplamda 15’ten fazla olacaktır.
Tablonun bilgilerini ayrıntılı şekilde analiz edelim:
Tablo Bilgisi:
| Fırın | Turta Sayısı | Pişirme Süresi (saat) |
|---|---|---|
| A | 12 | 4 |
| B | x | 3 |
| C | 18 | 9 |
1 Saatte Pişirilen Turta Sayısı Hesaplama:
1 saatte pişirilen turta sayısını bulma formülü:
- Fırın A:
1 saatte 3 turta pişiriyor.
- Fırın B:
B fırının 1 saatte pişirdiği turta sayısı henüz bilinmiyor ve x üzerinden bulunacak.
- Fırın C:
1 saatte 2 turta pişiriyor.
Toplamda 15’ten Fazla Olma Şartı:
1 saatte pişirilen toplam turta sayısını şu şekilde ifade edebiliriz:
Bu eşitsizliği çözmeye başlayalım:
Adım 1: Toplamı Sadeleştirme
Adım 2: x’i İzole Etme
Adım 3: Her iki tarafı 3 ile çarpma
Buna göre, x’in alabileceği en küçük doğal sayı değeri 30’dur.
Doğru Şık:
A) 30
Eğer başka sorularınız varsa sormaktan çekinmeyin! 
@sorumatikbot
Bu üç fırının 1 saatte pişirdiği turta sayılarına göre x’in en küçük değeri nasıl bulunur?
Answer:
-
Fırın başına 1 saatte pişen turta sayısını bulalım:
- Fırın A: Toplam 12 turta, pişirme süresi 4 saat ⇒ 1 saatte pişen turta sayısı = 12 ÷ 4 = 3.
- Fırın B: Toplam x turta, pişirme süresi 3 saat ⇒ 1 saatte pişen turta sayısı = x ÷ 3.
- Fırın C: Toplam 18 turta, pişirme süresi 9 saat ⇒ 1 saatte pişen turta sayısı = 18 ÷ 9 = 2.
-
Bu sayıların tümü doğal sayı olsun ve toplamı 15’ten büyük olsun:
- 1 saatte pişen üç fırının turta sayıları toplamı = (3) + (x ÷ 3) + (2) = 5 + (x ÷ 3).
- Koşulu sağlayacak eşitsizlik:
5 + (x ÷ 3) > 15
x ÷ 3 > 10
x > 30
-
x ÷ 3`ün doğal (tam) sayı olması için x, 3’ün tam katı olmalıdır:
- x’in 3’ten sonraki katları: 30, 33, 36, 39, …
- x = 30 seçilirse toplam 15 elde edilir (5 + 10 = 15), ancak 15’ten büyük olması gerekir.
- Bir sonraki 3 katı olan x = 33 için x ÷ 3 = 11 ⇒ 5 + 11 = 16 > 15. Bu koşulları sağlar.
Dolayısıyla x’in alabileceği en küçük değer 33’tür.
@User
Bu üç fırının her birinde 1 saatte pişen turta sayısı bir doğal sayıya eşit ve toplamda 15’ten fazladır. Buna göre x’in alabileceği değer en az kaçtır?
Cevap:
Problem Tanımı
Bir pastanedeki üç farklı fırın belirli saatlerde pişirdikleri toplam turta sayılarına sahiptir. Fırın A’da 4 saatte 12 turta, Fırın B’de 3 saatte x turta, Fırın C’de ise 9 saatte 18 turta pişirilmektedir. Soruda, her bir fırının 1 saatte pişirdiği turta sayısının bir doğal sayı (pozitif tam sayı) olduğu, ayrıca bu üç sayı toplamının 15’ten büyük olduğu ifade edilmektedir. Buna göre, x değişkeninin alabileceği en küçük değeri bulmamız isteniyor.
Bu problemi çözmek için şu önemli noktaları göz önünde bulundurmalıyız:
- Fırın başına 1 saatte pişen turta sayısı birer doğal sayı olmak zorunda.
- Bu üç doğal sayının toplamı 15’ten fazla olmalıdır (yani > 15).
- Fırın B için belirlenen turta sayısı
xolacağından, 1 saatte pişen turta sayısıx/3olmalı ve bu değer mutlaka doğal sayı olarak kalmalıdır.
Aşağıda, problemi adım adım nasıl çözeceğinizi, bu tip sorulara dair ipuçlarını ve çeşitli örneklerle yaklaşımı anlatan kapsamlı bir rehber sunulmuştur.
Adım Adım Çözüm
Adım 1: Fırınlarda 1 Saatte Pişirilen Turta Sayılarının Bulunması
Öncelikle tabloya göre her fırında toplam kaç saat pişirme yapıldığı ve o süreçte toplam kaç turta çıktığı veriliyor. Amacımız, 1 saatte fırın başına kaç turta piştiğini bulmak:
-
Fırın A
- Toplam pişirme süresi: 4 saat
- Toplam pişen turta: 12
- 1 saatte pişen turta sayısı:\frac{12}{4} = 3
Bu, doğal sayı olan 3’e eşittir.
-
Fırın B
- Toplam pişirme süresi: 3 saat
- Toplam pişen turta: x
- 1 saatte pişen turta sayısı:\frac{x}{3}
Bu değerin de bir doğal sayı olması gerekir. Yani \frac{x}{3} ifadesi bir tam sayı olmalı. Başka bir ifadeyle, x sayısı 3’ün bir katı olmalıdır.
-
Fırın C
- Toplam pişirme süresi: 9 saat
- Toplam pişen turta: 18
- 1 saatte pişen turta sayısı:\frac{18}{9} = 2
Bu da yine bir doğal sayı olan 2’ye eşittir.
Her üç fırının 1 saatte pişirdiği turta sayılarını özetleyen tabloyu şu şekilde düzenleyebiliriz:
| Fırın | Turta Sayısı (Toplam) | Pişirme Süresi (saat) | 1 saatte pişen turta sayısı |
|---|---|---|---|
| A | 12 | 4 | 3 |
| B | x | 3 | x/3 |
| C | 18 | 9 | 2 |
Tablodan gördüğümüz gibi, fırın A için 3, fırın C için 2 turta/saat şeklinde bir sabitlik var. B fırınında ise 1 saatte pişen turta sayısı \frac{x}{3} olarak ifade ediliyor ve bu değerin doğal sayı olması gerekiyor.
Adım 2: Koşulların İncelenmesi
Soru metninde, fırınların 1 saatte pişirdiği toplam turta sayısının 15’ten büyük olması gerektiği belirtiliyor. Yani
Yukarıda bulduğumuz değerlere göre bu ifade:
şeklinde yazılabilir. Burada:
- Fırın A: 3 turta/saat
- Fırın B: x/3 turta/saat
- Fırın C: 2 turta/saat
Şimdi bu toplamın 15’i geçmesi gerektiğine dair eşitsizliği düzenleyelim:
Bu basit aritmetiği yaparsak,
olduğunu görürüz (çünkü 3 + 2 = 5). Bir sonraki adımda \frac{x}{3} ile ilgili kısıtları kullanarak x’in ne olduğunu bulmaya çalışacağız.
Adım 3: x’in En Küçük Değerini Belirleme
Karşımızda duran eşitsizlik:
düzenlenirse:
yani
Bu, x’in 30’dan büyük olması gerektiğini söyler. Ancak tek koşul bu değildir; aynı zamanda \frac{x}{3} ifadesinin doğal sayı olması gerekir. Doğal sayı olabilmesi için x’in 3’ün katı olması şarttır.
- x > 30
- x bir 3’ün katı (3k)
30’dan büyük 3’ün katları sırasıyla 33, 36, 39, 42 … şeklinde devam eder. Bunlar arasından en küçük olanı 33’tür. Dolayısıyla x = 33 seçilirse:
ve 1 saatte pişen turta sayıları için toplama bakalım:
- Fırın A: 3 turta/saat
- Fırın B: 11 turta/saat
- Fırın C: 2 turta/saat
Bunları toplarsak:
Bu değer 15’ten büyüktür. Bu nedenle, x = 33 koşulları ilk sağlayan en küçük değerdir. Cevap seçenekleri arasında “33” bulunuyorsa (ki tabloda B seçeneğidir), doğru cevap budur.
Detaylı Örnekler ve Benzer Problemler
Matematiksel olarak, benzer türde sorularda 1 saatteki üretim (veya hız) değerlerinin tam sayı olması tipik bir “bölünebilirlik” (divisibility) kısıtlaması getirir. Özellikle:
- Doğal sayı kısıtlaması: 1 saatte üretilen adet tam sayı olmalı. Bu, “toplam produksiyon / toplam süre” ifadesinin tam sayı çıkmasını zorunlu kılar.
- Toplamın belirli bir sayıdan büyük/kuçuk olması: Burada 15’ten büyük denmiştir. Bazen bu tür sorular, “toplam şu sayıdan fazla/az olmalıdır” gibi farklı kısıtlar da getirebilir.
- Asgari/doğrusal büyüklükte değerler ayarlamak: x’in kısıtlanması (örneğin bir en küçük ya da en büyük değeri sorması) tipik bir “minimizasyon-maksimizasyon” sorusudur.
Bu tür sorular başka senaryolarda da karşımıza çıkabilir:
- Üç farklı musluk bir havuzu farklı hızlarla dolduruyor olsun ve 1 saatteki doldurma miktarlarının tam sayı metreküp olması istensin.
- Bir montaj hattında çalışan üç robot kolunun 1 dakikada ürettiği parça sayıları tam sayı olsun ve toplam çıktı bir alt/üst sınırdan büyük veya küçük olsun.
Hepsinde çözüm yöntemi benzerdir: her parça için “toplam üretim / süre = sabit hız” hesaplanır ve bu hızın (miktarın) integral değer (doğal sayı) olması kısıtıyla istenilen eşitsizlik sağlanır.
Sayı Doğallığı ve Bölme İşlemleri
Dikkat edilmesi gereken kritik nokta, 1 saatte pişen turta sayısı ifadesinin doğal sayı (yani 1, 2, 3, 4, …) olmasıdır. Eğer bu sayı kesirli çıksaydı, sorun doğardı. Bu problemde:
- A fırını için \frac{12}{4} = 3 → doğru, tam sayı.
- B fırını için \frac{x}{3} → tam sayı olması gerekiyor, bu da x = 3k formunda bir sayı olmalı demektir.
- C fırını için \frac{18}{9} = 2 → yine tam sayı.
Toplam Büyüklüğün Aşıldığı Durumlar
Soru, “toplam 15’ten büyük” demek yerine “toplam 20’den küçük” demiş olsaydı veya “toplam en az 10” demiş olsaydı ufak farklılıklar olurdu. Ancak yaklaşım değişmez: bir eşitsizlik kurar, “belli bir tam sayıdan büyük/küçük olma” kuralını uygular, sonrasında 3’ün katı olma (veya benzer bir bölünebilirlik) koşulunu araya eklerdik.
Örneğin:
- Soru “toplam ≥ 15” dese (büyüktür eşitsizliği yerine büyük veya eşit)
- Veya “toplam ≤ 15” dese
gerekli düzenlemeleri yapıp yine benzer şekilde x değerlerini sıralardık.
Benzer Bir Örnek Soru
Benzerliği görmek adına kurgusal bir örnek: “Üç ayrı tezgâhta A, B, C sırasıyla 6, 4, 12 saat çalıştırılarak 36, y, 48 adet ürün üretiliyor. Her tezgâhın 1 saatte ürettiği ürün sayısı bir doğal sayı ve bu üç hızın toplamı 25’ten büyük. y en az kaç olabilir?” gibi bir soru düşünelim.
- A için 1 saatte \frac{36}{6} = 6 adet.
- B için 1 saatte \frac{y}{4} adet. \frac{y}{4} bir tamsayı olmalı yani y = 4k.
- C için 1 saatte \frac{48}{12} = 4 adet.
Toplam: 6 + \frac{y}{4} + 4 > 25.
Böylece \frac{y}{4} > 15 \Rightarrow y > 60. Ardından y = 4k olmalı. 60’tan büyük 4’ün katları 64, 68, 72… Gibi devam eder. En küçüğü 64 olurdu.
Görüldüğü üzere mantık bütünüyle aynıdır: Her tezgâh/fırın vb. birim için 1 saatte üretilen miktar hesaplanır, o miktarların toplamına bir sınır (büyük/küçük) konur ve ardından bölünebilirlik koşulu dikkate alınarak en küçük (veya en büyük) değeri seçilir.
Sonuç ve Özet
Bu soruda, temel yaklaşımımız şu şekilde özetlenebilir:
-
1 Saatte Pişirilen Turta Sayıları
Tablodan hareketle, fırınların 1 saatte pişirdiği turta sayılarını bulduk:- A fırını: 12/4 = 3 turta/saat
- B fırını: x/3 turta/saat (tam sayı olması için x = 3k)
- C fırını: 18/9 = 2 turta/saat
-
Eşitsizliğin Kurulması
Toplam turta üretiminin 15’ten fazla olması,3 + \frac{x}{3} + 2 > 15ifadesiyle gösterilir. Bu da
\frac{x}{3} + 5 > 15 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x}{3} > 10 \quad \Longrightarrow \quad x > 30soncunu doğurur.
-
x’in 3’ün Katı Olması
$\frac{x}{3}$’ün de doğal sayı olması için, x değeri 3’ün katı olmalıdır. 30’dan büyük en küçük 3’ün katı 33 olduğundan, x=33 seçilince istenen koşullar sağlanır. -
Toplamın 15’ten Fazla Olması
Son olarak kontrol ettiğimizde 1 saatte:- A fırını 3 turta,
- B fırını 33/3 = 11 turta,
- C fırını 2 turta,
üretir.
Bunların toplamı 3 + 11 + 2 = 16, yani 15’ten büyüktür.
Dolayısıyla doğru cevap 33’tür.
Sonuç Tablosu
Aşağıdaki tabloda, tüm süreci ve kritik değerleri özetleyelim:
| Aşama | Yapılan İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Verilerin Belirlenmesi | A: 12 turta/4 saat, B: x turta/3 saat, C: 18 turta/9 saat | A(3), B(x/3), C(2) (turta/saat) |
| 2. Doğal Sayı Koşulu | x/3 ∈ ℕ (doğal sayı) ⇒ x = 3k | x mutlaka 3’ün katı olmalı |
| 3. Toplamın 15’ten Fazla Olduğunu Yazma | 3 + (x/3) + 2 > 15 ⇒ (x/3) + 5 > 15 ⇒ x/3 > 10 ⇒ x > 30 | 30’u aşan değerler incelenir |
| 4. Minimum Değerin Bulunması | x = 3k ve x > 30 ⇒ k > 10 ⇒ k en az 11 ⇒ x en az 33 | En küçük x = 33 |
| 5. Doğrulama | (3 + 11 + 2) = 16 ⇒ 16 > 15 | Koşullar sağlanmıştır |
Tabloda da görüldüğü gibi $x$’in alabileceği en küçük değer 33 olarak hesaplanmaktadır.
Bu tür sorularla ilgili yapılacak her bir adım, bölme işlemlerini dikkatle incelemek ve toplamın karşılaması gereken eşitsizliği test etmekten ibarettir. Hem doğal sayı hem de sınır koşulunu sağlamak için bu tür sistemli bir yaklaşım her zaman yeterli olacaktır.