Hıphızlı Çöz: Grafik ve Fonksiyon Problemleri

YKS TYT
1

1000021966
1000021966720×960 38.6 KB

2

Hıphızlı Çöz: Grafik ve Fonksiyon Problemleri

Önemli Noktalar

  • Parçalı fonksiyonun grafiği, verilen dönüşümlerle hesaplanır
  • İki farklı şirketin kazançları doğrusal fonksiyonlarla modellenmiştir
  • Fonksiyonların cebirsel ifadeleri ve kesişim noktaları temel çözüme yön verir

İçindekiler

  1. Parçalı Fonksiyonun Grafik Çizimi
  2. Şirket Kazanç Fonksiyonları ve Analizi
  3. Karşılaştırma Tablosu: f ve g Fonksiyonları
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Parçalı Fonksiyonun Grafik Çizimi

Fonksiyon:

f(x) = \begin{cases} -3x - 2, & x < 0 \\ 3x - 2, & x \geq 0 \end{cases}

Grafik, önce x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim öteleniyor (yeni fonksiyon g elde ediliyor).

Başlangıçta:

  • x < 0 için doğru: y = -3x - 2
  • x \geq 0 için doğru: y = 3x - 2

Öteleme sonrası grafik:

  • x ekseninde 2 birim sola (negatif yönde) → x \to x + 2
  • y ekseninde 5 birim yukarı → y \to y - 5

Dolayısıyla, g(x) = f(x + 2) + 5 fonksiyonu elde edilir.

x ve y eksenlerinin yerleri:

  • g fonksiyonunu çizdiğimizde, belirlenen noktalar grafik üzerinde değişecektir.
  • Koordinat sisteminde x ve y eksenleri orijinal konumundan farklı yerlerde görünmelidir.

:light_bulb: Pro Tip: Dönüşümlerde, x için (x + c) öteleme, grafiği sola kaydırır; y için toplama işlemi ise grafiği yukarı kaydırır.

2. Şirket Kazanç Fonksiyonları ve Analizi

a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel ifadeleri

Grafikte:

  • f fonksiyonunun başlangıç değeri 3 x10⁷ TL (y değeri)
  • g fonksiyonunun başlangıcı 4 x10⁷ TL
  • İkisi farklı doğrusal eğimlere sahip

f için:
Başlangıç noktası 3,0 ve 10 yılda 9,0 olmuş → eğim:

m_f = \frac{9 - 3}{10 - 0} = 0.6

Fonksiyon:

f(t) = 0.6t + 3

g için:
Başlangıç y=4, 10 yıl sonra y=7 → eğim:

m_g = \frac{7 - 4}{10 - 0} = 0.3

Fonksiyon:

g(t) = 0.3t + 4

b) Kazançların eşit olduğu yılı bulun

Denklemleri eşitle:

0.6t + 3 = 0.3t + 4
0.6t - 0.3t = 4 - 3
0.3t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ yıl}

c) A şirketinin kazancının B’den fazla olduğu en geniş zaman aralığı

f(t) > g(t) durumu için:

0.6t + 3 > 0.3t + 4 \Rightarrow 0.3t > 1 \Rightarrow t > \frac{10}{3}

Grafikten f ve g doğruları 10 yıldaki verilere göre şekillendiği için t maksimum 10 yıl olabilir.
O halde, A şirketinin kazancı B’den daha fazla olduğu zaman aralığı:

(3.33, 10]

3. Karşılaştırma Tablosu: f ve g Fonksiyonları

Özellik f(t) = 0.6t + 3 g(t) = 0.3t + 4
Başlangıç (t=0) 3 (x10⁷ TL) 4 (x10⁷ TL)
Eğim (Büyüme hızı) 0.6 (x10⁷ TL/yıl) 0.3 (x10⁷ TL/yıl)
Kazançlar eşit yılı 3.33 yıl -
Önce yüksek olan g -
Daha hızlı büyüyen f -
A’nın kazancı B’den fazla olduğu aralık t > 3.33 yıl -

4. Özet Tablo

İşlem Sonuç
Parçalı fonksiyon ötelenmesi g(x) = f(x + 2) + 5
f, g fonksiyonları f(t) = 0.6t + 3, g(t) = 0.3t + 4
Kazanç eşitliği zamanı 3.33 yıl
A’nın üstün olduğu dönem 3.33 yıldan sonra (en fazla 10 yıl)

5. Sık Sorulan Sorular

1. Parçalı fonksiyon grafiği neden öteleniyor?
Öteleme, fonksiyonun grafiğini x ve y eksenlerinde ilgili yönlerde kaydırmak anlamına gelir. Bu, yeni grafik g(x)’in, f(x)’nin belirli sabitlerle değişmiş hali olduğunu gösterir.

2. Grafik çizimi için f ve g fonksiyonlarının ne önemi var?
Fonksiyonların cebirsel ifadeleri grafik üzerinde noktaların hesaplanması için gereklidir; ayrıca doğruların eğim ve başlangıç değerleri şirketlerin kazançlarını sayısal analizle karşılaştırmamıza olanak sağlar.

3. Kazançların eşit olduğu zamanı nasıl buluruz?
İki fonksiyonun değerlerini birbirine eşitler, çıkan lineer denklemi çözeriz. Çözülen t zamanı, kazançların eşit olduğu yılı gösterir.

Sonraki Adımlar

Cebirsel fonksiyonların grafik dönüşümlerini daha detaylı örneklerle öğrenmek ister misiniz? Yoksa benzer gerçek yaşam finansal problemlerde bu yöntemlerin uygulanışını görmek ister misiniz?

@namikbatman

3

Hıphızlı Çözümü

Temel Çıkarımlar

  • A şirketi için f(t) doğrusunun eğimi ve başlangıç değeri grafikten okunur.
  • B şirketi için g(t) doğrusunun grafiği, “2 yıl sonra” başladığı için g(t)=m\,(t-2) formunda yazılır.
  • Eşitlik için f(t)=g(t), karşılaştırma için f(t)>g(t) incelenir.

İçindekiler

  1. a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsilleri
  2. b) Kazançların hangi yılda eşit olduğu
  3. c) A’nın, B’den daha fazla kazandığı zaman aralığı

a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsilleri

Grafikten okunan noktalar:

  • f doğrusu (0,3) ve (10,7) noktalarından geçiyor.
    $$m_f=\frac{7-3}{10-0}=0.4,\quad b_f=3\quad\Longrightarrow\quad
    f(t)=0.4,t+3$$
  • g doğrusu (2,0) ve (10,4) noktalarından geçiyor.
    $$m_g=\frac{4-0}{10-2}=0.5\quad\Longrightarrow\quad
    g(t)=0.5,(t-2)$$

b) A ve B şirketlerinin kazançlarının hangi yılda eşit olduğu

Eşitlik denklemi:

f(t)=g(t) \;\Longrightarrow\; 0.4\,t+3 \;=\; 0.5\,(t-2)

Çözüme gidelim:

0.4t+3 =0.5t-1 \quad\Longrightarrow\quad 3+1=0.5t-0.4t \quad\Longrightarrow\quad 0.1t=4 \quad\Longrightarrow\quad t=40

40 yıl, bize çizilen grafik aralığı olan 0\le t\le10 arasında olmadığı için 10 yıl içinde eşit kazanç yoktur.

c) A şirketinin kazancının B’den daha fazla olduğu en geniş zaman aralığı

  • g(t) fonksiyonu yalnızca t\ge2 için anlamlı (B, A’dan 2 yıl sonra kuruluyor).
  • Bulduğumuz eşitlik zamanı (t=40) grafik aralığının çok dışında.
  • Dolayısıyla 0\le t\le10 içinde her an f(t)>g(t) sağlanır; ancak B’nin var olduğu dilim [2,10] olduğuna göre:
    A’nın B’den daha fazla kazandığı en geniş aralık
    [2,\;10].

@namikbatman
Grafikten okuduğun noktaları bir kez daha kontrol eder misin? Özellikle f(0), f(10), g(2) ve g(10) noktalarının doğruluğuna bakmak faydalı olacaktır!