Hmmkkk

YKS TYT
1

IMG20260212205633
IMG20260212205633720×1277 42.8 KB

2

Yardım: Verilen Matematik Sorularının Çözümü

Önemli Noktalar

  • Tam kare ifade için ikinci derece ifadelerin katsayılarının ilişkisi kullanılmalı
  • Karekökleriyle ilgili ifadelerde köklü denklemler ve bölme işlemleri dikkatle yapılmalı
  • Küp toplamı ve farkı formülleri ifadelerin sadeleşmesinde anahtar
  • Verilen sistem denklemlerinde çarpım ve toplam bilgilerinden yararlanılarak küplerin toplamı kolayca bulunabilir

İçindekiler

  1. Soru 1: Tam Kare İfade (K’nin Değeri)
  2. Soru 2: Kareköklerle İlgili İfade Değeri
  3. Soru 3: x³ + y³ ifadesinin sonucu
  4. Karşılaştırma Tablosu: Küp Toplamı ve Farkı Formülleri
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. Soru: Tam Kare İfade - K’nin Değeri

Verilen ifade:

4a^2 + 12ab + (k - 2) b^2

İfade tam kare ise k kaçtır?

Tam kare ifade genel formu:

(m a + n b)^2 = m^2 a^2 + 2 m n a b + n^2 b^2

Burada:

  • 4a^2 olduğuna göre, m^2 = 4 \Rightarrow m = 2
  • Ortadaki terim 12ab = 2 \times m \times n \times ab = 2 \times 2 \times n \times ab = 4n ab
    Buna göre,
4n = 12 \Rightarrow n = 3

Son terim n^2 b^2 = 3^2 b^2 = 9 b^2 olmalı. Sorudan (k-2) b^2 terimi var.
Eşitleyelim:

k - 2 = 9 \Rightarrow k = 11

Cevap: D) 11

:light_bulb: Pro Tip: Tam kare ifadenin ortadaki terimi, dıştaki katsayıların çarpımının 2 katı olmalıdır.

2. Soru: Karekök İçeren İfade Değeri

Verilen:

x^2 + 4x + 1 = 0

Soru:

x^2 + \frac{1}{x^2} = ?

Öncelikle, verilen denklemi kullanarak x + \frac{1}{x} ifadesini bulalım.

Denklem x^2 + 4x + 1 = 0 ise, her tarafı x ile bölelim (x≠0):

x + 4 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = -4

Bildiğimiz formül:

(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2

Şimdi değerleri yerine koyalım:

= (-4)^2 - 2 = 16 - 2 = 14

Cevap: E) 14

:warning: Uyarı: Eğer denklemde x=0 olamaz, bunu unutmayın.

3. Soru: Küplerin Toplamı

Verilen:

x + y = 3, \quad x \cdot y = 1

Soru:

x^3 + y^3 = ?

Küp toplamı formülü:

x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)

Değerleri yerine koyalım:

(3)^3 - 3 \times 1 \times 3 = 27 - 9 = 18

Cevap: B) 18

Karşılaştırma Tablosu: Küp Toplamı ve Farkı Formülleri

Özellik Küp Toplamı x^3 + y^3 Küp Farkı x^3 - y^3
Formül (x + y)^3 - 3xy(x + y) (x - y)(x^2 + xy + y^2)
Alternatif (x+y)(x^2 - xy + y^2) (x - y)^3 + 3xy(x - y)
Kullanım alanı İkili küpler toplamı çözüm İkili küpler farkı çözüm

Özet Tablo

Öğe Detay
Tam kare ifade 4a^2 + 12ab + 9b^2 = (2a + 3b)^2, k = 11
Karekök ifadesi x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 14
Küpler toplamı x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 18

Sık Sorulan Sorular

1. Tam kare ifadede katsayılar nasıl ilişkilendirilir?
Orta terim, dış ve iç katsayıların çarpımının ya da köklerinin 2 katı olmalıdır.

2. x^2+4x+1=0 denklemi nasıl yorumlanır?
Denklemi köklerinin çarpımı ve toplamı bağlamında ele alarak ters terimler için işlem yapılabilir.

3. Küpler toplamı ve farkı formülleri ne zaman kullanılır?
İki küplü ifadeler sadeleştirilmek veya özel faktörlere ayrılmak istendiğinde.

Sonraki Adımlar

İsterseniz bu tip problemlerde sıkça kullanılan polinom çarpanlara ayırma teknikleri veya küpsel formüllerin daha fazla örnekleri üzerinde çalışabiliriz. Ayrıca, şıklar üzerinden benzer soruların çözümlerini görmek ister misiniz?

@Ahmet_Yasin1

3

Tip-19, Tip-20 ve Tip-21 Soruları

Önemli Çıkarımlar

  • Bir ifadenin tam kare olması için katsayılar, (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 formülüne uygun olmalıdır.
  • x^2+4x+1=0 denklemi için x+1/x değeri önce ortak payda ile bulunur.
  • Küp toplamı: x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) bağıntısı kullanılır.

4a²+12ab+(k–2)b² ifadesinin tam kare olması için k=11, x²+4x+1=0 olduğunda x²+1/x²=14, x+y=3 ve xy=1 ise x³+y³=18.

İçindekiler

  1. Tip-19 Çözümü
  2. Tip-20 Çözümü
  3. Tip-21 Çözümü

1. Tip-19 Çözümü

Soru:
4a² + 12ab + (k–2)b² ifadesi tam kare ise k kaçtır?

Çözüm Adımları:

  1. Tam kare formülü: (2a + mb)^2 = 4a^2 + 4m\,ab + m^2b^2.
  2. Ortak terim eşitlemesi:
    • Orta terim: 12ab = 4m\,ab \;\Rightarrow\; m = 3.
    • Son terim: (k-2)b^2 = m^2b^2 = 9b^2 \;\Rightarrow\; k-2 = 9 \;\Rightarrow\; k = 11.

Sonuç: k = 11

2. Tip-20 Çözümü

Soru:
x^2 + 4x + 1 = 0 olduğuna göre x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm Adımları:

  1. Denklemi x\neq0 için x^2+4x+1=0 ifadesini $x$’e böl:
    x + 4 + \frac{1}{x} = 0 \;\Rightarrow\; x + \frac{1}{x} = -4.
  2. x^2 + \frac{1}{x^2} = \bigl(x + \frac{1}{x}\bigr)^2 - 2 = (-4)^2 - 2 = 16 - 2 = 14.

Sonuç: x^2 + \frac{1}{x^2} = \mathbf{14}

3. Tip-21 Çözümü

Soru:
x + y = 3 ve x \cdot y = 1 olduğuna göre x^3 + y^3 ifadesinin sonucu kaçtır?

Çözüm Adımları:

  1. Küp toplamı formülü:
    x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3\,xy\,(x+y).
  2. Değerleri yerine yaz:
    (3)^3 - 3\cdot1\cdot3 = 27 - 9 = 18.

Sonuç: x^3 + y^3 = \mathbf{18}

Formüller Karşılaştırma Tablosu

Konu Formül
Kare Tam İfade (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
Ters Kare Toplamı x^2 + \frac{1}{x^2} = \bigl(x+\tfrac1x\bigr)^2 - 2
Küp Toplamı x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)

Özet Tablosu

Soru No Kullanılan Formül Sonuç
Tip-19 (2a+3b)^2 11
Tip-20 (x+1/x)^2 - 2 14
Tip-21 (x+y)^3 - 3xy(x+y) 18

Sıkça Sorulan Sorular

  1. Kare tam ifade nasıl tanınır?
    Ortadaki katsayı, iki terimin çarpımının iki katına eşitse tam karedir.

  2. Denklemden x+1/x nasıl bulunur?
    Denklemi $x$’e bölüp benzer terimleri toplayarak elde edilir.

  3. x^3+y^3 ifadesi her zaman aynı formülle mi hesaplanır?
    Evet, sum of cubes formülü tüm gerçel veya karmaşık sayılar için geçerlidir.

  4. Bu yöntemleri genel olarak hangi sınav türlerinde görmek mümkündür?
    YKS-TYT ve AYT matematik sorularında sıkça karşımıza çıkar.

Bu formüllerle ilgili pekiştirme amaçlı 3 adet örnek soru ister misin?
@Ahmet_Yasin1