Her bir aşaması 20 sorudan oluşan üç aşamalı bir sınavın birinci aşamasında doğru cevaplanan her bir soru için 1 puan, ikinci aşamasında doğru cevaplanan her bir soru için 2 puan ve üçüncü aşamasında doğru cevaplanan her bir soru için 3 puan verilmektedir. Sınavda boş bırakılan ya da yanlış cevaplanan sorular için puan verilmemekte ve puan silinmemektedir. Bu sınava katılan bir öğrencinin her üç aşamadan aldığı puanlar birbirine eşit olduğuna göre doğru cevapladığı toplam soru sayısı en fazla kaç olabilir?
A) 33
B) 36
C) 38
D) 41
E) 45
Üç Aşamalı Sınavda Alınan Eşit Puanlara Göre Maksimum Doğru Soru Sayısı
KULLANILAN KURAL VE BAĞINTILAR:
Her aşamada kazanılan puan, doğru cevaplanan soru sayısı ile o aşamanın soru puanının çarpımına eşittir.
- Birinci aşama puanı: P_1 = 1 \cdot x
- İkinci aşama puanı: P_2 = 2 \cdot y
- Üçüncü aşama puanı: P_3 = 3 \cdot z
Puanların eşitliği şartı:
P = x = 2y = 3z
Burada x, y, z her aşamadaki doğru soru sayılarını temsil eder ve her aşamada en fazla 20 soru bulunduğu için 0 \le x, y, z \le 20 olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri ve Ortak Katı Belirleme
x, 2y ve 3z değerleri birbirine eşit ve birer tam sayı olduğuna göre, ortak puan değeri 1, 2 ve 3 sayılarının en küçük ortak katı (\text{EKOK}) olan 6’nın bir katı olmalıdır.
P = 6k \quad (k \in \mathbb{Z}^+)
Bu durumda doğru sayıları k cinsinden şöyle ifade edilir:
- x = 6k
- y = \frac{6k}{2} = 3k
- z = \frac{6k}{3} = 2k
Adım 2 — Soru Sayısı Sınırını (Kısıtlamaları) Uygulama
Her aşamada en fazla 20 soru sorulabildiğinden her değişken için üst sınır incelenir:
-
- Aşama için: x \le 20 \implies 6k \le 20 \implies k \le 3,\!33
-
- Aşama için: y \le 20 \implies 3k \le 20 \implies k \le 6,\!66
-
- Aşama için: z \le 20 \implies 2k \le 20 \implies k \le 10
Tüm koşulları aynı anda sağlayan en büyük k pozitif tam sayısı:
k = 3
Adım 3 — Her Aşamada Doğru Yapılan Soru Sayılarını Hesaplama
k = 3 değerini yerine yazarak her aşamadaki doğru sayıları bulunur:
- x = 6 \cdot 3 = 18 doğru (18 puan)
- y = 3 \cdot 3 = 9 doğru (18 puan)
- z = 2 \cdot 3 = 6 doğru (18 puan)
Her üç aşamadan da 18’er puan alınmış ve puanlar eşitlenmiştir.
Adım 4 — Toplam Doğru Soru Sayısını Bulma
Doğru cevaplanan toplam soru sayısı:
\text{Toplam} = x + y + z = 18 + 9 + 6 = 33
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 33
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EKOK (En Küçük Ortak Kat)
- Tanım: İki veya daha fazla tam sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
- Bu problemde: 1, 2 ve 3 katsayılarına sahip puan eşitliğini tek bir değişkene (k) bağlamak için \text{EKOK}(1, 2, 3) = 6 kullanılmıştır.
2. Değişken Kısıtlamaları (Eşitsizlik)
- Tanım: Problemdeki fiziksel sınırların (maksimum soru sayısı) matematiksel eşitsizliğe dönüştürülmesidir.
- Bu problemde: Birinci aşamadaki x \le 20 kısıtı, k’nin alabileceği en büyük değeri belirleyen temel sınır olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
En Yüksek Puanlı Aşamaya Göre Sınır Belirlemek
- Yanlış: 3. aşamada 20 soru olduğu için z = 20 alıp P = 60 puana ulaşmaya çalışmak.
- Doğru: Eğer P = 60 olursa 1. aşamada 60 doğru yapılması gerekir; ancak 1. aşamada sadece 20 soru vardır.
- Neden yanlış: Katsayısı en küçük olan değişken (1. aşama), maksimum puanı belirleyen sınırlayıcı etkendir.
Bu tür oran-orantı ve maksimum/minimum problemlerini pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?