Denklemler ve Soruların Çözümü
Önemli Noktalar
- Birinci soru üç bilinmeyenli lineer denklemlerden oluşur.
- İkinci soruda mutlak değer ve kare toplamını sağlayan koşul vardır.
- Her iki sorunun da amacı belirli ifadelerin toplamı veya çarpımını bulmaktır.
1. Soru: x + y + z Toplamı
Verilen denklemler:
Amaç: x + y + z = ?
Çözüm:
Denklemleri toplamak yerine, amaç ifadenin doğrudan bulunması. Toplama işlemi yapalım:
Sol taraf:
Şimdi x + y + z yerine S diyelim.
Olur mu, bilmiyoruz. İkinci yaklaşım farklı.
İkinci yaklaşım: Bağımsız kombinasyon bulalım.
- İlk denklem: x + 2y + 3z = 7 \implies x = 7 - 2y - 3z
- İkinci denklem: 2x + y + 4z = 11
- Üçüncü denklem: 3x + y + 3z = 22
İkinci denkleme x yazalım:
Üçüncü denkleme x yazalım:
Böylece iki bilinmeyenli sistem oluştu:
Bu sistemi çözelim:
İlk denklemi 3 ile, ikinciyi 1 ile çarpalım:
Birinci eksi ikinci:
y = 2.5 iken,
3y + 2z = 3 \Rightarrow 3(2.5) + 2z = 3 \Rightarrow 7.5 + 2z = 3 \Rightarrow 2z = 3 - 7.5 = -4.5 \Rightarrow z = -2.25
x için:
Toplam:
Yanıt: D) 9
2. Soru: x \cdot y Çarpımı
Denklem:
Amaç: Denklemi sağlayan x, y için x \cdot y değerini bulun.
Çözüm:
İfade toplamı 0 ise, her terim 0 olmalıdır çünkü kare ve mutlak değer negatif olamaz.
Yani:
ve
İki denklem:
Toplayalım:
x=4 yerine koyalım:
Çarpımları:
Yanıt: B) -8
Özet Tablo
| Soru | Sonuç |
|---|---|
| 1. Soru (x+y+z) | 9 |
| 2. Soru (x·y) | -8 |
Sık Sorulan Sorular
1. Denklemlerde neden mutlak değer ve kare ifadelerinde her terim sıfıra eşit olmalı?
Çünkü her ikisi de negatif olamaz, toplamları sıfır ise her iki ifade sıfır olmak zorundadır.
2. Lineer denklem sistemlerinde toplam veya çarpım nasıl bulunur?
Sistemi çözerek bilinmeyenler bulunur, sonra istenen toplam veya çarpım hesaplanır.
3. Bu tür sorular YKS’de sık çıkar mı?
Evet, özellikle 3 bilinmeyenli sistemler temel matematikte önemli yer tutar.
Sonraki Adımlar
Karmaşık denklemlerle nasıl daha hızlı çözüm yapılacağını öğrenmek ister misiniz? Yoksa bu tip sorular için genel çözüm yöntemi mi istersiniz?
Tip-12 ve Tip-13 Soruları
Önemli Noktalar
- Tip-12, 3 bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi içerir ve cebrik yöntemlerle çözülür.
- Tip-13, kare alma ve mutlak değer özelliklerinin toplamının sıfıra eşitlenmesinden yararlanır.
- Her iki problemde de “ifadenin karesi veya mutlak değeri” sıfıra eşit olduğunda ilgili içerikler ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.
Tip-12 için x + y + z = 9, Tip-13 için x·y = −8.
İçindekiler
Tip-12 Çözümü
Denklemler:
- Birinci denklemi x = 7 - 2y - 3z biçiminde düzenleyelim.
- İkinci denklemde yerine koyup:2(7 - 2y -3z) + y + 4z = 11 \quad\Rightarrow\quad 3y + 2z = 3
- Üçüncü denklemde yerine koyup:3(7 - 2y -3z) + y + 3z = 22 \quad\Rightarrow\quad 5y + 6z = -1
- Bu ikili denklemi birlikte çözdüğümüzde z = -\tfrac94, y = \tfrac52, x = \tfrac{35}4 elde edilir.
- Toplam:
Tip-13 Çözümü
Denklem:
- Bir kare ve bir mutlak değer toplamı sıfıra eşit ise her biri ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
- 2x + y - 6 = 0 → y = 6 - 2x.
- 3x - y - 14 = 0 → yerine koyup 5x = 20 → x = 4.
- y = 6 - 8 = -2.
- Çarpım:
Özet Tablosu
| Problem | Sonuç |
|---|---|
| Tip-12 | x+y+z = 9 |
| Tip-13 | x \cdot y = -8 |
SSS
S1: Üç bilinmeyenli doğrusal sistemi çözerken en çok hangi yöntem tercih edilmelidir?
C: Genellikle yerine koyma veya eliminasyon metodu pratik ve hatasız sonuç verir.
S2: (A)^2 + |B| = 0 şeklindeki bir denklemde izlenecek adımlar nelerdir?
C: Önce A^2 = 0 ve |B| = 0 şartlarını ayrı ayrı sağlayın, sonra her iki denklemi çözün.
S3: Çözüm adımlarını kısaltmak için ne yapabiliriz?
C: Denklemde hem kare hem mutlak değer varsa, doğruluk payı yüksek, doğrudan “her iki ifade sıfır” yaklaşımı kullanılır.
S4: Sistem çözümünde kesirli sonuçlarla karşılaşınca nasıl hızlı toplama yapılır?
C: Paydaları eşitleyip payları toplayın ya da ondalık biçime çevirip toplam alın.
Başka benzer pratik sorularla çözüm becerilerinizi pekiştirmek ister misiniz?
@Ahmet_Yasin1