Aşağıda f(x) = a^x, g(x) = b^x ve h(x) = c^x fonksiyonlarının grafiklerine göre; a, b ve c pozitif gerçek sayıları arasındaki sıralama nedir?
Soru Analizi:
Verilen fonksiyonlar:
- f(x) = a^x
- g(x) = b^x
- h(x) = c^x
Burada a, b ve c pozitif gerçek sayılar.
Grafikte f(x)=a^x en üstte, g(x)=b^x ortada, h(x)=c^x en altta çizilmiştir.
Fonksiyonların Özellikleri ve Değerlendirme:
Eksponansiyel fonksiyonlarda, taban büyüdükçe eğri daha “dik” olur.
- Eğer a > 1 ise, a^x fonksiyonu pozitif eğimli ve artan bir fonksiyondur.
- Tabandaki sayı ne kadar büyük olursa aynı x için a^x değeri o kadar büyür.
Grafikte her üç fonksiyon da artan fonksiyonlar gibi gözüküyor (pozitif eğim).
Grafiğin x = 1 için değerlerine bakalım:
- f(1) = a
- g(1) = b
- h(1) = c
Grafikte f(x)=a^x en üstte olduğundan a^1 > b^1 > c^1 yani
Buna göre a en büyük, c en küçük olmalıdır.
Şıkların Karşılaştırılması:
| Şık | Sıralama | Uygun mu? |
|---|---|---|
| A) | a < b < c | Hayır |
| B) | a < c < b | Hayır |
| C) | b < c < a | Olabilir mi? |
| D) | b < a < c | Hayır |
| E) | c < b < a | Evet, doğru |
Grafikten anlaşılan sıra a > b > c şeklindeyse ve a en üstte ise E şıkkındaki c < b < a sıralaması doğrudur.
Sonuç:
Doğru cevap: E) c < b < a
Özet Tablosu
| Fonksiyon | Grafikteki Yer | Kabaca Taban (a,b,c) büyüklüğü |
|---|---|---|
| f(x) | En üstte | En büyük taban (a en büyük) |
| g(x) | Ortada | Ortadaki taban (b orta büyüklükte) |
| h(x) | En altta | En küçük taban (c en küçük) |
Umarım bu açıklama sorunuzun anlaşılması ve çözülmesi için faydalı olmuştur. İsterseniz başka sorularınızda da destek verebilirim. @Cruciale
Soru: Aşağıda f(x)=aˣ, g(x)=bˣ ve h(x)=cˣ fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. Buna göre; a, b ve c pozitif gerçek sayıları arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Table of Contents
- Soru Özeti
- Üstel Fonksiyonların Genel Özellikleri
- Grafiklerden Çıkarımlar
- Değer Karşılaştırması
- Sonuç: Sıralama
- Özet Tablo
1. Soru Özeti
Resimde gördüğümüz grafikleri özetlersek:
- f(x)=aˣ → en dik ve hızla artan fonksiyon.
- g(x)=bˣ → ılımlı artan, f’den daha az eğimli.
- h(x)=cˣ → x eksenine doğru eğilip azalan bir üstel fonksiyon.
Tüm fonksiyonlar x=0 noktasında y=1 değerini aldıkları için kesişiyorlar.
2. Üstel Fonksiyonların Genel Özellikleri
- Eğer base > 1 ise y=aˣ artan fonksiyondur; x büyüdükçe y hızla artar.
- Eğer 0 < base < 1 ise y=baseˣ azalan fonksiyondur; x büyüdükçe y sıfıra yaklaşır.
- Tüm üstel fonksiyonlar x=0 noktasında y=1 değerini alır.
- Fonksiyonun eğim büyüklüğü f ’(0)=ln(base) ile orantılıdır. Base büyüdükçe başlangıçtaki eğim (artış hızı) artar.
3. Grafiklerden Çıkarımlar
- h(x)=cˣ fonksiyonu azalıyor. Bu durumda 0 < c < 1 olmalıdır.
- f(x)=aˣ en dik ve en hızlı artan grafik. Dolayısıyla a en büyük base → a > 1.
- g(x)=bˣ, f ile h arasında ılımlı artış gösteriyor; bu da b’nin 1 ile a arasında olduğunu işaret eder: 1 < b < a.
4. Değer Karşılaştırması
x>0 için karşılaştırma:
- f(x)>g(x)>h(x) ⇒ aˣ > bˣ > cˣ
- Buradan a > b > c (fakat c zaten 1’in altında!)
x<0 için karşılaştırma:
- Azalan fonksiyonlarda tersine döner: cˣ > bˣ > aˣ, fakat bu da c< b< a koşulu ile uyumludur.
Sonuç olarak tüm koşullar c < 1 < b < a ilişkisini verir.
5. Sonuç: Sıralama
Şıklara bakıldığında doğru sıralama c < b < a olduğundan doğru seçenek E şıkkıdır.
Doğru cevap: E) c < b < a
6. Özet Tablo
| Fonksiyon | Base aralığı | Grafikteki Davranış | Sonuç |
|---|---|---|---|
| f(x)=aˣ | a > 1 | En dik, en hızlı artan | En büyük base |
| g(x)=bˣ | 1 < b < a | Orta eğimli artan | Orta base |
| h(x)=cˣ | 0 < c < 1 | Azalan | En küçük base |
Özet:
- Azalan grafik → 0 < c < 1
- En dik artan → a en büyük
- Ortada kalan → b
Bu nedenle c < b < a sıralaması doğrudur. @Cruciale