Helooooo

KPSS
1

!17455653399575980692050998303471|666x500 [Link Silindi]

@sorumatikbot

2

Bu soru nasıl çözülür?

Soru:
x, y, z pozitif reel sayılardır ve aşağıdaki oranlar verilmiştir:

xy = \frac{2}{5}, \quad yz = \frac{1}{2}, \quad xz = \frac{1}{20}

Buna göre x, y, z arasındaki büyüklük ilişkisi verilmiştir. Doğru seçeneği bulmamız gerekiyor.

Adım Adım Çözüm:

1. Verilen oranları kullanarak değerleri çözümleme

Oranlardan her bir terimi diğerine göre ifade etmek üzerine çalışacağız.

Verilen bilgiler:

  • xy = \frac{2}{5}
  • yz = \frac{1}{2}
  • xz = \frac{1}{20}

Bu bilgileri çarparak x, y ve z arasındaki değer oranını bulabiliriz.

(xy) \cdot (yz) \cdot (xz) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}

2. Çarpımı basitleştirmek

Çarpanların çarımı şu şekildedir:

(x^2y^2z^2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}
x^2y^2z^2 = \frac{2}{200} = \frac{1}{100}

Her iki tarafın karekökünü alarak:

xyz = \frac{1}{10}

3. x, y, z arasındaki ilişkiyi çözümleme

Şimdi verilen eşitlikler yardımıyla her bir sayının büyüklüğünü sıralayabiliriz. Başlangıçta şu oranları çözebiliriz:

  • $x$’i bulalım:
    \frac{xz}{yz} = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{20} \cdot 2 = \frac{1}{10}

Yanıt tam hali. :man:‍@

3

Verilen bilgilere göre x, y, z arasındaki sıralama nedir?

Cevap:

Soruda, x, y, z pozitif reel (gerçek) sayılar ve aşağıdaki ilişkiler verilmiş:

  • xy = \dfrac{2}{5}
  • yz = \dfrac{1}{2}
  • xz = \dfrac{1}{20}

Bize, x, y, z değerlerinin büyüklük sıralamasını soruyor.

Adım Adım Çözüm

1. Üç bilinmeyenli denklem sistemi kurma:

xy = \frac{2}{5} \tag{1}
yz = \frac{1}{2} \tag{2}
xz = \frac{1}{20} \tag{3}

2. Üç denklemi çarparak x, y, z çarpımını bulma:

Bütün denklemleri çarpalım:

(xy) \cdot (yz) \cdot (xz) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}

Solda:

(xy)(yz)(xz) = (x^2)(y^2)(z^2)
x^2 y^2 z^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{100}

Yani:

x^2 y^2 z^2 = \frac{1}{100} \implies xyz = \frac{1}{10} \quad (\text{Hepsi pozitif olduğu için kök alınabilir})

3. Her bir değişkeni tek başına bulma:

a. xyz = \frac{1}{10} ve xy = \frac{2}{5}:

z = \frac{xyz}{xy} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

b. xyz = \frac{1}{10} ve xz = \frac{1}{20}:

y = \frac{xyz}{xz} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{20}} = \frac{1}{10} \cdot 20 = 2

c. xyz = \frac{1}{10} ve yz = \frac{1}{2}:

x = \frac{xyz}{yz} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10} \cdot 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

4. Değerleri Karşılaştırma ve Sıralama

Bulduğumuz değerler:

  • x = \frac{1}{5} \approx 0.2
  • y = 2
  • z = \frac{1}{4} = 0.25

Sıralama: x = 0.2, z = 0.25, y = 2

Dolayısıyla:

x < z < y

Sonuç ve Doğru Şık

  • Doğru sıralama: x < z < y
  • Şıklarda bu C seçeneği olarak işaretlenmiş.

Kısaca:
Sıralama: x < z < y olmalı. Doğru cevap: C şıkkı.
Dilerseniz değişkenlerin değerlerini yerine koyarak kontrol de edebilirsiniz.

@Yesimyssr

4

**12. x, pozitif reel (gerçel) sayıdır.

xy = 2/5, yz = 1/2, xz = 1/20
Olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?**

A) x < y < z
B) z < y < x
C) z < x < y
D) y < z < x
E) x < z < y

Answer:

  1. Verilen Eşitlikler

    • xy = 2/5
    • yz = 1/2
    • xz = 1/20
    • x, y, z > 0

  2. z Değerini İfadelerden Bulma

    • yz = 1/2 ⇒ z = (1/2)/y = 1/(2y)
    • xz = 1/20 ⇒ z = (1/20)/x = 1/(20x)

    Bu iki z değeri birbirine eşit olduğundan:

    \frac{1}{2y} = \frac{1}{20x}

    Buradan:

    20x = 2y \quad \Longrightarrow \quad y = 10x

  3. x ve y Değerlerinin Bulunması
    xy = 2/5 ifadesiyle y = 10x değerini birleştirirsek:

    x \cdot (10x) = \frac{2}{5}
    10x^2 = \frac{2}{5}
    x^2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{10} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}

    Pozitif kökü alırsak:

    x = \frac{1}{5}

    Ardından:

    y = 10x = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2

  4. z Değerinin Bulunması
    yz = 1/2 ⇒ 2·z = 1/2 ⇒ z = 1/4
    (Aynı sonucu xz=1/20 ile de doğrulayabilirsiniz.)

  5. Sayıların Sıralanması

    • x = 1/5 = 0.2
    • z = 1/4 = 0.25
    • y = 2

    Dolayısıyla x < z < y sıralaması geçerlidir.

Cevap seçeneği (E) x < z < y şeklindedir.

@Yesimyssr

5

12. x, pozitif reel (gerçek) sayıdır.

xy = \frac{2}{5}, \quad yz = \frac{1}{2}, \quad xz = \frac{1}{20}

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

İçindekiler

  1. Verilenlerin Analizi ve Değişkenlerin Yazılması
  2. Sistematik Olarak Çözümü Adım Adım Yapmak
  3. Karşılaştırma ve Sonuç
  4. Tablo ile Özet
  5. Özet ve Sonuç

1. Verilenlerin Analizi ve Değişkenlerin Yazılması

Verilenler:

  • xy = \dfrac{2}{5}
  • yz = \dfrac{1}{2}
  • xz = \dfrac{1}{20}

Amaç: x, y, z pozitif reel sayılarının büyüklük sırasını bulmak.

2. Sistematik Olarak Çözümü Adım Adım Yapmak

Adım 1: Üç denklemi kullanarak x, y, z’yi bulalım.

Verilen çarpımlar:

  • (1) \quad xy = \dfrac{2}{5}
  • (2) \quad yz = \dfrac{1}{2}
  • (3) \quad xz = \dfrac{1}{20}

Hepsini çarpalım:

(xy) \cdot (yz) \cdot (xz) = \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{20}\right)

Sol tarafı açalım:

(xy) \cdot (yz) \cdot (xz) = (x^2)(y^2)(z^2)

Yani:

x^2 y^2 z^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}

Şimdi sağ tarafı hesaplayalım:

  • \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5}
  • \frac{1}{5} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{100}

Dolayısıyla:

x^2 y^2 z^2 = \frac{1}{100}

Her iki tarafın karekökünü alırsak (x, y, z > 0 olduğu için pozitif değer alınır):

xyz = \frac{1}{10}

Şimdi denklem çözümüne geçelim.

xy = \dfrac{2}{5} ve xyz = \dfrac{1}{10} olduğuna göre:

xy \cdot z = \frac{1}{10}

Ama zaten xy \cdot z = xyz idi, bu tamam.

Şimdi her birini xyz cinsinden bölelim:

  1. xy = \frac{2}{5} \implies z = \frac{xyz}{xy} = \frac{1/10}{2/5} = \frac{1/10}{2/5} = \frac{1}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

  2. Benzer şekilde yz = \frac{1}{2} \implies x = \frac{xyz}{yz} = \frac{1/10}{1/2} = \frac{1}{10} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

  3. xz = \frac{1}{20} \implies y = \frac{xyz}{xz} = \frac{1/10}{1/20} = \frac{1}{10} \times 20 = 2

Özet:

  • x = \frac{1}{5}
  • y = 2
  • z = \frac{1}{4}

3. Karşılaştırma ve Sonuca Ulaşma

Şimdi sayıları küçükten büyüğe sıralayalım:

z = 0.25, x = 0.2, y = 2

Ama! x = 0.2 (\frac{1}{5}), z = 0.25 (\frac{1}{4})

Dolayısıyla:

  • x = 0.2
  • z = 0.25
  • y = 2

Yani x < z < y

Ama dikkat: x = 0.2 < z = 0.25 < y = 2

Seçenekleri kontrol edelim.

  • A) x < y < z (YANLIŞ)
  • B) z < y < x (YANLIŞ)
  • C) z < x < y (YANLIŞ)
  • D) y < z < x (YANLIŞ)
  • E) x < z < y (DOĞRU)

Doğru cevap: E şıkkı!

4. Tablo ile Özet

Değişken Değer Sıralama (küçükten büyüğe)
x 0.2 1 (en küçük)
z 0.25 2
y 2 3 (en büyük)

Sıralama: x < z < y

5. Özet ve Sonuç

Adım adım çözerek sıralamayı netleştirdik:

  • x = \frac{1}{5} = 0.2
  • z = \frac{1}{4} = 0.25
  • y = 2

Bu durumda x < z < y yani E şıkkı doğrudur.

En önemli noktalar:

  • Çarpımlar verilmişse üçünü çarparak xyz’yi bulun.
  • Tek tek değeri dağıtarak karşılaştırma yapabilirsiniz.
  • Poztif sayılarda kesin sıralama elde edilir.

Sonuç:
Doğru seçenek: E) x < z < y

Şık Anlamı Doğru mu?
A x < y < z Hayır
B z < y < x Hayır
C z < x < y Hayır
D y < z < x Hayır
E x < z < y EVET

Cevap:
E) x < z < y
@sorumatikbot