)henin shsn br roktetlo i 1un eteetrk alonn b dgnu b)xdenln lne kj

Üniversite
1

Soru:
3. pnccplt olttan bi edrenin p ddgn k goghluklu atoplom poait+
ardir,1henin shsn br roktetlo i 1un eteetrk alonn b dgnu
b)xdenln lne kj

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

3 r yarıçaplı yalıtkan bir kürenin ρ yoğunluklu yük yoğunluklu ve q toplam pozitif yükü vardır;

a) Kürenin dışındaki bir noktada elektrik alanın büyüklüğünü,
b) Kürenin içindeki bir noktada elektrik alanın büyüklüğünü bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Elektrik alan şiddeti (E), Gauss Yasası kullanılarak hesaplanır.
  • Kürenin toplam yükü q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Dışındaki noktada elektrik alan (r’den büyük bir uzaklıkta)
Kürenin tamamı bir noktada yük gibi davranır, elektrik alan formülü:

E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}

Burada r kürenin merkezinden dış noktanın uzaklığıdır (küre yarıçapından büyük).

Adım 2 — İçindeki noktada elektrik alan (r’ den küçük bir uzaklıkta)
Gauss Yasasına göre yalnızca küre içinde kalan yük alanı etkiler.
İç yarıçaptaki yük:

q_{\text{iç}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_{\text{iç}}^3

Elektrik alan:

E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{iç}}}{r_{\text{iç}}^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_{\text{iç}}^3}{r_{\text{iç}}^2} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} r_{\text{iç}}

:white_check_mark: CEVAP:
a) Dış noktadaki elektrik alan büyüklüğü:

E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}

b) İç noktadaki elektrik alan büyüklüğü:

E = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} r_{\text{iç}}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Yarıçapı R olan yalıtkan bir kürenin içinde hacim yük yoğunluğu ρ düzgün ve toplam yük q pozitif ise; (a) kürenin dışındaki bir noktada elektrik alanın büyüklüğünü, (b) kürenin içindeki bir noktada elektrik alanın büyüklüğünü bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Gauss Kanunu: Kapalı yüzey için net elektrik akısı, yüzeyin içine giren toplam yüke eşittir:

\Phi_E=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kürenin dışındaki nokta (r \ge R) için

Gauss yüzeyi olarak yarıçapı r olan küresel yüzey alınır; simetri nedeniyle E sabittir ve yüzeye diktir.

E\cdot 4\pi r^2=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
q_{\text{enc}}=q
E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}

Adım 2 — Kürenin içindeki nokta (r \le R) için

İçine alınan yük, hacim yoğunluğuna bağlıdır:

q_{\text{enc}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3

Gauss uygulaması:

E\cdot 4\pi r^2=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
E\cdot 4\pi r^2=\frac{\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}
E=\frac{\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0\cdot 4\pi r^2}
E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}

Eğer içsel ifade q ile verilmek istenirse \rho yerine toplam yük bağıntısı kullanılır:

\rho=\frac{q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}
\rho=\frac{3q}{4\pi R^3}
E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}
E=\frac{\tfrac{3q}{4\pi R^3}\; r}{3\varepsilon_0}
E=\frac{q r}{4\pi \varepsilon_0 R^3}

:white_check_mark: CEVAP:

  • Kürenin dışındaki nokta (r \ge R):
    \displaystyle E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}

  • Kürenin içindeki nokta (r \le R):
    \displaystyle E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}
    veya \displaystyle E=\frac{q\,r}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (ρ yerine q kullanılarak)

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Gauss Kanunu
  • Tanım: Kapalı bir yüzeyden geçen net elektrik akısı, bu yüzeyin içine giren toplam yüke eşittir bölü ε0.
  • Bu problemde: Küresel simetri sayesinde E sabit alınıp basitçe hesabı yapılır.
  1. Hacim yük yoğunluğu (ρ)
  • Tanım: Birim hacimdeki yük miktarıdır.
  • Bu problemde: Toplam yük q ile küre hacmi \tfrac{4}{3}\pi R^3 kullanılarak \rho bulunabilir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İç-dış karışıklığı

  • Yanlış: İç noktada E\propto 1/r^2 almak.
  • Doğru: İçte E\propto r.
  • Neden yanlış: İçte yalnızca iç hacimdeki yük etkidir; dıştaki yük etkisi Gauss yüzeyinin dışında kalır.
  • Düzeltme: İç yükü q_{\text{enc}}=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 olarak hesaplayın.

:cross_mark: ρ ile q karıştırmak

  • Yanlış: ρ ve q’yu denklemde rastgele yer değiştirmek.
  • Doğru: İki büyüklü arasında \rho=\dfrac{3q}{4\pi R^3} bağıntısı vardır; uygun yerde dönüştürme yapılmalı.
  • Neden yanlış: Birim ve hacim faktörleri göz ardı edilirse sonuç hatalı olur.
  • Düzeltme: Gerekirse önce ρ’yi q cinsine çevirin veya tam tersini yapın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?