BEC üçgeninin çevresi en az kaç santimetredir?
Verilenler: |AB| = 9 cm, |AE| = 5 cm, |ED| = 7 cm, |CD| = 10 cm ve B, E, D, A doğrusal; ayrıca B, C, D ve E, C, D ilişkilerinden dolayı BEC üçgenindeki kenarlar tam sayıdır.
Kullanılan kural:
Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — |BD| uzunluğunu bulalım
Şekilde B, E, D aynı doğru üzerinde olduğundan:
Ayrıca A, E, D aynı doğru üzerinde olduğundan:
Üçgen ABD’de üçgen eşitsizliği:
Diğer taraftan:
Yani:
Ama |BD| = |BE| + 7 olduğundan:
Bu zaten sağlanır; asıl önemli olan B, E, D doğrusal olduğu için |BE| bir doğal sayı olmalı.
Adım 2 — |EC| için sınır bulalım
Üçgen ECD’de:
Adım 3 — |BE| için en küçük doğal sayıyı seçelim
BE uzunluğu da doğal sayı ve üçgen BEC oluşacağı için:
En küçük çevre için |BE| ve |EC| olabildiğince küçük olmalıdır.
Bu durumda çevre:
üçgen eşitsizliğini sağlayacak en küçük toplam, kenarlar 1, 4, 5 olacak şekilde olur:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Üçgen eşitsizliği
- Tanım: Bir üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyüktür.
- Bu problemde: BEC üçgeninin en küçük çevresini bulmak için kullanıldı.
2. Doğal sayı koşulu
- Tanım: Kenar uzunlukları tam sayı olmak zorundadır.
- Bu problemde: Kenarların alabileceği en küçük değerleri seçtik.
Sık Yapılan Hata:
Sadece verilen uzunlukları toplamak
- Yanlış: Şekildeki tüm sayıları doğrudan toplamak.
- Doğru: Önce BEC üçgeninin kenarlarını üçgen eşitsizliğiyle sınırlandırmak.
- Neden yanlış: Çünkü sorulan, şeklin tamamının değil yalnızca BEC üçgeninin çevresidir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Verilen şekilde AB = 9 cm, AE = 5 cm, ED = 7 cm, CD = 10 cm iken, △BEC kenarları (BE, EC, BC) doğal sayılar olmak üzere çevresi en az kaç cm’dir?
[ÇÖZÜM ADIMLARI: ]
Adım 1 — Seçenek A’yı (9 cm) Analiz Et
Çevre 9 cm için olası tam sayılar: örneğin BE=3, EC=3, BC=3. Ancak △ABE’de |9-5|=4 < BE ⇒ BE ≥5 olmalı. △CED’de |10-7|=3 < EC ⇒ EC ≥4. Toplam en az 5+4+1=10 ama 9 imkânsız. Üstelik △BCD’de BD=BE+7 ≥12, |12-10|=2 < BC. Küçük değerler üçgen eşitsizliğini bozar.
Adım 2 — Seçenek B’yi (10 cm) Analiz Et
Çevre 10 cm: örneğin BE=5, EC=4, BC=1. △ABE ve △CED ok ama △BEC’de |5-4|=1 ≯1 (eşitlik bozar), △BCD’de BD=12, 1+10=11 <12 eşitsizlik bozulur. Diğer kombinasyonlar (5+3+2 vb.) EC≥4 ve BE≥5’i aşamaz.
Adım 3 — Seçenek C’yi (11 cm) Analiz Et
Çevre 11 cm: BE=5, EC=4, BC=2 dene. △ABE: 4<5<14 ok. △CED: 3<4<17 ok. △BEC: 5+4>2, 5+2>4 (7>4), 4+2=6>5 ok. Ama △BCD: BC=2, CD=10, BD=12 → 2+10=12=12 (eşitlik, yozlaşmış üçgen, kabul edilmez). Diğer (5+5+1) △BCD’de 1+10<12 bozar.
Adım 4 — Seçenek D’yi (12 cm) Analiz Et
Çevre 12 cm: BE=5, EC=4, BC=3. △ABE: 4<5<14 ok. △CED: 3<4<17 ok. △BEC: |5-4|=1<3<9 ok (5+4>3, 5+3=8>4, 4+3=7>5). △BCD: BC=3, CD=10, BD=12 → 3+10=13>12, 3+12=15>10, 10+12=22>3 ok (katı eşitsizlikler sağlanır).
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
A. 9 — BE≥5, EC≥4 toplamı aşar, eşitsizlikler bozulur.
B. 10 — △BCD’de BC+10 > BD sağlanmaz.
C. 11 — △BCD’de 2+10=12=BD, yozlaşmış üçgen.
D. 12 — Tüm üçgenlerde (ABE, BEC, CED, BCD) katı üçgen eşitsizlikleri sağlanır.
Adım 6 — Son Doğrulama
Şekilde kesişen köşegenler AC (A-E-C) ve BD (B-E-D), BD = BE + 7. BE=5, EC=4, BC=3 ile tüm küçük üçgenler (△AEB, △BEC, △CED, △BCD) düzlemde oluşturulabilir. Daha küçük çevre yozlaşma veya imkânsızlık yaratır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] D) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Üçgen Eşitsizliği
- [Tanım:] Herhangi üç uzunluk a,b,c üçgen oluşturur ise a+b>c, a+c>b, b+c>a (katı).
- [Bu problemde:] △ABE, △CED, △BEC ve △BCD için uygulandı.
2. Kesişen Köşegenler
- [Tanım:] Dörtgen ABCD’de köşegenler E’de kesişirse, BD = BE + ED.
- [Bu problemde:] BD = BE + 7 olarak alındı, △BCD kısıtlaması min çevreyi belirledi.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Yozlaşmış Üçgen Kabulü
- [Yanlış:] BC + CD = BD (ör. 2+10=12).
- [Doğru:] Katı > işareti, BC ≥3.
- [Neden yanlış:] Gerçek üçgen düzlemde sıfır alanlı olmaz.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?