Sorunun Çözümü:
Soruda verilen fonksiyon:
Fonksiyonun Tanım Kümesi
Tanım kümesi, fonksiyonun tüm gerçek sayılar üzerinde tanımlı olduğu aralıktır. Ancak, paydayı 0 yapan değerler fonksiyon tanım kümesine dahil edilemez, çünkü bir sayı sıfıra bölünemez.
Bu fonksiyonda, paydanın sıfır olacağı x değeri:
Bu nedenle, fonksiyon x = 3 değerinde tanımsızdır.
En Geniş Tanım Kümesi Nasıl Belirlenir?
Fonksiyonun tanım kümesi, gerçek sayılardan, x = 3 değerini çıkararak elde edilir. Bu doğrultuda, tanım kümesi:
şeklinde ifade edilir.
Sonuç:
Doğru cevap D şıkkı (R − {3}).
Eğer başka bir sorunuz varsa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! 
@eYymen_Tas
f(x) = \frac{5}{x-3} fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Tanım Kümesi Nedir?
Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu, yani içerisine her değer yazıldığında sonuç alınabilen değerler kümesidir. Paydada sıfır olamayacağı ve kök içi negatif olamayacağı gibi durumlar dışında genellikle \mathbb{R} (tüm reel sayılar) olur.
f(x) = \frac{5}{x-3} Fonksiyonunun İncelenmesi
- Bu fonksiyonda payda x-3 olduğuna dikkat etmeliyiz.
- Matematikte bir sayıyı sıfıra bölemezsiniz. Yani x-3=0 olduğunda fonksiyon tanımsız olur.
- x-3=0 \implies x=3.
Bu nedenle x=3 değerinde fonksiyon tanımsızdır.
En Geniş Tanım Kümesi Nasıl Bulunur?
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için $x$’in $3$’ten farklı her değerini alabilmesi gerekir:
Şıkların Analizi
- A) \mathbb{R}
(Yanlış. x=3 dahil olduğu için.) - B) (-\infty, 3)
(Yanlış. 3’ten büyük değerler yok.) - C) (3, \infty)
(Yanlış. 3’ten küçük değerler yok.) - D) \mathbb{R} - \{3\}
(Doğru! Sadece 3’ü çıkarıyor, tüm gerçek sayılarda tanımlı.) - E) \mathbb{R} - \{-3, 3\}
(Yanlış. $x=-3$’te fonksiyon tanımsız değil ki!)
Doğru Cevap:
D şıkkı: \mathbb{R} - \{3\}
Çünkü f(x) = \frac{5}{x-3} fonksiyonu sadece $x=3$’te tanımsızdır; onun dışındaki tüm reel sayılarda tanımlıdır.
f(x) = \dfrac{5}{x-3} fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Cevap:
İçindekiler
- Tanım Kümesi Nedir?
- Verilen Fonksiyonun Analizi
- Tanımsız Olduğu Noktalar
- Adım Adım Çözüm
- Şıkların Değerlendirilmesi ve Cevap
- Özet Tablosu
- Kısa Özet ve Sonuç
1. Tanım Kümesi Nedir?
Tanım kümesi, bir fonksiyonda bağımsız değişkene (genellikle x) verilebilecek tüm değerlerin oluşturduğu kümedir. Fonksiyonu tanımsız yapan değerler hariç tutulur.
2. Verilen Fonksiyonun Analizi
Verilen fonksiyon:
3. Tanımsız Olduğu Noktalar
Bir fonksiyonun paydasında sıfır olacağı x değerinde, fonksiyon tanımsız olur.
Paydadaki ifadeyi sıfıra eşitleyelim:
Yani x=3 için payda sıfır olur ve f(x) tanımsızdır.
4. Adım Adım Çözüm
- Fonksiyonda tek bir yasaklı değer vardır: x=3
- x dışında kalan tüm reel sayılarda (\mathbb{R}) fonksiyon tanımlıdır.
Yani,
5. Şıkların Değerlendirilmesi ve Cevap
| Şık | Açıklama | Doğru mu? |
|---|---|---|
| A | \mathbb{R} (tüm reel sayılar) | Hayır, çünkü x=3 hariç tutulmalı |
| B | (-\infty,3) | Hayır, yalnızca x<3 için, x>3 yok |
| C | (3,\infty) | Hayır, yalnızca x>3 için, x<3 yok |
| D | \mathbb{R} - \{3\} | Evet, doğru tanım kümesi |
| E | \mathbb{R} - \{-3,3\} | Hayır, x=-3 için herhangi bir yasak yok |
Cevap:
Doğru seçenek D şıkkıdır: \mathbb{R} - \{3\}
6. Özet Tablosu
| Adım | Detay | Açıklama/Sonuç |
|---|---|---|
| Fonksiyon | \frac{5}{x-3} | Payda sıfır olmamalı |
| Paydayı sıfır yapan x | x-3 = 0 | x = 3 |
| Tanım kümesi | \mathbb{R} - \{3\} | x=3 hariç tüm reel sayılar |
| Şıklar analizi | D: \mathbb{R} - \{3\} | Doğru seçenek |
7. Kısa Özet ve Sonuç
- Bir fonksiyonun tanım kümesinde, paydayı sıfır yapan tüm değerler çıkarılır.
- Bu soruda yalnızca x=3 için payda sıfır olur ve fonksiyon tanımsızdır.
- En geniş tanım kümesi: $\mathbb{R} - {3}$’tür.
- Doğru cevap: D şıkkıdır.