Hjgıghghg

YKS TYT
1

image
image720×960 27.9 KB

2

a ve b gerçek sayılar olmak üzere, verilen denklemler için a.b kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir ikinci dereceden denklemin kökleri x_1, x_2 ise:
    • x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} (denklem ax^2 + bx + c = 0 için)
    • x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
  • Bu problemde a=1, sadece katsayılar var.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci denklemin köklerini tanımla
Birinci denklemin kökleri: x_1, x_2 olsun.
Birinci denkleme göre:

x^2 + a x + b = 0

Toplam kök:

x_1 + x_2 = -a

Çarpım kök:

x_1 x_2 = b

Adım 2 — İkinci denklemin köklerini tanımla
İkinci denklemin kökleri: \alpha, \beta olsun.

x^2 + 16 x + a = 0

Toplam kök:

\alpha + \beta = -16

Çarpım kök:

\alpha \cdot \beta = a

Adım 3 — Kökler arasındaki ilişkiyi yaz
Soruda, birinci denklemin köklerinin 2 katlarının ikinci denklemin kökleri olduğu belirtiliyor:

\alpha = 2 x_1
\beta = 2 x_2

Adım 4 — İkinci denklemin köklerinin toplamını köklerden yaz

\alpha + \beta = 2 x_1 + 2 x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2(-a) = -2a

Ama diğer taraftan toplam kökler \alpha + \beta = -16 idi.
Buna göre:

-2 a = -16 \implies a = 8

Adım 5 — İkinci denklemin köklerinin çarpımını köklerden yaz

\alpha \beta = (2 x_1)(2 x_2) = 4 x_1 x_2 = 4 b

Ama diğer taraftan çarpım kök:

\alpha \beta = a = 8

Buna göre:

4 b = 8 \implies b = 2

Adım 6 — a \cdot b değerini hesapla

a \cdot b = 8 \times 2 = 16

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 16 (E şıkkı)

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

a ve b gerçek sayılar olmak üzere, birinci denklem: x^2+ax+b=0 ikinci denklem: x^2+16x+a=0. Birinci denklemin köklerinin 2 katı alınarak elde edilen değerlerin ikinci denklemin kökleri olduğu biliniyor. Buna göre, a\cdot b kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Viète İlişkileri: Bir ikinci dereceden denklem x^2+px+q=0 için köklerin toplamı -p ve çarpımı q olur.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Köklerin toplamını kullan

  • Birinci denklemin köklerini r_1,r_2 alalım; o zaman r_1+r_2=-a.
  • İkinci denklemin kökleri 2r_1,2r_2 olduğuna göre bunların toplamı 2r_1+2r_2=2(r_1+r_2).
  • İkinci denklem için köklerin toplamı -16 olduğundan 2(r_1+r_2)=-16.
  • Bundan r_1+r_2=-8.
  • r_1+r_2=-a olduğuna göre -a=-8 ve bu yüzden a=8.

Adım 2 — Köklerin çarpımını kullan

  • Birinci denklemin köklerinin çarpımı r_1r_2=b.
  • İkinci denklemin köklerinin çarpımı (2r_1)(2r_2)=4r_1r_2=4b.
  • İkinci denklem için köklerin çarpımı a olduğuna göre 4b=a.
  • 4b=a ve a=8 olduğundan b=\dfrac{a}{4}=\dfrac{8}{4}=2.

Adım 3 — a\cdot b ifadesini oluştur

  • a\cdot b = 8 \times 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

1. Viète İlişkileri

  • Tanım: İkinci dereceden denklemde katsayılarla kökler arasındaki toplama ve çarpma ilişkisi.
  • Bu problemde: Köklerin toplamı ve çarpımı kullanılarak a ve b bulunmuştur.

2. Köklerin ölçeklenmesi

  • Tanım: Bir kökü sabitle çarpanı ile çarpmak köklerin toplamını ve çarpımını ölçekler.
  • Bu problemde: Köklerin 2 katı alınması toplamı 2 ile, çarpımı 4 ile çarpmıştır.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İşaret hatası

  • Yanlış: r_1+r_2 yerine yanlış işaret almak.
  • Doğru: r_1+r_2=-a olduğunu unutmayın.
  • Neden yanlış: Katsayıların işaretlerini karıştırmak sonucu değiştirir.
  • Düzeltme: Viète ilişkilerini doğrudan yazıp işaretleri kontrol edin.

:cross_mark: Çarpımı 2 ile çarpma hatası

  • Yanlış: Köklerin 2 katı alınınca çarpımın da sadece 2 ile değiştiğini düşünmek.
  • Doğru: Kökler 2 ile çarpılınca çarpım 4 ile çarpılır (2\cdot2=4).
  • Neden yanlış: Çarpımın ölçeklenmesi çarpanların çarpımı kadardır.
  • Düzeltme: Her kökü ayrı ayrı çarpıp sonucu hesaplayın: (2r_1)(2r_2)=4r_1r_2.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 16

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?