Bu soruda çözüm için verilen kartondan piramit yapımı için gerekli olan doğru üçgen çiftini bulmamız gerekiyor.
Sorunun Analizi:
Verilen karton iki kenarının uzunluğu olan 6 cm ve 8 cm, dik üçgenler oluşturularak piramit anlayışı için kullanılacak. Verilen dört şıktan doğru kenar uzunluklarına sahip olanları kontrol ederek çözüm yapılacaktır.
Çözüm Adımları:
-
Kartondan Dik Piramit Yapımı için Kenar Şartları:
- Piramit yapımında kullanılan üçgenler birbirine eş olmalı, her bir üçgenin hipotenüsü aynı uzunlukta olmalıdır.
- Dik üçgenin kenar uzunlukları yukarıdaki kartonun kenar ölçülerine uygun olmalıdır.
-
Kenarı Hesaplama Kuralları:
- Dik üçgende hipotenüs formülü: Hipotenüs, dik kenarların kareleri toplamının kareköküdür.
$$ h = \sqrt{a^2 + b^2} $$
- Dik üçgende hipotenüs formülü: Hipotenüs, dik kenarların kareleri toplamının kareköküdür.
-
Bu bağlama göre şıkları kontrol edelim:
-
A) (6-8-10)
Dik kenarlar 6 ve 8, hipotenüs:
$$ h = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. $$
Bu bir doğru üçgendir. -
B) (6-6-8)
Dik kenarlar eşit değil ve bu hipotenüsü doğru bir şekilde üretmez.
$$ h = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}. $$
Hipotenüsü 8 değil, bu şekli sağlamaz. -
C) (6-6-6)
Dik üçgen kuralları gereği, 6, 6, 6 eşkenar üçgeni oluşturur. Dik üçgen değildir ve piramit yapılamaz. -
D) (10-6-8)
Hipotenüs olan bu üçgen de dik üçgen değildir çünkü kenar uzunlukları yanlış kombinasyonda.
-
Doğru cevap: A) (6-8-10) Şıkkıdır.
Özet Tablo:
| Şıklar | Kenar Uzunlukları | Hipotenüs Hesabı | Dik Üçgen? |
|---|---|---|---|
| A) | 6-8-10 | \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 | Evet |
| B) | 6-6-8 | \sqrt{6^2 + 6^2} \neq 8 | Hayır |
| C) | 6-6-6 | Eşkenar Üçgen | Hayır |
| D) | 10-6-8 | Yanlış kombinasyon | Hayır |
Sonuç: A şıkkı ile karton doğru şekilde piramiti oluşturan dik üçgenleri üretebilir. Eğer başka sorularınız varsa lütfen çekinmeden sorun! 
Buna göre, aşağıda verilen üçgen çiftlerinden hangisi yeterli kadar kullanılarak bu piramit elde edilir?
İçindekiler
- Sorunun Genel Tanıtımı
- Dik Piramit Kavramı
- Gerekli Geometrik İlişkiler
- Adım Adım Çözüm
- Çözümün Özeti
1. Sorunun Genel Tanıtımı
Soru bize 6 cm ve 8 cm kenarlarına sahip dikdörtgen bir tabandan dik (yani tepe noktası taban merkezinin tam üzerinde bulunan) bir piramit oluşturmak için, tabanın çevresine belirli sayıdaki eş üçgenlerin yapıştırılacağını söylüyor. Bu üçgenler, piramidin yanal yüzlerini oluşturacaktır. Sorumuz: “Aşağıda verilen üçgen çiftlerinden hangisi, uygun sayıda kullanıldığında bu dik piramidin yanal yüzlerini düzgün şekilde kaplayabilir?”
2. Dik Piramit Kavramı
- Dik Piramit: Taban merkezine dik olarak inen bir yükseklikle tepe noktası kesişen piramide “dik piramit” denir.
- Tabanımız dikdörtgen: 6 cm × 8 cm. Dolayısıyla tabanın merkezi, dikdörtgenin köşelerine eşit uzaklıktadır.
- Tepe noktası (apex) bu merkezin tam üzerinde yer alırsa, her köşe ile tepe noktası arasındaki uzaklık aynıdır.
3. Gerekli Geometrik İlişkiler
-
Taban Merkezinin Köşelere Uzaklığı:
Dikdörtgenin boyutu 6 × 8 olduğundan, yarım kenarlar 3 ve 4 cm’dir.
Her köşenin (taban merkezi ile arasındaki) yatay uzaklığı, Pisagor bağıntısından
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
dolayısıyla köşeler taban merkezinden 5 cm uzaktadır. -
Köşe-Tepe Uzaklığı (Piramit Dik Olunca):
Tepe noktası taban merkezine dik konumlandığında, tüm köşeler ile tepe noktası arasındaki mesafe aynıdır. Eğer bu uzunluk \sqrt{25 + h^2} ise, burada h piramidin yüksekliğidir. -
Yanal Yüzleri Oluşturan Üçgenler:
- Taban kenarları 6 cm olan iki yanal yüz: İkişer kenarı “köşe-tepe” uzaklıklarıyla aynı, tabanı 6 cm.
- Taban kenarları 8 cm olan iki yanal yüz: İkişer kenarı yine “köşe-tepe” uzaklıklarıyla aynı, tabanı 8 cm.
Böylece iki çeşit üçgen kullanılır:
- Tabanı 6 cm, diğer iki kenarı aynı.
- Tabanı 8 cm, diğer iki kenarı aynı.
4. Adım Adım Çözüm
-
Yanal Kenarların Uzunluğunu Belirleyelim
- Tüm köşelerin tepe noktasına uzaklığı sabit olsun: d.
- Yanal yüzler isosceles (ikizkenar) üçgenler olduğu için, “6 tabanlı yüz”ün kenarları (6, d, d), “8 tabanlı yüz”ün kenarları (8, d, d) şeklinde olur.
-
Integer (Tam Sayı) Değer Arayışı
Sınav tipindeki sorularda çoğu zaman kenar uzunlukları tam sayı olarak verilir. Dikdörtgen taban merkezine 5 cm yatay uzaklık, yüksekliğe h dersek,
d = \sqrt{5^2 + h^2} = \sqrt{25 + h^2}.
Bu değerin tam sayı olması için, 25 + h^2 tam kare olmalıdır.
En küçük örnek: 25 + 75 = 100, yani h^2 = 75 ve d=10.
Burada h=5\sqrt{3}, ama bizim için asıl önemli olan yanal kenar d=10 değerini yakalamak. -
Yanal Yüzlerdeki Üçgenlerin Şekli
- 6 tabanlı yüz: Kenarları (6, 10, 10)
- 8 tabanlı yüz: Kenarları (8, 10, 10)
-
Seçeneklerdeki Üçgen Çifti
Genellikle sorularda, “(6, 10, 10) üçgeninden 2 tane” ve “(8, 10, 10) üçgeninden 2 tane” kullanılarak bu piramidin tüm yanal yüzleri kaplanır. Bazı soru formatlarında bu üçgenler “6, 8, 10” gibi listelense de aslında kast edilen iki farklı ikizkenar üçgendir. Dolayısıyla doğru cevap, 6 cm kenar için (6, 10, 10) ve 8 cm kenar için (8, 10, 10) şeklinde iki üçgen cinsinin yeterince (toplam 4 adet) kullanılmasıdır.
Aşağıdaki tabloda temel ilişkileri özetledik:
| Özellik | Değer / İfade |
|---|---|
| Dikdörtgen Taban Boyutları | 6 cm × 8 cm |
| Tabanın Yarısı | 3 cm ve 4 cm |
| Merkezden Köşeye Uzaklık | 5 cm (Pisagor: 3^2 + 4^2=25) |
| Tepe Noktası Yüksekliği | 5\sqrt{3} (Tam kenar için) |
| Yanal Kenarlar | \sqrt{25 + h^2}=10 |
| 6’lık Yüz Üçgeni | (6, 10, 10) |
| 8’lik Yüz Üçgeni | (8, 10, 10) |
5. Çözümün Özeti
- Dikdörtgen tabanın her köşesi merkeze 5 cm uzaktır.
- Dik piramitte tepe merkez üzerinde olduğunda köşe-tepe kenarları eşit uzunlukta olur.
- Bu uzunluğun tam sayı (10) olması için piramit yüksekliği 5\sqrt{3} olabilir.
- O halde 6 tabanlı yanal yüzler (6, 10, 10), 8 tabanlı yanal yüzler (8, 10, 10) üçgenleridir.
- Bu iki tip üçgenden, tabanın etrafına gerekli sayıda (her kenar için birer tane) yapıştırarak dik piramit oluşturulur.
Cevap: Soruda verilen seçeneklerde, tabanı 6 cm olan üçgenler (6, 10, 10) ve tabanı 8 cm olan üçgenler (8, 10, 10) yeterli miktarda kullanılarak dik piramit elde edilir.