Her birinin uç noktalarından biri O noktası olan sekiz
doğru parçasinin aralarında kalan şekildeki a, b, c, d, e,
f.g ve h açılarinın ölçüleri sirasıyla, küçükten büyüğe
doğru siralanmış 8 ardışık tam sayı ile doğru orantılidır.
K
T
M
N
p
R
K,O veR noktaları doğrusal olduğuna göre şekilde
mor renkle gösterilen MOR açısınin ölçüsü kaç
derecedir?
A) 108
B) 114
C) 120
D) 126
E) 132
TYT-2025
Doğrusal Açılar ve Orantı ile Açı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Doğru Açı: Bir doğru üzerindeki açıların toplamı 180^\circ’dir.
- Tam Açı: Bir nokta etrafındaki açıların toplamı 360^\circ’dir.
- Doğru Orantı: x sayısı m ile doğru orantılı ise x = m \cdot k biçiminde yazılır (k: orantı sabiti).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Açıları Ardışık Sayılar ve Orantı Sabiti Cinsinden Tanımlama
a, b, c, d, e, f, g, h açıları küçükten büyüğe ardışık 8 tam sayı ile orantılı olduğundan, bu tam sayılara en küçüğü n olmak üzere n, n+1, \dots, n+7 diyebiliriz. Bir k orantı sabiti için:
$$\begin{aligned}
a &= n \cdot k \
b &= (n+1) \cdot k \
c &= (n+2) \cdot k \
d &= (n+3) \cdot k \
e &= (n+4) \cdot k \
f &= (n+5) \cdot k \
g &= (n+6) \cdot k \
h &= (n+7) \cdot k
\end{aligned}$$
Adım 2 — Doğrusallığı Kullanarak n ve k Değerlerini Bulma
K, O ve R noktaları doğrusal olduğundan KR bir doğru belirtir. Bu doğrunun sağında kalan açıların toplamı ile solunda kalan açıların toplamı ayrı ayrı birer doğru açıya (180^\circ) eşittir:
- Sağ taraf (KR’nin sağı): a + b + c + d + e = 180^\circ
- Sol taraf (KR’nin solu): f + g + h = 180^\circ
Bu toplamları denklemde yerine yazalım:
$$\begin{aligned}
a + b + c + d + e &= [n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)] \cdot k = (5n + 10) \cdot k = 180^\circ \
f + g + h &= [(n+5) + (n+6) + (n+7)] \cdot k = (3n + 18) \cdot k = 180^\circ
\end{aligned}$$
Her iki ifade de 180^\circ’ye eşit olduğundan:
(5n + 10) \cdot k = (3n + 18) \cdot k
5n + 10 = 3n + 18 \implies 2n = 8 \implies n = 4
Bulduğumuz n = 4 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak k orantı sabitini elde edelim:
(5 \cdot 4 + 10) \cdot k = 180^\circ \implies 30k = 180^\circ \implies k = 6^\circ
Adım 3 — Mor Renkli \widehat{MOR} Açısını Hesaplama
Şekilde mor renk ile gösterilen \widehat{MOR} açısı; c, d ve e açılarının birleşiminden oluşmaktadır:
m(\widehat{MOR}) = c + d + e
Açıların değerlerini hesaplayalım:
$$\begin{aligned}
c &= (4 + 2) \cdot 6^\circ = 6 \cdot 6^\circ = 36^\circ \
d &= (4 + 3) \cdot 6^\circ = 7 \cdot 6^\circ = 42^\circ \
e &= (4 + 4) \cdot 6^\circ = 8 \cdot 6^\circ = 48^\circ
\end{aligned}$$
Toplarsak:
m(\widehat{MOR}) = 36^\circ + 42^\circ + 48^\circ = 126^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı — 126
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Doğru Açı (180^\circ): Bir doğrunun bir tarafında kalan açıların toplamı daima 180^\circ’dir. Şekilde K-O-R doğrusunun bir tarafında 5 açı, diğer tarafında 3 açı yer almaktadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: K-O-R doğrusunun her iki tarafında da eşit sayıda açı olduğunu varsayıp açıları dörder dörder gruplandırmak (a+b+c+d = 180^\circ ve e+f+g+h = 180^\circ demek).- Doğru Yaklaşım: Şekilde OR ışınının e ile f arasında olduğunu görerek sağda a, b, c, d, e (5 açı), solda ise f, g, h (3 açı) olduğunu doğru tespit etmek.
Benzer bir açı-orantı sorusuyla konuyu pekiştirmek ister misin?