Her x gerçel sayısı için
f(x) = f(x + 3)
olduğuna göre,
I. f(1) = f(4)
II. f(5) = f(14)
III. f(-1) = f(17)
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I, II ve III
Periyodik Fonksiyonlar ve Değer Eşitlikleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Her x \in \mathbb{R} için f(x) = f(x + T) eşitliğini sağlayan fonksiyonlara periyodik fonksiyon, T değerine ise periyot denir. Bu kural gereği, fonksiyonun içine eklenen veya çıkarılan periyodun tam katları (k \in \mathbb{Z}) fonksiyonun değerini değiştirmez:
f(x) = f(x + 3k), \quad k \in \mathbb{Z}
Dolayısıyla, f(a) = f(b) olabilmesi için |b - a| farkının 3’ün bir tam katı olması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI & ÖNCÜL ANALİZİ:
-
I. Öncül: f(1) = f(4)
Verilen kuralda x = 1 yazılırsa:f(1) = f(1 + 3) = f(4)Fark: 4 - 1 = 3 (3’ün 1 katı).
I. öncül DOĞRUDUR. -
II. Öncül: f(5) = f(14)
Kuralı ardışık olarak uygulayalım:f(5) = f(5 + 3) = f(8)f(8) = f(8 + 3) = f(11)f(11) = f(11 + 3) = f(14)Fark: 14 - 5 = 9 = 3 \times 3 (3’ün tam katı).
II. öncül DOĞRUDUR. -
III. Öncül: f(-1) = f(17)
Kuralı 6 kez uygulayalım (x yerine 6 \times 3 = 18 ekleyelim):f(-1) = f(-1 + 3 \times 6) = f(-1 + 18) = f(17)Fark: 17 - (-1) = 18 = 3 \times 6 (3’ün tam katı).
III. öncül DOĞRUDUR.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E — I, II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Periyot: Bir fonksiyonun belirli aralıklarla aynı değerleri tekrar etmesi durumudur. f(x) = f(x + 3) ifadesinde periyot T = 3’tür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yalnızca tek adım ilerleyip (x + 3) büyük sayıların eşit olamayacağını düşünmek.- Doğru Yaklaşım: Eşitliğin her iki tarafındaki girdilerin farkının 3’ün tam katı olup olmadığını (b - a = 3k) kontrol etmek.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?