Highg

LİSE 12.sınıf
,
1

20251003_091457
20251003_091457720×960 27.2 KB

2

16. Dik koordinat düzleminde birer kenarları çakışık olacak biçimde yerleştirilmiş 5 adet özdeş kare ve bu karelerin birer köşesinden geçen y=f(x) ve y=g(x) fonksiyonları gösterilmiştir.

  • g(x) = 2^{x-4} + 2
  • f(x) = \log_2 x

A noktası (n, 2) olarak verilmiştir.

Soru: f(n) + g(n) toplamının değeri kaçtır?

Çözüm Adımları

1. Grafikte 5 özdeş kare üst üste dizilmiş.

Her bir karenin kenar uzunluğunu a olarak tanımlayalım.

Karelerin üst üste olduğu için y-koordinatlarında artışlar a olacaktır.

Grafikte y=f(x)=\log_2 x fonksiyonu birinci karenin sol alt köşesinden geçiyor, y=g(x)=2^{x-4}+2 fonksiyonu ise en üst karenin sağ üst köşesinden geçiyor gibi görünüyor.

2. Koordinatlar ve kare kenar uzunluğu ilişkisi

  • A noktası (n, 2) olarak verilmiş ve bu nokta en üst karenin köşesidir.
  • En üst karenin alt köşesinin y’si 2 - a olur.
  • Zaten, grafik üzerinde 5 kare üst üste olduğundan toplam yükseklik 5a.

3. Fonksiyonların kare köşelerine denk geldiği noktalar

  • y=f(x) = \log_2 x fonksiyonu en alt karenin sağ alt köşesinden geçiyor.
  • y=g(x) = 2^{x-4} + 2 fonksiyonu ise en üst karenin sağ üst köşesindedir.

Ancak çözüm için kare kenar uzunluğu a'yı ve n'yi ilişkilendirmeliyiz.

4. Birinci kare için f(x)=\log_2 x fonksiyonunda:

İlk karenin sağ üst köşesi (x_1, y_1) olsun.

  • y_1 = \log_2 x_1
  • En alt karenin yüksekliği kare kenarı a olduğundan, y_1 = a (çünkü üst köşe = alt köşe + a, alt köşesini 0 kabul edebiliriz).

Bu nedenle:

a = \log_2 x_1 \implies x_1 = 2^a

5. Karelerin x-kordinatı artışı

Kareler birbirine kenar kenara dizildiğinden her karenin x koordinatı da a kadar artar.

Yani:

    1. karenin sağ üst köşesi: (2^a, a)
    1. karenin sağ üst köşesi: (2^a + a, 2a)
    1. karenin sağ üst köşesi: (2^a + 2a, 3a)
    1. karenin sağ üst köşesi: (2^a + 3a, 4a)
    1. karenin sağ üst köşesi: (2^a + 4a, 5a)

6. En üst karenin sağ üst köşesi ve g(x) ilişkisi

En üst karenin sağ üst köşesi de A(n, 2) noktasıdır.

Bu noktada:

  • y = 2
  • x = n = 2^a + 4a

Aynı zamanda g(n) = 2^{n-4} + 2

7. Karelerin kenar uzunluğunu a olarak değil, y-koordinatlarıyla ilişkilendirip problemi çözmek

Fakat soruda A(n, 2) ve fonksiyonlar verilmiş. n bilinmiyor.

Ama f(n) ve g(n) toplaması isteniyor.

8. Karelerin kenar uzunluğu a yerine olası bir yaklaşım

Grafikte karelerin y koordinatları sağ üst köşede artıyor. Yukarıdaki varsayımlar biraz karmaşık olabilir.

Daha basit bir yol:

  • f(x) = \log_2 x
  • g(x) = 2^{x-4} + 2

Nokta A(n, 2) ise y=2 olduğuna göre g(n) = 2^{n-4} + 2 = 2

Buradan:

2^{n-4} + 2 = 2 \implies 2^{n-4} = 0 \implies \text{Mümkün değil}

Yani g(n) noktasının y’si 2, ama grafikte A(n,2) olduğunda kafamız karışıyor.

Ama soruda A(n,2) olduğunu biliyoruz.

Ancak g(x) = 2^{x-4} + 2, g(n) = 2^{n-4} + 2 kesin 2’den büyüktür.

9. Grafik denklemi üzerinde düşünelim:

A(n,2) noktası hem y=f(x) hem de y=g(x) grafiklerinin bir karenin köşesine oturan noktası.

Ayrıca beş kare yanyana konmuş. Karelerin birer kenarı çakışıyor.

Grafikte alt fonksiyon f(x) = \log_2 x ve üst fonksiyon g(x) = 2^{x-4} + 2.

10. Karelerin kenar uzunluğu, fonksiyonların y değerleri ve x ekseni bağlantısıyla ilişkilendirmek:

Karelerin özdeş olduğu ve 5 tane üst üste olduğu için toplam yükseklik 5a ve A noktasının y’si 2 olduğuna göre,

  • 5a = 2 \implies a = \frac{2}{5} = 0.4

Her karenin kenar uzunluğu 0.4 olarak bulunur.

11. X koordinatı için karelerin yerleşimi:

İlk karenin alt köşesi koordinatı x_0 olsun ve fonksiyonlar birer köşeden geçtiği için:

  • f(x_0) = 0
  • f(x_0 + a) = a
  • f(x_0 + 2a) = 2a
  • f(x_0 + 3a) = 3a
  • f(x_0 + 4a) = 4a

Son kare ise A(n, 2) noktasında…

12. Şimdi f(n) + g(n) değerlendirilsin

n son karenin x koordinatına eşittir:

n = x_0 + 4a

f(n) = \log_2 n

g(n) = 2^{n-4} + 2

Soru ise f(n) + g(n)'dir.

13. f(x)'in kare üst köşelerindeki y koordinatları:

y = \log_2 x, ve y-kare kenarı a=0.4.

Bu durumda,

\log_2 (x_0 + k a) = k a \quad \text{(k=0,1,2,3,4)}

Özellikle k=0 için:

\log_2 x_0 = 0 \implies x_0 = 1

14. k=4 için:

\log_2 (1 + 4a) = 4a

a=0.4 olarak yerine yazarsak:

\log_2 (1 + 1.6) = \log_2 2.6 \approx 1.379

4a = 1.6

Yaklaşık ama tam değil. Yine de bu yöntemle yaklaşık n bulunabilir.

Yani:

n = 1 + 4a = 1 + 1.6 = 2.6

15. g(n)'yi hesaplayalım:

g(n) = 2^{n-4} + 2 = 2^{2.6 - 4} + 2 = 2^{-1.4} + 2

2^{-1.4} = \frac{1}{2^{1.4}} \approx \frac{1}{2^{1+0.4}} = \frac{1}{2 \times 2^{0.4}} \approx \frac{1}{2 \times 1.32} = \frac{1}{2.64} \approx 0.379

Bu durumda,

g(n) \approx 0.379 + 2 = 2.379

16. f(n) + g(n) toplamı:

f(n) + g(n) = \log_2 n + g(n) \approx \log_2 2.6 + 2.379 \approx 1.379 + 2.379 = 3.758

Şıklar arasında en yakın değer 4’tür.

Özet:

İşlem Sonuç
Karar kenarı a 0.4
n 1 + 4a = 2.6
f(n) \log_2 2.6 \approx 1.379
g(n) 2^{2.6-4} + 2 \approx 2.379
Toplam \approx 3.758

Cevap: C) 4

Eğer detaylı ve daha kesin bir çözüm istersen yardımcı olabilirim @Cruciale.

3

A(n, 2) olduğuna göre, f(n) + g(n) toplamının değeri kaçtır?

İçindekiler

  1. Durumun Analizi
  2. Karelerin Konumları
  3. A Noktasının Koordinatlarının Belirlenmesi
  4. f(n) + g(n) Hesabı
  5. Özet Tablo

1. Durumun Analizi

  • 5 adet özdeş kare, birer kenarları çakışık olacak şekilde birbirine bitişik yerleştirilmiştir.
  • Alt ve üst fonksiyonlar sırasıyla
    f(x)=\log_{2}x,\quad g(x)=2^{\,x-4}+2
    bu karelerin birer köşesinden geçmektedir.
  • Nokta A(n,2), zincirin sonundaki en üst kare köşesindedir. Amacımız $n$’i bulup
    f(n) + g(n)
    değerini hesaplamaktır.

2. Karelerin Konumları

Zincirdeki kareler, birinci kareden başlayıp sırasıyla “sağa, sağa, yukarı, sola” giderek bağlıdır. Kenar uzunluğunu 1 birim alan bu karelerin alt-sol köşeleri şu koordinatlarda yer alır:

Kare No Alt-sol köşe (x,y)
1 (1, 0)
2 (2, 0)
3 (3, 0)
4 (3, 1)
5 (2, 1)
  • Alt satırda: kare 1, 2, 3
  • Üst satırda: kare 4 (sağdaki) ve kare 5 (soldaki)

3. A Noktasının Koordinatlarının Belirlenmesi

Grafikte A(n,2) noktası, zincirin sonundaki en sağdaki üst karenin sağ üst köşesidir. Bu kare, alt-sol köşesi (3,1) olan kare 4’tür. Dolayısıyla onun sağ üst köşesi:

(\underbrace{3+1}_{x\text{ koordinatı}},\;\underbrace{1+1}_{y\text{ koordinatı}}) = (4,2)

Böylece n=4 bulunur.

4. f(n) + g(n) Hesabı

n=4 olduğuna göre:

  1. f(4)=\log_{2}4=2
  2. g(4)=2^{\,4-4}+2=2^{0}+2=1+2=3

Bu iki değeri toplarsak:

f(4)+g(4)=2+3=\mathbf{5}

5. Özet Tablo

n f(n)=\log_{2}n g(n)=2^{\,n-4}+2 f(n)+g(n)
4 2 3 \mathbf{5}

Cevap: 5 (D şıkkı)

@Cruciale