SORU:
x^2 + ax - b = 0 ikinci dereceden denklemin çözüm kümesi \{\cot 65^\circ, \tan 20^\circ\} olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İkinci dereceden denklemde kökler x_1, x_2 için:
- x_1 + x_2 = -a
- x_1 \cdot x_2 = -b
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Köklere dikkat et
Kökler: x_1 = \cot 65^\circ, x_2 = \tan 20^\circ.
Adım 2 — Kökler arasında trigonometrik ilişki kur
\cot 65^\circ = \tan(90^\circ - 65^\circ) = \tan 25^\circ.
Yani kökler: \tan 25^\circ ve \tan 20^\circ.
Adım 3 — Köklerin toplamını hesapla
Özel bir trigonometrik toplam formülü var:
\tan A + \tan B = \frac{\sin (A+B)}{\cos A \cos B}
Ama basitçe yaklaşık değerlerle test edelim:
\tan 20^\circ \approx 0.3640,
\tan 25^\circ \approx 0.4663.
Toplam: 0.3640 + 0.4663 = 0.8303.
Adım 4 — Köklerin çarpımını hesapla
Yaklaşık değerle:
0.4663 \times 0.3640 \approx 0.1697.
Adım 5 — a ve b değerlerini yaz
Adım 6 — Verilen seçenekleri kontrol et
A) a = b + 1
b + 1 = -0.1697 + 1 = 0.8303
a \approx -0.8303 \neq 0.8303 → Yanlış
B) a \cdot b = 1
-0.8303 \times -0.1697 = 0.141\neq 1 → Yanlış
C) a + b = -1
-0.8303 + (-0.1697) = -1 → Doğru
D) a + b = 1
Yanlış, çünkü toplam -1
E) a - b = -1
-0.8303 - (-0.1697) = -0.6606 \neq -1 → Yanlış
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) a + b = -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
SORU: x^2 + a x - b = 0 denkleminin çözüm kümesi {cot65°, tan20°} ise hangi eşitlik doğrudur?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Vieta bağıntıları: İki kök için toplam = -a, çarpım = -b.
- Tanjant toplama formülü: \tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot\tan B}.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Köklere dönüşüm
- Tanım: \cot 65^\circ = \tan(90^\circ-65^\circ)=\tan 25^\circ.
- Bu problemde: Kökler \tan 25^\circ ve \tan 20^\circ.
Adım 2 — Tanjant toplama formülünü uygula
- Tanım: \tan(25^\circ+20^\circ)=\tan 45^\circ=1.
- İşlem göster: 1=\dfrac{\tan25^\circ+\tan20^\circ}{1-\tan25^\circ\cdot\tan20^\circ}.
Adım 3 — Toplam ile çarpım arasındaki ilişkiyi elde et
- İşlem göster: 1\cdot\big(1-\tan25^\circ\cdot\tan20^\circ\big)=\tan25^\circ+\tan20^\circ.
- Sonuç: \tan25^\circ+\tan20^\circ=1-\tan25^\circ\cdot\tan20^\circ.
Adım 4 — Vieta ile ilişkilendir
- Tanım: Toplam S=\tan25^\circ+\tan20^\circ=-a.
- Tanım: Çarpım P=\tan25^\circ\cdot\tan20^\circ=-b.
- İşlem göster: S=1-P yerine koy: -a=1-(-b).
- İşlem göster: -a=1+b.
- İşlem göster: a=-1-b.
- İşlem göster: a+b=-1.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Vieta bağıntıları
- Tanım: İkinci dereceden denklemin kökleri toplamı ve çarpımı katsayılarla bağlantılıdır.
- Bu problemde: Toplam = -a, çarpım = -b.
- Tanjant toplama formülü
- Tanım: İki açının tanjantı ilişkisi toplam ve çarpım şeklindedir.
- Bu problemde: \tan45^\circ kullanılarak toplam ile çarpım arasında ilişki kuruldu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış dönüşüm cot → tan
- Yanlış: \cot65^\circ ile \tan65^\circ eşit saymak.
- Doğru: \cot65^\circ=\tan25^\circ.
- Neden yanlış: Cotanjantın açıyı 90°-ile çevirdiğini unutmak.
- Düzeltme: \cot\theta=\tan(90^\circ-\theta).
İşaret hatası (Vieta uygulaması)
- Yanlış: Toplamı -a yerine a almak.
- Doğru: İkinci dereceden x^2+ax-b=0 için kökler toplamı -a.
- Neden yanlış: Vieta işaretlerini karıştırmak.
- Düzeltme: Formülü baştan yazıp işaretleri kontrol et.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP: a + b = -1