Tüm gerçek sayılarda tanımlı olan f ve g fonksiyonları için, f(2) + g(3) kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Fonksiyonların tanım kümeleri ve payda sıfır olmamalıdır.
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- Bölme işlemlerinde payda sıfır olmamalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f/g fonksiyonunun tanım kümesini analiz et
- f/g fonksiyonunun tanım kümesi \mathbb{R} \setminus \{2\} verilmiş.
- Bu durumda, payda fonksiyonu olan g(x), x=2 değerinde sıfır olmamalı.
- Yani g(2) ≠ 0.
- Ayrıca, f(x) fonksiyonu herhangi bir kısıtlama olmadan tanımlı.
Adım 2 — g/f fonksiyonunun tanım kümesini analiz et
- g/f fonksiyonunun tanım kümesi \mathbb{R} \setminus \{3\} verilmiş.
- Bu da, payda fonksiyonu olan f(x), x=3 değerinde sıfır olmamalı.
- Yani f(3) ≠ 0.
Adım 3 — (f + g)(x) = 2x² - x + 3 eşitliğini kullan
-
Toplam fonksiyonda:
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 2x^2 - x + 3 -
Buradan f(x) ve g(x) değerlerini çıkarmaya çalışalım.
Adım 4 — f ve g fonksiyonlarını ayrıştırmaya çalış
-
f(2) ve g(3) soruluyor, tanım kümelerine göre uygun.
-
Tanım kümelerine göre, f(x) ve g(x) fonksiyonlarında payda olan ifadeleri bulalım. Soruda f/g ve g/f olduğundan, bu fonksiyonlar kesir şeklinde:
\frac{f}{g} \quad \text{tanımlı} \implies g(x) \neq 0 \quad \text{ve } x \neq 2\frac{g}{f} \quad \text{tanımlı} \implies f(x) \neq 0 \quad \text{ve } x \neq 3 -
f/g tanım kümesindeki kısıtlama \mathbb{R} \setminus \{2\} olduğuna göre, g(2) = 0 olamaz.
-
g/f tanım kümesindeki kısıtlama \mathbb{R} \setminus \{3\} olduğuna göre, f(3) = 0 olamaz.
Adım 5 — f(2) + g(3) değerini bul
- (f + g)(x) = 2x² - x + 3 olunca, x = 2 ve x=3 değerlerini yerine yazalım:
Ama soruda f(2) + g(3) isteniyor.
Adım 6 — f(2) ve g(3) değerlerini bulmak için denklem sistemi kur
- (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x^2 - x + 3
- \frac{f}{g} fonksiyonunun tanım kümesi \mathbb{R} \setminus \{2\} olduğuna göre, g(2) = 0 olmalı.
- \frac{g}{f} fonksiyonunun tanım kümesi \mathbb{R} \setminus \{3\} olduğuna göre, f(3) = 0 olmalı.
Böylece:
Adım 7 — f(3) = 0 ve g(2) = 0 değerlerini kullanarak (f+g)(3) ve (f+g)(2) ifadelerini düzenle
- (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 0 + g(3) = g(3)
- (f + g)(2) = f(2) + g(2) = f(2) + 0 = f(2)
Adım 8 — (f + g)(2) ve (f + g)(3) ifadeleri eşitlikten hesaplanabilir
- (f + g)(2) = 2 × 2² - 2 + 3 = 8 - 2 + 3 = 9 → bu da f(2) = 9
- (f + g)(3) = 2 × 3² - 3 + 3 = 18 - 3 + 3 = 18 → bu da g(3) = 18
Adım 9 — Sonuç
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Tüm gerçek sayılarda tanımlı olan f ve g fonksiyonları için; \dfrac{f}{g} fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \mathbb{R}\setminus\{2\}, \dfrac{g}{f} fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \mathbb{R}\setminus\{3\} ve (f+g)(x)=2x^2-x+3 olduğuna göre, f(2)+g(3) kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bölme fonksiyonunun tanım kümesi: \dfrac{u}{v} fonksiyonunun tanım kümesi, v(x)\neq0 olan tüm x değerleridir.
- Toplam fonksiyonu: (f+g)(x)=f(x)+g(x).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanım kümelerinin anlamı
- \dfrac{f}{g} fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \mathbb{R}\setminus\{2\} olduğuna göre g(2)=0.
- \dfrac{g}{f} fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \mathbb{R}\setminus\{3\} olduğuna göre f(3)=0.
Adım 2 — x=2 için toplamı kullan
- (f+g)(2)=2\cdot 2^2-2+3
- 2\cdot 2^2=2\cdot 4=8
- 8-2+3=6+3=9
- Yani f(2)+g(2)=9. Ancak g(2)=0, dolayısıyla f(2)=9.
Adım 3 — x=3 için toplamı kullan
- (f+g)(3)=2\cdot 3^2-3+3
- 2\cdot 3^2=2\cdot 9=18
- 18-3+3=15+3=18
- Yani f(3)+g(3)=18. Ancak f(3)=0, dolayısıyla g(3)=18.
Adım 4 — İstenen toplamın hazırlanması
- f(2)=9 ve g(3)=18 bulundu.
CEVAP: 27
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!