Soru: Genişliği 4^{x+1} br olan bir kitaplığa, genişliği 2^{x+5} br olan özdeş 8 tane kitap yan yana ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde diziliyor. Kitaplar kitaplığa tam sığıyor. Buna göre, x değeri kaçtır?
İçindekiler
- Problem Tanımı
- Üs Kuralları ve Temel Bilgiler
- Adım Adım Çözüm
- Çözümün Doğrulanması
- Özet Tablo
- Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
- Genel Değerlendirme ve İpuçları
1. Problem Tanımı
- Kitaplık genişliği: 4^{x+1} birim
- Her bir kitabın genişliği: 2^{x+5} birim
- Kitap sayısı: 8 adet
- Kitaplar yan yana ve boşluksuz şekilde dizildiğinde tam sığmaktadır.
Bu koşullar altında x değerini bulmanız isteniyor.
2. Üs Kuralları ve Temel Bilgiler
Üsleri çözümde doğru kullanabilmek için hatırlamamız gereken temel kurallar:
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- (a^m)^n = a^{m\,n}
- Farklı tabanlı üsleri aynı tabana çevirmek:
- 4 = 2^2 olduğundan, 4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}
- Eşit tabanlı üslerde, üslerin kendisi eşitlenerek denklemler çözülebilir.
Bu kurallar çözümün ana eksenini oluşturur.
3. Adım Adım Çözüm
3.1. Adım 1: Eşitlik Kurma
Kitapların toplam genişliği kitaplığın genişliğine eşit olduğundan:
8 \times \bigl(2^{x+5}\bigr) \;=\; 4^{x+1}
Solda 8 kitap, her biri 2^{x+5} br genişliğinde; sağda kitaplığın toplam genişliği 4^{x+1} br.
3.2. Adım 2: Üsleri Aynı Taban Üzerine Getirme
-
Sol Taraf
-
8 = 2^3 olduğundan
8 \times 2^{x+5} \;=\; 2^3 \times 2^{x+5} = 2^{3 + (x+5)} = 2^{x+8}
-
-
Sağ Taraf
-
4 = 2^2 olduğundan
4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x + 2}
-
Böylece denklem, ortak taban 2 üzerinden şu hale gelir:
2^{x+8} = 2^{2x+2}
3.3. Adım 3: Üsleri Karşılaştırma ve $x$’i Bulma
Eşit tabanlı üslerde üsler eşittir:
x + 8 = 2x + 2
Bu doğrusal denklemi çözersek:
- Tarafları sadeleştir:
x + 8 = 2x + 2 - x terimlerini bir araya topla:
8 - 2 = 2x - x - Hesapla:
6 = x
Sonuç: x = 6
4. Çözümün Doğrulanması
Bulduğumuz x değerini denkleme geri koyarak kontrol edelim:
- Sol taraf:
8 \times 2^{x+5} = 8 \times 2^{6+5} = 8 \times 2^{11} = 8 \times 2048 = 16384 - Sağ taraf:
4^{x+1} = 4^{6+1} = 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14} = 16384
Her iki taraf da 16384 olduğu için x = 6 değeri doğrudur.
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Denklemin Kurulması | 8\cdot2^{x+5} = 4^{x+1} | – |
| Üsleri Birleştirme (Sol) | 8=2^3\;\Rightarrow\;2^{x+8} | – |
| Üsleri Birleştirme (Sağ) | 4=2^2\;\Rightarrow\;2^{2x+2} | – |
| Üslerin Karşılaştırılması | x+8 = 2x+2 | – |
| x Değerinin Bulunması | 6 = x | 6 |
6. Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
-
Neden önce 8’i üs biçimine çevirdik?
Üs işlemlerini doğrudan toplama veya çıkarma işlemleriyle yapmak yerine, tüm çarpanları aynı tabana (2) dönüştürerek denklem kurmak, çözümü basitleştirir. -
Başka bir yol var mı?
Temelde yoktur; üslü ifadelerin eşitliğinde her zaman tabanları eşitleyip üsleri karşılaştırmak en pratik yöntemdir. -
Üslerde işlem hatası yapmamak için ne önerirsiniz?
- Adım adım yazın.
- Ara sonuçları tabloya kaydedin.
- Tabanı değiştirmeden önce her ifadenin açık halini yazın.
7. Genel Değerlendirme ve İpuçları
- Üslü ifadeler pek çok TYT/AYT matematik sorusunda karşımıza çıkar.
- Denklemi kurduktan sonra tüm terimleri aynı tabana dönüştürün.
- Çözüme ulaşırken adım adım ilerleyin, her adımı yazılı olarak takip edin.
- Sonuçları mutlaka geri yerine koyarak kontrol edin.
Sonuç Olarak:
Bu problemde kitaplık genişliği ile toplam kitap genişliği eşitliğinden yola çıkarak, x = 6 sonucuna ulaştık. @Bersan_Kahraman
Soru: Genişliği 4^{x+1} br olan bir kitaplığa, genişliği 2^{x+5} br olan özdeş 8 tane kitap yan yana ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde diziliyor. Bu durumda kitaplar kitaplığa tam sığıyor. Buna göre, x değeri kaçtır?
Cevap:
Toplam kitap genişliği = 8\cdot 2^{x+5}. Bu, kitaplığın genişliğine eşittir:
8\cdot 2^{x+5}=4^{x+1}
Üsleri ikilik tabana çevirirsek:
- 8=2^3
- 4^{x+1}=(2^2)^{x+1}=2^{2(x+1)}=2^{2x+2}
O halde eşitlik:
2^3\cdot 2^{x+5}=2^{2x+2}
Sol tarafın üsleri toplanır:
2^{x+8}=2^{2x+2}
Aynı tabandaki üstel ifadelerde üsler eşitlenir:
x+8=2x+2
Bundan,
8-2 = 2x - x \Rightarrow 6 = x
Sonuç: x = 6
Özet tablo:
| İfade | Değer/İşlem |
|---|---|
| Bir kitabın genişliği | 2^{x+5} |
| 8 kitabın toplamı | 8\cdot 2^{x+5}=2^{x+8} |
| Kitaplık genişliği | 4^{x+1}=2^{2x+2} |
| Çözülen denklem | 2^{x+8}=2^{2x+2}\Rightarrow x=6 |