Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için; p: A kümesindeki her eleman B kümesinde bulunmaktadır. q: B kümesinde olup A kümesinde olmayan eleman yoktur. r: A x B Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 24’tür. r ∨ (p ⇒ q) önermesi yanlış olduğuna göre, A x (B \ A) Kartezyen kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Kartezyen çarpım sayısı: |A x B| = |A| × |B|
- Önerme mantığı: r ∨ (p ⇒ q) yanlış ise r yanlış ve (p ⇒ q) yanlış olmalıdır.
- Önerme: p ⇒ q, p doğruyken q yanlış ise yanlış olur.
- Kümeler ve fark işlemi: B \ A, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Önermenin yanlış olması koşulunu incele
- r ∨ (p ⇒ q) yanlış ise:
- r yanlış,
- (p ⇒ q) yanlış olmalı.
Adım 2 — r’nin yanlış olması
- r: |A x B| = 24
- r yanlış ise |A| × |B| ≠ 24
- Yani |A| × |B| ≠ 24 olmalı.
Adım 3 — (p ⇒ q) önermesinin yanlış olması
- p: “A’daki her eleman B’de”
- q: “B’de olup A’da olmayan yok”
- p ⇒ q yanlış ise p doğru, q yanlış olmalı
- p doğru ise A ⊆ B
- q yanlış ise B \ A kümesi boş değildir, yani B’de A’da olmayan en az bir eleman var.
Adım 4 — Kümelerin büyüklükleri hakkında çıkarımlar
- p doğru → A ⊆ B → |B| ≥ |A|
- B \ A ≠ ∅ → |B| > |A|
- r yanlış → |A| × |B| ≠ 24
Adım 5 — A x (B \ A) kümesinin eleman sayısı
- |A x (B \ A)| = |A| × |B \ A| = |A| × (|B| - |A|)
Adım 6 — |A| ve |B| değerlerini tahmin etme
- |A| = a, |B| = b, a < b
- a × b ≠ 24 (çünkü r yanlış)
- İşaretlerden dolayı p doğru, q yanlış, r yanlış ayakta.
Adım 7 — a ve b için b olası değerleri, a×b ≠ 24
- 24’ün çarpanları: (1×24), (2×12), (3×8), (4×6), (6×4), (8×3), (12×2), (24×1)
- Bunlardan a < b ve a×b ≠ 24 olanları seçelim:
|a| |b| |a × b| |a × (b - a)|
|-|-|-|-|
|1|2|2|1 × (2-1)=1|
|2|3|6|2 × (3-2)=2|
|3|5|15|3 × (5-3)=6|
|3|7|21|3 × (7-3)=12|
|4|7|28|4 × (7-4)=12|
|…|…|…|…|
Ama kesin bilgi için önerme p ⇒ q yanlış ama p doğru, q yanlış (A⊆B ama B \ A ≠ ∅), ve r yanlış (a×b≠24)
Adım 8 — Verilen seçenek değerlerini kontrol etme
- Seçenekler: A)8, B)12, C)15, D)20, E)23
- |A x (B \ A)| = a × (b - a) sayısıdır.
- Bu sayının verilecek seçeneklerden biri olmaması gerekiyor.
Adım 9 — a×b farklı ve a×(b - a) yukarıdaki değerlere göre değişir
- Eğer a×b = 24 olsaydı r doğru olurdu. Ama r yanlış.
- Örneğin a=4, b=6 ise r doğru olur (24), bu olmaz.
- a=3, b=7 ise r yanlış çünkü 21 ≠ 24.
- Bu durumda a × (b - a) = 3 × (7-3) = 12 olur.
- Diğer ihtimallerde de aynı şekilde hesap edilir.
Adım 10 — 15 değeri a×(b - a) olamaz mı?
- 15 için, a ve b - a’nın çarpımı 15 olmalı.
- a ve b gerçek pozitif tam sayılar, a < b.
- a×b ≠ 24 (r yanlış)
- Bunu sağlayan değerler olabilir mi?
Örneğin:
a=3, (b - a)=5 → b=8
a×b=3×8=24 ise r doğru olur, bu reddediliyor.
Başka a=5, (b - a)=3 → b=8,
a×b=5×8=40 ≠ 24 → r yanlış olur.
Dolayısıyla |A x (B \ A)|=15 olabilir.
Adım 11 — 20 değerini kontrol etme
a=4, (b - a)=5 → b=9,
a×b=4×9=36 ≠ 24 → r yanlış, bu mümkün
Adım 12 — 8 değerini kontrol etme
a=2, (b - a)=4 → b=6,
a×b=12 ≠ 24 → r yanlış, bu mümkün
Adım 13 — 23 değeri pozitif tam sayı çarpımı mı olabilir?
a × (b - a) = 23,
23 asal sayı olduğundan,
a=1 ve b - a = 23 → b=24,
a×b=1×24=24 → r doğru olur, olmaz,
veya a=23 ve b - a=1 →b=24,
23×24=552 ≠ 24 → r yanlış, mümkün.
Adım 14 — 12 değeri mümkün
Örnek verilmiş, mümkün.
Adım 15 — Sonuç
Tekrar en başa dönersek:
r yanlış → a×b ≠ 24.
Eğer a×b ≠ 24 ise 24 elemanlı r doğru değil.
Ama soru “A x (B \ A)” kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Şunu fark edelim: r yanlış olmalı → a×b ≠ 24.
Bir ihtimal de a×b=24 ise r doğru olur, yani bu durumda önermenin toplamı doğru olur.
(p ⇒ q) yanlış ise p doğru, q yanlış olması gerekir.
p doğru: A ⊆ B
q yanlış: B \ A ≠ ∅ demek.
Yani A x (B \ A) nonempty.
Son olarak, r ∨ (p ⇒ q) önermesi yanlışsa:
r yanlış ve (p ⇒ q) yanlış.
O halde a×b ≠ 24’dür.
Yani a×b 24 olmadığında mümkün.
a×b=24 olmadığında (örneğin r yanlış) A x (B \ A) kümesinin eleman sayısı olan a × (b - a) 24’ün çarpanlarının dışında bir sayı olur.
Ama 20 (D şıkkı) ve 23 sayılarının bölme veya çarpma ilişkisi zor görünüyor.
Doğru cevabı daha net görmek için, verilen seçeneklerde kartezyen sayısı 24 olanların durumuna bakalım:
-
A x B =24 yanlış, yani a×b ≠ 24.
-
Eğer a×b=24 ise r doğru olur, önermenin doğruluğu bozulmaz.
-
Bu yüzden a×b=24 olursa, önerme doğru olur.
-
Dolayısıyla a×b=24 seçeneği olmamalı.
Verilen seçeneklerden hangisi A x (B \ A) kümesinin eleman sayısı olamaz?
-
A x (B\A) = a × (b−a)
-
Bu sayı olamaz çünkü bu durumda r doğru olur.
Bu mantığa göre, |A x (B \ A)|=15 olamaz.
Çünkü:
a=3, (b - a)=5 yani b=8
a×b=3×8=24 ise r doğru olur.
Ama r yanlış olmalı.
Bu yöntemle diğer cevapları kontrol edince sadece C) 15 olamaz.
CEVAP: C) 15
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için; p: A kümesindeki her eleman B kümesinde bulunmaktadır. q: B kümesinde olup A kümesinde olmayan eleman yoktur. r: A × B Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 24’tür. Önermeleri veriliyor. r’ ∨ (p ⇒ q) önermesi yanlış olduğuna göre, A × (B \ A) kartezyen kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
|A\times B| = |A|\cdot|B|
|A\times (B\setminus A)| = |A|\cdot|B\setminus A| = |A|\bigl(|B|-|A|\bigr)
Mantık kuralı: p\Rightarrow q yanlış ise p doğru ve q yanlış demektir. Birleşke \neg r\vee(p\Rightarrow q) yanlış ise \neg r yanlış ve p\Rightarrow q yanlış olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Önermeden çıkarım yapma
Tanım: \neg r\vee(p\Rightarrow q) yanlış olmak için her iki ifade de yanlış olmalıdır.
Bu problemde: \neg r yanlış ise r doğrudur; yani |A|\cdot|B|=24 .
Bu problemde: p\Rightarrow q yanlış ise p doğru ve q yanlış; yani A\subset B ve dolayısıyla |A|<|B|.
Adım 2 — Olabilecek (|A|,|B|) çiftlerini bulma
Aranan pozitif tam sayılar a=|A|,\; b=|B| için a\cdot b=24 ve a<b. Tüm çarpan çiftleri:
1\times 24 = 24 → (a,b)=(1,24)
2\times 12 = 24 → (a,b)=(2,12)
3\times 8 = 24 → (a,b)=(3,8)
4\times 6 = 24 → (a,b)=(4,6)
Adım 3 — Her bir çift için |A|\cdot(|B|-|A|) hesaplama
(a,b)=(1,24):\quad 1\times(24-1)=1\times 23=23
(a,b)=(2,12):\quad 2\times(12-2)=2\times 10=20
(a,b)=(3,8):\quad 3\times(8-3)=3\times 5=15
(a,b)=(4,6):\quad 4\times(6-4)=4\times 2=8
Adım 4 — Seçeneklerle karşılaştırma
Verilen seçenekler: A) 8 B) 12 C) 15 D) 20 E) 23
Elde edilen olası değerler: 23,\;20,\;15,\;8. Bu değerler arasında 12 yoktur.
CEVAP: B) 12
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?