Şekildeki ABCD dikdörtgeninde, s(BEC)=5x+10°, s(ECD)=50° ve [EB] açıortaydır. x kaç derecedir?
Cevap:
İçindekiler
- Problemin Genel Tanıtımı
- Temel Geometri Kavramları
- Adım Adım Çözüm Stratejisi
- Üçgende Açıların Toplamı İlkesi
- Rektangelde Köşe Açılarının Kullanımı
- Açıortay Bilgisinin Uygulanması
- Adım Adım Hesaplamalar
- Örnek Tablo ile Adımların Özeti
- Ek Açıklamalar ve Alternatif Yaklaşımlar
- Sonuç ve Özet
1. Problemin Genel Tanıtımı
Bu soruda elimizde bir ABCD dikdörtgeni var. Noktalar şu şekilde sıralanmıştır:
- A, B, C, D dikdörtgenin köşeleri.
- ABCD dikdörtgeninin iç kısmında veya kenarlarına komşu olacak biçimde konumlanan bir E noktası.
Verilen bilgiler:
- ∠BEC = 5x + 10°
- ∠ECD = 50°
- [EB] doğru parçasının B köşesindeki açıyı ikiye böldüğü (açıortay olduğu) ifade edilmiş.
- Bizden istenen: x açısının kaç derece olduğunu bulmak.
2. Temel Geometri Kavramları
- Dikdörtgen (Rectangle): Tüm iç açıları 90° olan dörtgen. Dolayısıyla AB ∥ CD ve BC ∥ AD, ayrıca her köşe açısı 90°’dir.
- Açıortay (Angle Bisector): Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışın ya da doğru parçası. Bu problemde [EB], B köşesindeki 90°’lik açıyı ikiye böler.
- Üçgenlerde Açıların Toplamı: Her üçgende iç açıların toplamı 180°’dir.
- Komşu Açılar: Dikdörtgende iki kenarın kesiştiği köşede 90° oluşur. Bir noktaya gelen iki ışının arasında kalan açılar toplamı o köşenin ölçüsünü verir.
3. Adım Adım Çözüm Stratejisi
- Dikdörtgenin köşesi B’nin 90° olduğunu ve [EB]’nin bu 90°’yi ikiye böldüğünü fark etmek.
- Dolayısıyla B köşesindeki açı, ikiye bölündüğünde ayrı ayrı 45° olur. Soruda hangi açıların hangisine eşit olduğu bu bilgiyle ilişkilendirilecektir.
- C köşesinin de 90° olduğunu hatırlamak; bu köşedeki ∠ECD = 50° ise, E noktasıyla ilgili diğer açının (yani ∠BCE’nin) 40° olabileceğini anlamak (çünkü 50° + 40° = 90°).
- E noktası etrafında oluşan üçgende (BEC) açıları toplayarak ∠BEC + ∠EBC + ∠BCE = 180° ilkesini kullanmak.
- Bulduğumuz açılar yardımıyla 5x + 10°’yi 180°’lik açı toplamı denklemine yerleştirip x’i çözmek.
4. Üçgende Açıların Toplamı İlkesi
Bir üçgende A, B ve C iç açıları olmak üzere:
Bu problemde, “üçgen” olarak BEC üçgenini göz önünde bulunduruyoruz. Açılarımız:
- ∠BEC (verilen: 5x + 10°)
- ∠EBC (B köşesinin açıortayı ile geleceği değer)
- ∠BCE (C köşesinin 90°’lik açısına bağlı parça)
5. Rektangelde Köşe Açılarının Kullanımı
Bir dikdörtgende:
- A köşesi = 90°
- B köşesi = 90°
- C köşesi = 90°
- D köşesi = 90°
Bu problemde özellikle B ve C köşeleri önemlidir:
- B köşesi: [EB] açıortay olduğundan, B köşesindeki 90° → 45° + 45° şeklinde iki eşit parçaya ayrılır. E noktasının bulunduğu konuma göre muhtemeldir ki ∠EBC = 45° ya da ∠ABE = 45°; soru figürüne bakıldığında genelde EBC açısı 45° olarak kullanılır.
- C köşesi: ∠BCD = 90° iken ∠ECD = 50° verildiğinden, geri kalan ∠BCE = 40° oluyor (çünkü 50° + 40° = 90°).
6. Açıortay Bilgisinin Uygulanması
Soruda “[EB] açıortaydır” ifadesi, B köşesinde 90°’lik açıyı E doğrultusunda bölüyor demektir. Genellikle şu şekilde özetlenir:
- Dikdörtgendeki B açısı = 90°
- Açıortay → 90° / 2 = 45°
Dolayısıyla E noktasını içeren taraftaki açı “45°” olarak tanımlanır.
7. Adım Adım Hesaplamalar
-
C köşesi analizi
- Dikdörtgenin C köşesi: 90°
- Verilen: ∠ECD = 50°
- Dolayısıyla aynı köşedeki diğer açı ∠BCE = 90° - 50° = 40°
-
B köşesi analizi
- Dikdörtgenin B köşesi: 90°
- [EB] açıortay olduğuna göre: ∠EBC = 45° (E noktasına bakan kısım)
-
BEC üçgeninin açıları
Üçgen BEC’te şu üç açı vardır:- ∠BEC = 5x + 10° (soruda verilen)
- ∠EBC = 45° (açıortay sayesinde)
- ∠BCE = 40° (C köşesinden gelen)
-
Açıların toplamı
$$\angle BEC + \angle EBC + \angle BCE = 180^\circ$$
Değerleri yerine koyunca:
$$(5x + 10^\circ) + 45^\circ + 40^\circ = 180^\circ$$ -
Denklemin çözümlenmesi
- Sol taraf: 5x + 10 + 45 + 40 = 5x + 95
- Sağ taraf: 180
- Eşitlik: 5x + 95 = 180
-
x değerine ulaşma
5x = 180 - 95 \\ 5x = 85 \\ x = \frac{85}{5} = 17
8. Örnek Tablo ile Adımların Özeti
| Adım | İşlem Açıklaması | Sonuç/Hesaplama |
|---|---|---|
| 1. C köşesindeki açılar | ∠ECD = 50°, C toplam 90° olduğundan ∠BCE = 40° | BCE = 40° |
| 2. B köşesinin açıortayı | 90° dik açı / 2 = 45° | EBC = 45° |
| 3. Üçgen BEC açı toplamı | (5x + 10°) + 45° + 40° = 180° | 5x + 95 = 180 |
| 4. Denklemin çözümü | 5x = 85 → x = 17 | x = 17 |
Bu tablo, her adımın ne amaçla yapıldığını ve hangi sayısal sonuca ulaşıldığını önümüze serer.
9. Ek Açıklamalar ve Alternatif Yaklaşımlar
-
Kenar Uzunlukları ve Pisagor Yaklaşımı: Eğer problemde dikdörtgenin kenar uzunlukları veya E noktasının kenarlara uzaklığı verilseydi, trigonometrik fonksiyonlarla da (sinüs, kosinüs vb.) çözüme gidilebilirdi. Ancak bu soruda gereken tek şey açısal bilgiler olduğu için temel açı kavramları yeterli olmuştur.
-
Dördergenlerde Çevrel Çember Yaklaşımı: Bazı sorularda E noktası öyle bir konumda bulunur ki B, E, C, D noktaları çembersel olabilir. O durumda “karşıt açılar toplamı 180°” kuralı kullanılır. Ancak burada dikdörtgenin köşe açılarından ve açıortaydan yararlanmak çok daha doğrudan bir yöntemdir.
-
Açıortay Teoremi: Üçgenlerde açıortay teoremi, kenarları orantılayarak da bir sonuca götürebilir. Ama bu problemde daha basit bir yaklaşım (dikdörtgenin köşelerinin 90° olması) yeterli olmuştur.
10. Sonuç ve Özet
Yukarıdaki adımlar izlendiğinde anahtar noktalar şunlardır:
- B noktasındaki 90°’lik açının [EB] ile ikiye bölündüğü bilgisi ⇒ ∠EBC = 45°
- C noktasındaki 90°’lik açının bir kısmının 50° olduğu bilgisi ⇒ ∠BCE = 40°
- Üçgen BEC’in iç açılar toplamı 180° kuralına göre (5x + 10°) + 45° + 40° = 180° denklemi yazılır.
- Bu denklem çözüldüğünde x = 17° bulunur.
Dolayısıyla sorunun cevabı: x = 17°’dir.