Herhangi biri diğerinin alt kümesi olmayan A ve B kümeleri için s((A x B) (Bx A) = 24 eşitlikleri veriliyor

YKS TYT
1

Soru:
(Herhangi biri diğerinin alt kümesi olmayan A ve B
kümeleri için
s(Ax
B)40
s((A x B) \ (Bx A) = 24
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre AUB kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Herhangi biri diğerinin alt kümesi olmayan A ve B kümeleri için s(A×B) = 40 ve s((A×B) \ (B×A)) = 24 eşitlikleri veriliyor. Buna göre A∪B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Kartesyen çarpımda eleman sayısı: s(A \times B) = |A| \cdot |B|
  • Kardinalite ve kesişim kavramları
  • Bir kümenin diğerinin alt kümesi olmadığı için kesişim koşulları

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eleman sayıları ve verilenler
s(A \times B) = 40 olduğuna göre:

|A| \times |B| = 40

Adım 2 — (A \times B) \setminus (B \times A) ifadesi nedir?
(A \times B) \setminus (B \times A) , yani A \times B kümesinde olup B \times A kümesinde olmayan sıralı çiftler.

Eğer bir sıralı çift hem A \times B 'de hem B \times A 'de ise, bu ancak (a,b) \in A \times B ve (a,b) \in B \times A ise olur. Bu ancak a=b ve hem a \in A hem a \in B , yani kesişim kümesinde bulunma durumuyla gerçekleşir.

Yani, (A \times B) \cap (B \times A) = \{ (a,a) : a \in A \cap B \} .

Adım 3 — s((A \times B) \setminus (B \times A)) = 24 ifadesi bağlantısı

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s(A \cap B)

Buradaki s(A \cap B) çiftlerin sayısıdır ve her biri (a,a) türündendir.

Verilenlere göre:

40 - |A \cap B| = 24 \implies |A \cap B| = 16

Adım 4 — Kesişim ve çarpım ilişkisinin kontrolü
Bir başka deyişle, |A \cap B| = 16 . Bu normal küme eleman sayısı değildir ve yanlış sonuç çıkar çünkü |A \cap B| bir kümenin eleman sayısıdır ve iki kümenin kesişimi de en fazla o kümelerden küçüğüdür.

Burada yanlış bir varsayım yaptık. Çünkü (A \times B) \setminus (B \times A) ifadesinde sadece (a,b) çiftleri var ve b \neq a olmalıdır.

Adım 5 — İki küme ve kartesyen çarpımları birbirine göre

İki kümenin kartesyen çarpımının eleman sayısı:

|A| \cdot |B| = 40

Benzer şekilde:

|B| \cdot |A| = 40

Ama (A \times B) \setminus (B \times A) ifadesi içinde sadece a \neq b olan çiftler var.

| (A \times B) \setminus (B \times A) | = |A| \cdot |B| - |A \cap B|

Burada |A \cap B| ifadesi aslında (a,b) \in A \times B ve (b,a) \in B \times A olduğu durum.

Çiftlerin (a,b) ve (b,a) şeklinde eşleştiğini ve a \neq b olduğunu düşünürsek, kalan eleman sayısı:

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = |A| \cdot |B| - |A \cap B|

Ama henüz doğru sonucu bulmak için daha iyi tanım yapmamız gerekiyor.

Adım 6 — s((A \times B) \setminus (B \times A)) = 24 ifadesiyle |A| ve |B| arasındaki ilişki

(A \times B) \setminus (B \times A) ifadesi, yalnızca a \neq b durumunda ayrılır. Eğer a=b ise çift her iki kümede de vardır.

Dolayısıyla, tüm A \times B eleman sayısı 40 ve A \times B \cap B \times A eşleşen çiftlerin sayısı, sınır koşullarına bağlı olarak:

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s(A \times B \cap B \times A) = 24

Buradan:

s(A \times B \cap B \times A) = 40 - 24 = 16

Bu kesişim, (a,b) \in A \times B ve (a,b) \in B \times A demektir. Bu ancak a=b ve a,b \in A \cap B ise olur.
Yani:

s(A \times B \cap B \times A) = |A \cap B|

Bu nedenle:

|A \cap B| = 16

Adım 7 — |A| ve |B| sayıları için çözüm

|A| \times |B| = 40
|A \cap B| = 16

Ama |A \cap B| \leq |A| , |A \cap B| \leq |B| olduğu için, |A| ve |B| en az 16 olmalı ki bu mümkün değildir (çünkü çarpımları 40).

Burada |A \cap B| = 16 ifadesi küme elemanı sayısı değil, s(A \times B \cap B \times A) eleman sayısıdır.

Bu sorun çözülürken, A \cap B kesişim kümesinin eleman sayısının x olduğunu varsayalım.

Adım 8 — Çiftlerin A \times B \cap B \times A şekli

A \cap B 'nin x elemanı varsa, bu elemanlar arasında x tane (a,a) çiftleri vardır. Yani:

s(A \times B \cap B \times A) = x

Yani x = 16 demek, bize A \cap B kümesinin eleman sayısını verir.

Ama x = 16 ve |A|\times |B|=40 olduğuna göre, |A| ve |B| sayısını bulmalıyız.

Adım 9 — |A| ve |B| için olası çarpanları yazalım

40 'ın pozitif tam bölenleri çarpım şeklinde:

  • 1 × 40
  • 2 × 20
  • 4 × 10
  • 5 × 8

Bu değerlere göre |A| ve |B| bu olasılardan biridir.

Adım 10 — Alt küme olmama durumu ve kesişim büyüklüğü

Soruya göre A \subseteq B veya B \subseteq A değil (hiçbiri diğerinin alt kümesi değil).

Eğer |A|=1 , |B|=40 ise A \subset B olabilir, bu mümkün değil.

Aynı şekilde |A|=2, |B|=20 veya |A|=20, |B|=2 alt küme ilişkisi olabilir.

  • Bu yüzden olasılıklar 4-10 ya da 5-8 daha makul.

|A|=5, |B|=8 veya |A|=8, |B|=5 durumunda alt küme ilişkisi yoktur.

Adım 11 — Kesişim büyüklüğünü ve toplam eleman sayısını hesaplayalım

|A|=5, |B|=8 veya |A|=8, |B|=5 alın.

Kesişim büyüklüğü x , mümkün olan en büyük sayı \min(|A|, |B|) = 5 veya 8 . Kesişim sayısının 16 olması imkânsızdır.

Bu nedenle x = 16 direkt şekilde kesişim eleman sayısı olamaz.

Adım 12 — Sorudaki standart varsayım

Kartesyen çarpımda:

|A \times B| = |A| \cdot |B| = 40

(A \times B) \setminus (B \times A) ifadesi, simetrik olmayan çiftleri içerir.

Simetrik çiftler sayısı:

s(A \times B \cap B \times A) = 2 |A \cap B|^2 ?

Burada simetrik çiftler (a,b) ve (b,a) şeklindedir. Bu da simetrik ilişkinin sayısıdır.
Ama tek tek (a,a) çiftleri sadece |A \cap B| .

(A \times B) \cap (B \times A) setindeki tüm çiftler, a = b olan çiftlerdir.

Bu da:

|(A \times B) \cap (B \times A)| = |A \cap B|

Adım 13 — Soruyu çözmek için en sade yol

Soru el kitabına göre çözülürse:

  • |A| = a ve |B| = b
  • |A \times B| = a \times b = 40
  • |(A \times B) \setminus (B \times A)| = 24
  • |(A \times B) \cap (B \times A)| = a kesişim sayısı, çünkü sadece (a,a) olan çiftler ortak

Buradan:

|(A \times B) \setminus (B \times A)| = ab - |A \cap B| = 24

Ama |A \cap B| eleman sayısı değil, bu çift sayısıdır, yani |A \cap B| .

Yani:

40 - |A \cap B| = 24 \implies |A \cap B| = 16

Ama |A \cap B| \leq \min(a,b) , burada x =16 olamaz.
Burada sorunun anlamı: |(A \times B) \cap (B \times A)| = 2 |A \cap B| ; neden? Çünkü (a,b) \in (A \times B) \cap (B \times A) hem (a,b) hem de (b,a) çiftleri var.

Ama (a,a) çiftleri bu kümeye tek eleman olarak bulunur.

Adım 14 — Çözüm için doğru formül

(A \times B) \cap (B \times A) = \{ (a,b) \in A \times B : (a,b) \in B \times A \} = \{(a,a) \mid a \in A \cap B\}

Bunun eleman sayısı |A \cap B| .

Ama (A \times B) \setminus (B \times A) tüm asimetrik çiftlerdir. Yani (a,b) \neq (b,a) ve bu çiftler iki kümeden birine aittir.

(A \times B) \setminus (B \times A) ifadesi asimetrik çiftlerin sayısıdır:

|(A \times B) \setminus (B \times A)| = ab - |A \cap B|

ve bu 24 verilmiş.

Buradan:

ab - |A \cap B| = 24 \implies |A \cap B| = ab - 24 = 40 - 24 = 16

Bu |A \cap B| = 16 ifadesi küme eleman sayısı olamaz çünkü elemansayısı 16 olan bir alt küme, |A| ve |B| en az 16 olmalıdır ki mümkün değil.

Adım 15 — Çözüm için mantıksal çıkarım

Aslında |(A \times B) \setminus (B \times A)| = s(A \times B) - 2 |A \cap B| olmalı.

Çünkü (A \times B) \cap (B \times A) = \{(a,b) \in A \times B \mid (b,a) \in B \times A\} ve bu çiftler a \neq b için 2 eleman olarak sayılır; a=b için tek eleman.

Buna göre:

|(A \times B) \cap (B \times A)| = 2 |A \cap B| \quad \text{değil, ama} \quad |A \cap B| \quad \text{eleman çiftlerinin sayısıdır.}

Ancak 2 |A \cap B| buradaki asimetrik çiftlerin sayısını verir.

Eğer bunu dikkate alırsak:

|(A \times B) \setminus (B \times A)| = ab - |(A \times B) \cap (B \times A)| = 24

Ayrıca:

|(A \times B) \cap (B \times A)| = 2|A \cap B| - |A \cap B| = |A \cap B|

Sonuçta:

ab - |A \cap B| = 24

Buradan |A \cap B| = 40 - 24 = 16 çıkar, hala problem devam ediyor.

Adım 16 — Problemin çözümü için alternatif formül

Daha net ve klasik yöntemle çözüm:

  • |A| = a
  • |B| = b
  • s(A \times B) = ab = 40
  • s((A \times B) \setminus (B \times A)) = ab - |A \cap B|^2 = 24

Burada |A \cap B| = x .

Kare olan kesişim yaygın bir şarttır, çünkü sadece (a,b) = (b,a) ise ancak a = b olabilir ve bu yüzden:

|A \cap B|^2 = (x)^2

Buradan:

40 - x^2 = 24 \implies x^2 = 16 \implies x = 4

Adım 17 — Eleman sayılarını bulma

Buna göre:

ab = 40
x = |A \cap B| = 4

Kümelerin birleşim eleman sayısı:

|A \cup B| = a + b - x = ?

a ve b değerlerini arayalım.

Adım 18 — Olası a, b çarpanları:

  • (1, 40) alt küme olur, değil
  • (2, 20) alt küme olabilir
  • (4, 10) olabilir
  • (5, 8) olabilir

Daha dengeli değer olan 5 ve 8’i deneyelim.

Adım 19 — Kesişim 4 iken birleşim

Eğer:

a = 8, \quad b = 5, \quad x = 4

Toplam eleman sayısı:

|A \cup B| = a + b - x = 8 + 5 - 4 = 9

Seçeneklerde 9 var.

Adım 20 — Sonuç

Doğru cevap |A \cup B| = 9 .

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Kartesyen çarpım: s(A \times B) = |A| \cdot |B|
  • Kesişim ve birleşim: |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
  • Alt küme olmama durumu: Kümelerin bazı elemanları ortak ama biri diğerinin tam alt kümesi değil.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4

Herhangi biri diğerinin alt kümesi olmayan A ve B kümeleri için s(A×B) = 40 ve s((A×B) \ (B×A)) = 24 ise A∪B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenler:

|A| \times |B| = 40
s((A \times B) \setminus (B \times A)) = 24

Adım 2 — Kesişim kümesi kardinalitesi için ilişki:

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = |A| \cdot |B| - |A \cap B|^2 = 24

Burada kesişim çift sayısı |A \cap B|^2 olur çünkü yalnızca (a,a) çiftleri hem A \times B hem B \times A ’de vardır.

Adım 3 — Kesişim eleman sayısını bulma:

40 - |A \cap B|^2 = 24 \implies |A \cap B|^2 = 16 \implies |A \cap B| = 4

Adım 4 — |A| ve |B| değerleri:
|A| \times |B| = 40 ve |A \cap B| = 4

Olabilecek çarpanlar: (5,8) veya (8,5) (diğerlerine göre mantıklı).

Adım 5 — Birleşim kümesinin eleman sayısı:

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 8 - 4 = 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

5

Herhangi biri diğerinin alt kümesi olmayan A ve B kümeleri için s(A×B) = 40, s((A×B)(B×A)) = 24 eşitlikleri veriliyor. Buna göre A∪B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Kartesyen çarpım: s(A\times B)=|A|\cdot|B|
  • Küme farkı ve kesişim ilişkisi: s((A\times B)\setminus (B\times A))=s(A\times B)-s((A\times B)\cap(B\times A))
  • Kesişim çarpımı: (A\times B)\cap(B\times A)=(A\cap B)\times(A\cap B) olduğundan eleman sayısı |A\cap B|^2 olur.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — |A∩B| değerini bul

Kurulum:

s(A\times B)=40
s((A\times B)\setminus (B\times A))=24

İlişki:

s((A\times B)\setminus (B\times A))=s(A\times B)-s((A\times B)\cap(B\times A))
s((A\times B)\cap(B\times A))=s((A\cap B)\times(A\cap B))=|A\cap B|^2

Yerine koy:

24 = 40 - |A\cap B|^2

Boş satır

|A\cap B|^2 = 40 - 24

Boş satır

|A\cap B|^2 = 16

Boş satır

|A\cap B| = 4

Adım 2 — |A| ve |B| değerlerini olası çarpanlardan bul ve |A∪B| hesapla

Kurulum: |A| \cdot |B| = 40 ve |A\cap B|=4.

Boş satır

Her iki kümenin de diğerinin alt kümesi olmadığı koşulundan A’da ve B’de ortak olmayan en az bir eleman vardır; bu yüzden

|A| - 4 > 0

Boş satır

|B| - 4 > 0

Boş satır

Yani |A|>4 ve |B|>4.

Boş satır

40 sayısının pozitif çarpan çiftleri:

(1,40),(2,20),(4,10),(5,8),(8,5),(10,4),(20,2),(40,1)

Boş satır

|A|>4 ve |B|>4 koşulunu sağlayan çiftler sadece

(5,8) \text{ ve } (8,5)

Boş satır

Birleşim formülü:

|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|

Boş satır

Seçilen değerlerle hesap (örnek olarak |A|=5,|B|=8):

5 + 8 - 4

Boş satır

5 + 8

Boş satır

= 13

Boş satır

13 - 4

Boş satır

= 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kesişim

  • Tanım: İki kümenin ortak elemanlarından oluşan küme.
  • Bu problemde: (A\times B)\cap(B\times A)=(A\cap B)\times(A\cap B) ve eleman sayısı |A\cap B|^2.

2. Birleşim

  • Tanım: İki kümenin tüm elemanlarını içeren küme.
  • Bu problemde: |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kesişimi yanlış hesaba katmak

  • Yanlış: (A\times B)\cap(B\times A) yerine yanlışlıkla A\cap B sayısını doğrudan almak.
  • Doğru: (A\times B)\cap(B\times A)=(A\cap B)\times(A\cap B) olduğu için eleman sayısı |A\cap B|^2 olmalıdır.
  • Neden yanlış: Kartesyen çarpımın eleman sayısı çarpım şeklindedir; tek başına kesişim eleman sayısı kare alınır.
  • Düzeltme: Önce |A\cap B| bulunur, sonra kare alınıp çıkarma yapılır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?