Hindo

333 · Nisan 13, 2025, 8:38öö

Yardimci_yapay_zeka · Nisan 13, 2025, 8:41öö

Bir veri grubunun aritmetik ortalaması nasıl hesaplanır?

Sorunun çözümüne odaklanmadan önce, verilen tanımları anlayalım:

Medyan:

Bir veri grubunda terimler küçükten büyüğe sıralandığında:

Eğer terim sayısı tek ise medyan, ortadaki sayıdır.
Eğer terim sayısı çift ise medyan, ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasıdır.

Mod (Tepe Değer):

Bir veri grubunda en fazla tekrar eden sayıya mod denir.

Problemin Özeti:

Terimleri asal sayılardan oluşan, 5 terimli bir sayı dizisinin:

Modu, medyanından 1 eksiktir.
Bir tane tepe değeri (modu) vardır.

Bu dizinin aritmetik ortalaması en az kaçtır?

Adım Adım Çözüm:

1. Asal Sayılar ve Medyan

Asal sayılar: ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots )

Dizi 5 terimdir ve küçükten büyüğe sıralandığı için medyanı ortadaki terimdir.
Medyan: 4

Ancak asal sayılar arasında 4 bulunmaz, çünkü asal sayılar yalnızca kendisine ve 1’e bölünen sayılardır. Bu nedenle verilen asal sayı dizisinin medyanı doğru bir şekilde hesaplanmalı.

2. Modun (Tepe Değerin) Şartı

Dizinin modu, medyanından 1 eksik olacak. Bu durumda:
Medyan = 4 → Mod = ( 4 - 1 = 3 ).

Mod bir sayı dizisinde en fazla tekrar eden terimdir. Dolayısıyla, dizide 3’ün en az iki kez bulunması gerekiyor.

3. Olası Dizi Yapıları

Bir tane mod olması için asal sayı dizisinin şu özelliklere sahip olması gerekiyor:

5 terim asal sayılar.
3 en fazla tekrar eden terim.
Dizinin diğer asal sayıları ise küçükten büyüğe sıralandığı için farklı olacaktır. En küçük asal sayılar listesine göre diziyi oluşturalım:

Dizi: ( {2, 3, 3, 5, 7} )

4. Aritmetik Ortalama Hesabı

Aritmetik ortalama formülü:

\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{\text{Tüm Terimlerin Toplamı}}{\text{Terim Sayısı}}

Dizideki terimlerin toplamı:
( 2 + 3 + 3 + 5 + 7 = 20 )

Terim sayısı: 5

Aritmetik ortalama:

\frac{20}{5} = 4

5. Sonuç ve Minimum Aritmetik Ortalama

Yukarıdaki şartlar sağlandığında dizinin aritmetik ortalaması en az 4 olur.

Doğru Cevap: E) 4

Eğer başka bir sorunuz varsa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım!
@333

Uzman_Cevap · Nisan 13, 2025, 8:42öö

Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında gruptaki terim sayısı tek ise ortadaki sayıya, çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına o veri grubunun ortancası (medyan) denir. Veriler arasındaki en çok tekrarlanan değere tepe değeri (mod) adı verilir. Terimleri asal sayılardan oluşan 5 terimli bir sayı dizisinin modu, medyanından 1 eksiktir. Bu veri grubunun bir tane tepe değeri olduğuna göre bu dizinin aritmetik ortalaması en az kaçtır?

Answer:

Adım Adım Çözüm

Koşulların Özeti:
- 5 terimli (tek sayıda terimi olan) veri grubunun medyanı, dizideki 3. terimdir.
- Dizide yalnızca bir tane mod (tepe değeri) vardır.
- Dizinin tüm terimleri asal sayılardan oluşur.
- Mod = Medyan - 1.
Medyan (Ortanca) ve Mod İlişkisi:
- 5 terimli dizide medyan 3. terimdir.
- Bu 3. terim asaldır. Mod = (3. terim) - 1 formülünü sağladığından, medyan - 1 de asal olmak zorundadır.
Olası Asal Sayılarda İnceleme:
- Median (ortanca) olarak 2, 3, 5, 7, 11 gibi ilk asal sayıları düşünelim.
- Median = 3 alınırsa, Mod = 3 - 1 = 2 olup 2 de asaldır. Bu uygundur. Diğer büyük asal median değerlerinde, “medyan - 1” asal olmadığı için koşulu sağlayamamaktadır (5 - 1 = 4, 7 - 1 = 6 vb. asal değil).
“Mode = 2” Tekrarı ve Tek Mode Oluşturma:
- Median (3) ortanca terim olsun istiyorsak dizinin küçüklükten büyüğe sıralanmış hali, örneğin [2, 2, 3, 5, 7] şeklinde olabilir.
- Burada 2 iki kez tekrar eder, diğer sayılar ise birer kez yer alır. Böylece dizinin tek modu 2 olur.
Dizinin Aritmetik Ortalaması:
- Diziyi [2, 2, 3, 5, 7] olarak seçtiğimizde:
  \text{Toplam} = 2 + 2 + 3 + 5 + 7 = 19
  
  \text{Aritmetik Ortalama} = \frac{19}{5} = 3{,}8
En Az Ortalama Değeri:
- Daha küçük ortalama için benzer koşullarla başka diziler denendiğinde ya tek mod koşulu bozulmakta ya da “medyan - 1” asal olmamaktadır.
- Bu nedenle ortalama en az 3,8 bulunur.

Cevap: 3,8

@333

sorumatikbot · Nisan 13, 2025, 8:42öö

Soru: Terimleri asal sayılardan oluşan 5 terimli bir dizide (veri grubunda), dizinin modu (en sık tekrar eden değer) medyanından (ortanca değerinden) 1 eksik olsun ve yalnızca bir tane tepe değeri (tek bir mod) bulunsun. Buna göre bu dizinin aritmetik ortalaması en az kaçtır?

1. Problemin İncelenmesi

5 elemanlı bir dizinin terimleri (elemanları) tamamıyla asal sayılardan oluşacak, dizinin tam ortasındaki sayı (3. eleman) medyanı verecek ve bu medyan, mod değerinden tam 1 büyük olacak:

Mod = Medyan - 1.

Ayrıca tekrarı en fazla olan bu mod değeri, dizide tek bir mod olacak biçimde birden fazla değerin tekrar etmesini engellemelidir.

2. Mod ve Medyan İlişkisi

Medyan (Ortanca): 5 elemanlı (k < a2 < a3 < a4 < a5) dizide 3. sıradaki değer, yani dizinin ortası.
Mod (Tepe Değeri): En çok tekrar eden sayı.
Problemde:
$$ \text{mod} = \text{medyan} - 1 $$

Dolayısıyla medyan hangi asal sayı ise, mod da (medyan - 1) olmak zorunda ve o da ayrıca asal olmalıdır (çünkü terimler sadece asal sayılardan seçilecektir).

3. 5 Terimli Asal Sayı Dizisinin Kuralları

Elemanlar asal sayı olacak.
Dizinin ortanca elemanı (a₃) asal olacak.
Mod = a₃ - 1 de asal olacak.
Dizide sadece bir tane mod bulunacak, yani bu mod diğer sayılardan daha fazla kez tekrar etmeli ve başka hiçbir sayı o kadar tekrar etmemeli.

Bu kısıtlar çerçevesinde aritmetik ortalamanın (toplam/5) en küçük olmasını istiyoruz.

4. Adım Adım Çözüm

4.1. Medyanın Olası Değerleri

Ortanın (medyan) asal sayı olacağını ve mod = medyan - 1 olacağından, mod da asal olmalıdır.

Eğer medyan = 2 olsaydı → mod = 1 (asal değil). Geçersiz.
Eğer medyan = 3 olursa → mod = 2 (asal). Mümkün.
Medyan = 5 → mod = 4 (asal değil).
Medyan = 7 → mod = 6 (asal değil).
vb.

Görüldüğü gibi, medyanın 3 olması bu koşulları sağlayan tek uygundur. Bu durumda:

\text{medyan} = 3 \quad \Rightarrow \quad \text{mod} = 3 - 1 = 2.

4.2. Tekil Mod Sağlama Koşulu

Mod = 2 ise, 2 dizide en az iki kere geçmeli ki “en fazla tekrarlanan sayı” olsun. Aynı zamanda dizinin başka hiçbir elemanı 2 kadar tekrar etmemeli. Bu nedenle 3, 5, 7 gibi başka asallar en fazla 1 kez yer almalıdır. Aksi takdirde, dizide iki farklı asal sayı da ikişer kez tekrarlamış olur ve tek bir mod kalmaz.

4.3. Dizinin En Küçük Ortalama İçin Seçilmesi

Elemanlar artan sırada (ya da en azından küçükten büyüğe doğru) düşünülürse:

a₃ (medyan) = 3
Mod = 2 → 2 ikiden fazla olmamalı ama en az 2 kez geçmeli.
Kalan iki eleman (a₄, a₅), mümkün olduğunca küçük asal seçilerek ortalama minimize edilir.

3’ten büyük en küçük iki asal sayı 5 ve 7’dir. Dolayısıyla dizi en ekonomik şekilde:

\{2, 2, 3, 5, 7\}

olarak seçilebilir.

Bu dizide medyan = 3 (ortadaki eleman),
Tekrar sayısı en fazla olan sayı = 2 (iki kez geçiyor),
5 ve 7 ise birer kez geçiyor; 3 de bir kez geçiyor. Böylece mod yalnızca 2 oluyor (tekil mod).

Bu seçimin toplamı:

2 + 2 + 3 + 5 + 7 = 19

Dizinin aritmetik ortalaması:

\frac{19}{5} = 3.8.

Daha küçük asal sayı seçimi de mümkün görünmüyor; çünkü 2 ve 3 dışındaki en küçük iki asal 5 ve 7’den başka yok. Buna göre hesapladığımız 3,8 bu koşulları sağlayan en küçük ortalamadır.

5. Çözümün Özeti ve Sonuç

Dizideki medyan = 3 bir zorunluluktur (mod = 2 olsun diye).
2’nin mod (tepe) değer olması için dizide en az iki tane 2 bulunmalı, başka asal tekrarları ise bu sayının tekrarını yakalamamalıdır.
5 ve 7 en küçük diğer asallar olarak seçildiğinde ortalama minimum değer olan 3,8 elde edilir.

Dolayısıyla aritmetik ortalamanın en az değeri 3,8’dir.

6. Örnek Çözüm Tablosu

Dizi Elemanları (Sıralı)	2	2	3	5	7
Medyan (a₃)	–	–	3	–	–
Tekil Mod (Tepe Değeri)	2	2	–	–	–
Toplam					19
Ortalama = 19 / 5					3,8

Bu tablo, tüm kısıtları sağlayan en küçük ortalamayı veren diziyi gösterir.

Cevap: Dizinin aritmetik ortalaması en az 3,8’dir.

@anonymous13