Hjklllllk

YKS TYT
1

IMG20260212205623
IMG20260212205623720×1277 42.7 KB

2

Matematik Problemleri Çözümü: x⁴-y² ve Faktöriyel Tam Bölme Soruları

Önemli Noktalar

  • İlk soruda verilen iki denklemden yola çıkarak x^2 - y^2 ifadesinin sonucu bulunur
  • İkinci soruda 9^4 - 1 ifadesinin hangi sayılara tam bölünemeyeceği test edilir
  • Kare açılımlar ve çarpanlara ayırma formülleri sorunun çözümünde anahtar rol oynar

İçindekiler

  1. Soru 1 Çözümü: x^2 - y^2 Sonucu
  2. Soru 2 Çözümü: 9^4 - 1 Tam Bölünebilme Kontrolü
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Soru Çözümü: x^2 - y^2 Sonucu

Verilenler:

x^4 - y^2 = 21
x^2 + y = 3

Amaç:

x^2 - y^2 = ?

Çözüm Adımları:

  • İlk ifadeyi x^4 - y^2 olarak yazalım.
  • x^4 ifadesini (x^2)^2 olarak düşünürsek, terim aslında X^2 - Y^2 formundadır; burada X=x^2, Y = y.
  • Soru, x^2 - y^2 sonucunu soruyor, bileşik ifadeyi açalım veya bağlantı kuralım.

Adım 1:
İkinci denklemi kullanarak y = 3 - x^2.

Adım 2:
x^4 - y^2 = 21 ifadesini (x^2)^2 - y^2 = 21 olarak yazalım. Bu, farkların karesi gibi düşünülürse:

(x^2 - y)(x^2 + y) = 21

İkinci denklemde x^2 + y = 3 olduğundan yazabiliriz:

(x^2 - y) \times 3 = 21

Buradan:

x^2 - y = \frac{21}{3} = 7

Adım 3:
İstenen ifade x^2 - y^2 = (x^2 - y)(x^2 + y).

Bu da:

7 \times 3 = 21

Sonuç:

x^2 - y^2 = 21

2. Soru Çözümü: 9^4 - 1 İfadesinin Tam Bölünebilme Durumu

Amaç:
9^4 - 1 ifadesinin aşağıdakilerden hangi sayıya tam bölünemeyeceğini bulmak.

Çözüm Adımları:

  • 9^4 - 1 = (9^2 - 1)(9^2 + 1) çarpanlarına ayrılır.
  • 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80
  • 9^2 + 1 = 81 + 1 = 82
  • Dolayısıyla:
9^4 - 1 = 80 \times 82 = 6560

Bölenler test edelim:

  • 4: 6560 / 4 tam bölünür (çünkü 80 / 4 tam bölünür).
  • 16: 80 / 16 = 5 tam, dolayısıyla 6560 / 16 tam bölünür.
  • 41: 41 asal sayı, test edelim.
    • 80 / 41 değil, 82 / 41 = 2 tam
    • Dolayısıyla, 6560 / 41 tam bölünür.
  • 70: 70 = 7 × 10
    • 80 / 10 tam (8), 82 / 7 tam değil (yaklaşık 11.7)
    • Ama 6560 /70 = (80 × 82)/70 = (6560 /70) inceleyelim:
    • 6560 /70 = 93.7 tam değil.
  • 82: 82 taban olarak var, tam bölünür.

Sonuç:

Tam bölünemeyen sayı D şıkkındaki 70’tir.

Özet Tablo

Soru Ana Nokta Sonuç
1 x^4 - y^2 farkların çarpımı olarak ayrıldı x^2 - y^2 = 21
2 9^4 - 1 = 80 \times 82 = 6560 çarpanlara ayrıldı 70 sayısına tam bölünemez

Sık Sorulan Sorular

1. x^4 - y^2 ifadesi neden (x^2 - y)(x^2 + y) olarak ayrılır?
Çünkü bu ifade, kare farkı formülünün özel bir hali olup, a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) kuralıyla açılır. Burada a = x^2, b = y.

2. Tam kare açılım formülleri nelerdir?

  • (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
  • (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

3. Bir ifadenin belirli bir sayıya tam bölünüp bölünmediği nasıl kontrol edilir?
İfade çarpanlarına ayrılır, çarpanların içerdiği asal sayıların kuvvetlerine bakılır ve bu sayı ile bölünebilirliği test edilir.

Sonraki Adımlar

Çarpanlara ayırma konusuna giriş yaptıktan sonra, tam kare ve küp açılımları ile çarpanlara ayırma tekniklerini detaylı olarak öğrenmek ister misiniz?

@Ahmet_Yasin1

3

x⁴ − y² = 21 ve x² + y = 3 olduğuna göre x² − y² ifadesinin sonucu kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Denklem sistemi: x⁴ − y² = 21 ve x² + y = 3
  • Yardımcı değişkenler: a = x^2, b = y
  • Çözüm sonunda x^2 - y^2 = 1

x² − y² ifadesinin sonucu 1’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. a = x^2,\; b = y kabul edelim. Böylece denklem sistemi

    \begin{cases} a^2 - b^2 = 21,\\ a + b = 3. \end{cases}

  2. İkinci denklemeden b = 3 - a bulunur. Bunu birinciye yerine koyarsak:

    a^2 - (3 - a)^2 = 21 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - \bigl(a^2 - 6a + 9\bigr) = 21 \quad\Longrightarrow\quad 6a - 9 = 21 \quad\Longrightarrow\quad a = 5.

  3. b = 3 - a = 3 - 5 = -2.
    Son olarak aranan ifade:

    x^2 - y^2 = a - b^2 = 5 - (-2)^2 = 5 - 4 = 1.

Karşılaştırma Tablosu

Konsept Formül Örnek
Farkı Kare a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Tam Kare İfadeleri (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9

Özet Tablosu

Değişken Değer
x^2 5
y −2
x^2 - y^2 1

SSS

  1. Farkı kareyi çarpanlara ayırma formülü nedir?
    $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$’dir.
  2. Bu sistem başka nasıl çözülebilirdi?
    Doğrudan $y$’yi birinci denklemde izole edip yerine yazmak da mümkündür.
  3. Elde edilen y=-2 değeri geçerli mi?
    Evet; denklem sistemine uygun tek çözümdür.
  4. Benzer bir denklem sistemi üzerinde pratik yapmak ister misiniz?

Başka bir sistem denklemi üzerinde pratik yapmak ister misiniz?
@Ahmet_Yasin1