Hjgvvhg

YKS TYT
1

IMG20260213170629
IMG20260213170629720×1277 40 KB

2

KPSS Oran - Orantı Matematik Soruları Çözümü

Önemli Noktalar

  • Geometrik ortalama, iki sayının çarpımının karekökü olarak hesaplanır.
  • Aritmetik ortalama, sayıların toplamının adedine bölünmesiyle bulunur.
  • Verilen problemlerde hem aritmetik hem de geometrik ortalamalar kullanılarak bilinmeyen sayılar bulunur.
  • Parçalama ve toplama işlemlerinde dikkat edilmesi gereken formüller ve sayıların köklü halleri netlikle değerlendirilmelidir.

İçindekiler

  1. Soru 1: Geometrik Ortalama Hesaplama
  2. Soru 2: Aritmetik ve Geometrik Ortalamalarla Sayı Bulma
  3. Soru 3: A ve B Kutularındaki Top Sayısını Bulma

Soru 1: Geometrik Ortalama Hesaplama

Verilen sayılar: (\sqrt{7} - 2) ve (\sqrt{7} + 2).

Geometrik ortalama şu şekilde hesaplanır:

Geometrik\, ortalama = \sqrt{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}

Hesap:

(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^2 - (2)^2 = 7 - 4 = 3

Yani geometrik ortalama:

\sqrt{3}

Doğru cevap: A) \sqrt{3}

Soru 2: Aritmetik ve Geometrik Ortalamalarla Sayı Bulma

Verilenler:

  • a ile b’nin aritmetik ortalaması 6
  • a ile geometrik ortalaması 2\sqrt{3}
  • b ile geometrik ortalaması 3\sqrt{2} olan sayı bulunacak

Çözüm:

1. Aritmetik ortalama:

\frac{a + b}{2} = 6 \implies a + b = 12

2. a ile geometrik ortalaması 2\sqrt{3} olan sayıyı x alalım:

\sqrt{a \times x} = 2\sqrt{3} \implies a \times x = 4 \times 3 = 12 \implies x = \frac{12}{a}

3. b ile geometrik ortalaması 3\sqrt{2} olan sayıyı y alalım:

\sqrt{b \times y} = 3\sqrt{2} \implies b \times y = 9 \times 2 = 18 \implies y = \frac{18}{b}

Soru, “b ile geometrik ortalaması 3\sqrt{2} olan sayı kaçtır?” diye sormaktadır. Yani sonuç y = \frac{18}{b}.

Fakat a ile b arasındaki ilişkiyi kullanarak b’yi bulmamız gerekiyor.

Ek Bilgi: “a ile geometrik ortalaması 2\sqrt{3}, b ile geometrik ortalaması 3\sqrt{2} olan sayı”

Aslında soruda:

  • a ile bir sayının geometrik ortalaması 2\sqrt{3}, bu sayı nedir? (yani x)
  • b ile bir sayının geometrik ortalaması 3\sqrt{2}, bu sayı nedir? (yani y)

Ama a ve b’yi bilmediğimiz için problem tam çözülmez.

Ancak a ve b şu ilişkidedir:

a + b = 12

Ayrıca, a ve b’yi bu geometrik ortalamalarla ilişkilendirmek için sayıların ne olduğunu soruyor gibi gözüküyor.

Burada veriler tam değil ancak problemde sorulan sayılar, a ve b ile birlikte verilen ortalamaların diğer sayılarıdır. b ile geometrik ortalaması 3\sqrt{2} olan sayı y ise:

Cevap: y = \frac{18}{b}'dir.

İkinci sorunun tam çözümü için ek bilgi gerekli veya problem metninde hata olabilir.

Soru 3: A ve B Kutularındaki Top Sayısını Bulma

Verilenler:

  • 1’den 65’e kadar numaralandırılmış 65 top
  • Toplar iki kutuya dağıtılıyor: A ve B
  • A kutusundaki topların numaralarının aritmetik ortalaması 30
  • B kutusundaki topların aritmetik ortalaması 35

Amaç: A kutusundaki top sayısını bulmak.

Çözüm:

Toplam top sayısı: 65
A kutusunda x top var, B kutusunda 65 - x top var.

A toplam numara sayısı: 30 \times x
B toplam numara sayısı: 35 \times (65 - x)

Toplam numara toplamı:

1 + 2 + \cdots + 65 = \frac{65 \times 66}{2} = 2145

Eşitlik:

30x + 35(65 - x) = 2145
30x + 2275 - 35x = 2145
-5x + 2275 = 2145
-5x = 2145 - 2275 = -130
x = \frac{130}{5} = 26

Cevap: B) 26

Özet Tablo

Soru Özeti Cevap
1 (\sqrt{7} - 2) ile (\sqrt{7} + 2) sayılarının geometrik ortalaması \sqrt{3} (A)
2 a,b ve bazı geometrik ortalamalar verilmiş, sayıların değerleri hesaplanır Problemde ek bilgi gerekli
3 1-65 arası toplar iki kutuya ayrılmış, kutulardaki topların ortalamalarına göre A kutusundaki top sayısı 26 (B)

Sık Sorulan Sorular

1. Geometrik ortalama nedir?
Geometrik ortalama, iki sayının çarpımının karekökü olarak tanımlanır ve sayıların orantısını ifade eder.

2. Aritmetik ortalama ile geometrik ortalama arasındaki fark nedir?
Aritmetik ortalama sayıların toplamının sayıya bölünmesi, geometrik ortalama ise sayıların çarpımının karekökünün alınmasıdır.

3. Topların aritmetik ortalaması neden önemlidir?
Arttırılan ya da bölünen kümelerde ortalama değerlerin hesaplanması ve dengelenmesi için kullanılır.

Sonraki Adımlar

Geometrik ortalama ve aritmetik ortalama arasındaki fark ve uygulamalarını daha detaylı öğrenmek ister misiniz? Ya da bu konuyla ilgili soru çözümleri içeren pratik rehber hazırlamamı ister misiniz?

@Ahmet_Yasin1

3

TIP-29, TIP-30 ve TIP-31 Sorularının Çözümleri

  • Geometrik ortalama formülü \sqrt{ab} şeklindedir.
  • Aritmetik ortalama formülü \displaystyle \frac{a+b}{2} şeklindedir.
  • 1’den $n$’e kadar ardışık sayıların toplamı S=\displaystyle \frac{(1+n)\,n}{2} formülüyle bulunur.

TIP-29: \sqrt{3}
TIP-30: \displaystyle \frac{5}{2}
TIP-31: 26

İçindekiler

  1. TIP-29 Çözümü
  2. TIP-30 Çözümü
  3. TIP-31 Çözümü
  4. Aritmetik vs Geometrik Ortalama
  5. Özet Tablo
  6. Sıkça Sorulan Sorular

TIP-29 Çözümü

Say­ılar: a=\sqrt{7}-2,\;b=\sqrt{7}+2.
Geometrik ortalama

\sqrt{a\,b} =\sqrt{\bigl(\sqrt7-2\bigr)\bigl(\sqrt7+2\bigr)} =\sqrt{7-4} =\sqrt{3}.

TIP-30 Çözümü

Verilenler:
\displaystyle\frac{a+b}{2}=6\implies a+b=12.
\sqrt{a\,x}=2\sqrt3\implies a\,x=12.
\sqrt{b\,x}=3\sqrt2\implies b\,x=18.

a=\tfrac{12}{x},\;b=\tfrac{18}{x} yerine koyarsak

\frac{12}{x}+\frac{18}{x}=12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{30}{x}=12 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}.

TIP-31 Çözümü

1’den 65’e kadar sayıların toplamı

S_{\rm toplam} =\frac{(1+65)\cdot65}{2} =33\cdot65 =2145.

A kutusunda n top, B kutusunda 65-n top var.

  • A’nın toplamı 30n,
  • B’nin toplamı 35(65-n)=2275-35n.

Toplam sum: 30n+2275-35n=2145\implies2275-5n=2145\implies n=26.

Aritmetik Ortası vs Geometrik Ortası Karşılaştırması

Kavram Tanım Formül Özellik
Aritmetik Ortası İki sayının toplamının yarısı \displaystyle \frac{a+b}{2} Aritmetik ≥ Geometrik (her zaman)
Geometrik Ortası İki sayının çarpımının karekökü \displaystyle \sqrt{a\,b} İki sayının işareti aynı olmalı (ab\ge0)

Özet Tablo

Soru Tip Formül kullanımı Sonuç
TIP-29 Geometrik \sqrt{(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)} \sqrt3
TIP-30 Karma a+b=12,\;ax=12,\;bx=18 ⇒ x=5/2 5/2
TIP-31 Aritmetik S_{\rm top}=2145,\;30n+35(65-n)=2145 n=26

Sıkça Sorulan Sorular

  1. Geometrik ortalama nasıl hesaplanır?
    • İki sayının çarpımının karekökü alınarak: \sqrt{a\,b}.
  2. Aritmetik ve geometrik ortalama arasındaki temel fark nedir?
    • Aritmetik ortalama toplam üzerinden, geometrik ortalama çarpım üzerinden hesaplanır.
  3. Aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük müdür?
    • Evet, pozitif sayılar için \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{a\,b} eşitsizliği geçerlidir.
  4. Sıralı sayı toplam formülü nedir?
    • $1$’den $n$’e kadar toplam S=\frac{(1+n)\,n}{2}.

Bu çözümleri anladıysanız, bu formüllerle 3 adet pratik soru çözmek ister misiniz?
@Ahmet_Yasin1