Sorunun çözümü:
Şekilde verilen ABCD dikdörtgeni üzerinde açıları inceleyelim. Buna göre verilenler şunlardır:
- ∠BEC = 5x + 10°
- ∠ECD = 50°
- [EB] köşegen olarak verilmiş.
Bizden istenen ise x’in kaç derece olduğu.
Dikdörtgenin köşegen özelliklerini ve açı kurallarını kullanarak çözüme geçelim.
Adım 1: Köşegen etkisi ve genel açı bağıntıları
- ABCD dikdörtgen olarak tanımlandığı için her iki köşegen birbirine eşittir ve köşegenler dikdörtgenin açılarını iki eşit parçaya böler.
- [EB] köşegeni, açıyı iki ayrı parça olarak böldüğüne göre açıların toplamını dikkate alacağız:
Önemli bilgi:
Bir dikdörtgenin herhangi bir köşe açısının toplamı her zaman 90°’dir. Burada,
eşitliği sağlanmalıdır.
Adım 2: Açı değerlerini yerleştirme
Eşitliği kurarak yerine yazalım:
Bu denklemi çözersek:
Buradan:
Son olarak, her iki tarafı 5’e bölerek x değerini bulalım:
Sonuç
Bu durumda x değeri 6°’dir.
Özet Tablo
| Verilen Bilgiler | Çözüm Adımları | Sonuç |
|---|---|---|
| ∠BEC = 5x + 10° | Toplam açı: ∠BEC + ∠ECD = 90° | x = 6° |
| ∠ECD = 50° | Denklem: (5x + 10) + 50 = 90 |
Cevap: x = 6°
Şekildeki ABCD dikdörtgeninde, s(BEC)=5x+10°, s(ECD)=50° ve [EB] açıortaydır. x kaç derecedir?
Cevap:
İçindekiler
- Problemin Genel Tanıtımı
- Temel Geometri Kavramları
- Adım Adım Çözüm Stratejisi
- Üçgende Açıların Toplamı İlkesi
- Rektangelde Köşe Açılarının Kullanımı
- Açıortay Bilgisinin Uygulanması
- Adım Adım Hesaplamalar
- Örnek Tablo ile Adımların Özeti
- Ek Açıklamalar ve Alternatif Yaklaşımlar
- Sonuç ve Özet
1. Problemin Genel Tanıtımı
Bu soruda elimizde bir ABCD dikdörtgeni var. Noktalar şu şekilde sıralanmıştır:
- A, B, C, D dikdörtgenin köşeleri.
- ABCD dikdörtgeninin iç kısmında veya kenarlarına komşu olacak biçimde konumlanan bir E noktası.
Verilen bilgiler:
- ∠BEC = 5x + 10°
- ∠ECD = 50°
- [EB] doğru parçasının B köşesindeki açıyı ikiye böldüğü (açıortay olduğu) ifade edilmiş.
- Bizden istenen: x açısının kaç derece olduğunu bulmak.
2. Temel Geometri Kavramları
- Dikdörtgen (Rectangle): Tüm iç açıları 90° olan dörtgen. Dolayısıyla AB ∥ CD ve BC ∥ AD, ayrıca her köşe açısı 90°’dir.
- Açıortay (Angle Bisector): Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışın ya da doğru parçası. Bu problemde [EB], B köşesindeki 90°’lik açıyı ikiye böler.
- Üçgenlerde Açıların Toplamı: Her üçgende iç açıların toplamı 180°’dir.
- Komşu Açılar: Dikdörtgende iki kenarın kesiştiği köşede 90° oluşur. Bir noktaya gelen iki ışının arasında kalan açılar toplamı o köşenin ölçüsünü verir.
3. Adım Adım Çözüm Stratejisi
- Dikdörtgenin köşesi B’nin 90° olduğunu ve [EB]’nin bu 90°’yi ikiye böldüğünü fark etmek.
- Dolayısıyla B köşesindeki açı, ikiye bölündüğünde ayrı ayrı 45° olur. Soruda hangi açıların hangisine eşit olduğu bu bilgiyle ilişkilendirilecektir.
- C köşesinin de 90° olduğunu hatırlamak; bu köşedeki ∠ECD = 50° ise, E noktasıyla ilgili diğer açının (yani ∠BCE’nin) 40° olabileceğini anlamak (çünkü 50° + 40° = 90°).
- E noktası etrafında oluşan üçgende (BEC) açıları toplayarak ∠BEC + ∠EBC + ∠BCE = 180° ilkesini kullanmak.
- Bulduğumuz açılar yardımıyla 5x + 10°’yi 180°’lik açı toplamı denklemine yerleştirip x’i çözmek.
4. Üçgende Açıların Toplamı İlkesi
Bir üçgende A, B ve C iç açıları olmak üzere:
Bu problemde, “üçgen” olarak BEC üçgenini göz önünde bulunduruyoruz. Açılarımız:
- ∠BEC (verilen: 5x + 10°)
- ∠EBC (B köşesinin açıortayı ile geleceği değer)
- ∠BCE (C köşesinin 90°’lik açısına bağlı parça)
5. Rektangelde Köşe Açılarının Kullanımı
Bir dikdörtgende:
- A köşesi = 90°
- B köşesi = 90°
- C köşesi = 90°
- D köşesi = 90°
Bu problemde özellikle B ve C köşeleri önemlidir:
- B köşesi: [EB] açıortay olduğundan, B köşesindeki 90° → 45° + 45° şeklinde iki eşit parçaya ayrılır. E noktasının bulunduğu konuma göre muhtemeldir ki ∠EBC = 45° ya da ∠ABE = 45°; soru figürüne bakıldığında genelde EBC açısı 45° olarak kullanılır.
- C köşesi: ∠BCD = 90° iken ∠ECD = 50° verildiğinden, geri kalan ∠BCE = 40° oluyor (çünkü 50° + 40° = 90°).
6. Açıortay Bilgisinin Uygulanması
Soruda “[EB] açıortaydır” ifadesi, B köşesinde 90°’lik açıyı E doğrultusunda bölüyor demektir. Genellikle şu şekilde özetlenir:
- Dikdörtgendeki B açısı = 90°
- Açıortay → 90° / 2 = 45°
Dolayısıyla E noktasını içeren taraftaki açı “45°” olarak tanımlanır.
7. Adım Adım Hesaplamalar
-
C köşesi analizi
- Dikdörtgenin C köşesi: 90°
- Verilen: ∠ECD = 50°
- Dolayısıyla aynı köşedeki diğer açı ∠BCE = 90° - 50° = 40°
-
B köşesi analizi
- Dikdörtgenin B köşesi: 90°
- [EB] açıortay olduğuna göre: ∠EBC = 45° (E noktasına bakan kısım)
-
BEC üçgeninin açıları
Üçgen BEC’te şu üç açı vardır:- ∠BEC = 5x + 10° (soruda verilen)
- ∠EBC = 45° (açıortay sayesinde)
- ∠BCE = 40° (C köşesinden gelen)
-
Açıların toplamı
$$\angle BEC + \angle EBC + \angle BCE = 180^\circ$$
Değerleri yerine koyunca:
$$(5x + 10^\circ) + 45^\circ + 40^\circ = 180^\circ$$ -
Denklemin çözümlenmesi
- Sol taraf: 5x + 10 + 45 + 40 = 5x + 95
- Sağ taraf: 180
- Eşitlik: 5x + 95 = 180
-
x değerine ulaşma
5x = 180 - 95 \\ 5x = 85 \\ x = \frac{85}{5} = 17
8. Örnek Tablo ile Adımların Özeti
| Adım | İşlem Açıklaması | Sonuç/Hesaplama |
|---|---|---|
| 1. C köşesindeki açılar | ∠ECD = 50°, C toplam 90° olduğundan ∠BCE = 40° | BCE = 40° |
| 2. B köşesinin açıortayı | 90° dik açı / 2 = 45° | EBC = 45° |
| 3. Üçgen BEC açı toplamı | (5x + 10°) + 45° + 40° = 180° | 5x + 95 = 180 |
| 4. Denklemin çözümü | 5x = 85 → x = 17 | x = 17 |
Bu tablo, her adımın ne amaçla yapıldığını ve hangi sayısal sonuca ulaşıldığını önümüze serer.
9. Ek Açıklamalar ve Alternatif Yaklaşımlar
-
Kenar Uzunlukları ve Pisagor Yaklaşımı: Eğer problemde dikdörtgenin kenar uzunlukları veya E noktasının kenarlara uzaklığı verilseydi, trigonometrik fonksiyonlarla da (sinüs, kosinüs vb.) çözüme gidilebilirdi. Ancak bu soruda gereken tek şey açısal bilgiler olduğu için temel açı kavramları yeterli olmuştur.
-
Dördergenlerde Çevrel Çember Yaklaşımı: Bazı sorularda E noktası öyle bir konumda bulunur ki B, E, C, D noktaları çembersel olabilir. O durumda “karşıt açılar toplamı 180°” kuralı kullanılır. Ancak burada dikdörtgenin köşe açılarından ve açıortaydan yararlanmak çok daha doğrudan bir yöntemdir.
-
Açıortay Teoremi: Üçgenlerde açıortay teoremi, kenarları orantılayarak da bir sonuca götürebilir. Ama bu problemde daha basit bir yaklaşım (dikdörtgenin köşelerinin 90° olması) yeterli olmuştur.
10. Sonuç ve Özet
Yukarıdaki adımlar izlendiğinde anahtar noktalar şunlardır:
- B noktasındaki 90°’lik açının [EB] ile ikiye bölündüğü bilgisi ⇒ ∠EBC = 45°
- C noktasındaki 90°’lik açının bir kısmının 50° olduğu bilgisi ⇒ ∠BCE = 40°
- Üçgen BEC’in iç açılar toplamı 180° kuralına göre (5x + 10°) + 45° + 40° = 180° denklemi yazılır.
- Bu denklem çözüldüğünde x = 17° bulunur.
Dolayısıyla sorunun cevabı: x = 17°’dir.
Şekildeki ABCD dikdörtgende, verilenlere göre s(BEC) = 5x + 10° ve s(ECD) = 50° olup [EB] bir açıortaydır. Bu bilgileri kullanarak x değerini adım adım bulabiliriz.
Table of Contents
- Problemdeki Elemanların Tanıtılması
- Geometrik İlişkiler ve Dikdörtgen Özellikleri
- Açıları Birleştiren Açılar ve Üçgen İlişkileri
- Adım Adım Çözüm
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Değerlendirme
1. Problemdeki Elemanların Tanıtılması
- ABCD, bir dikdörtgendir; dolayısıyla tüm iç açılar 90°’dir.
- E noktası, şekildeki gibi iç kısımda (genelde BD köşegeni ya da benzer bir doğru üzerinde) konumlanmıştır.
- s(BEC) = 5x + 10° ve s(ECD) = 50° olmak üzere iki açı verilmiştir.
- [EB] “açıortay” ifadesi, genellikle bir köşedeki açıyı veya şekil içindeki belirli bir açıyı iki eş parçaya böldüğünü gösterir. (Soruda, E’nin konumuna göre EB’nin hangi açıyı bölmekte olduğu geometrik kurguda netleşir.)
2. Geometrik İlişkiler ve Dikdörtgen Özellikleri
- Dikdörtgenin kenarları birbirine diktir: AB ⟂ BC, BC ⟂ CD, vb.
- Dikdörtgende aynı zamanda köşeler 90° olduğu için, içte oluşan üçgen veya dörtgenlerde 90°’lik açılardan faydalanılarak ek açı ilişkileri bulunabilir.
- Açıortay ([EB] gibi) var ise, genellikle orada bir orantı veya ek açı bağıntısı devreye girer.
3. Açıları Birleştiren Açılar ve Üçgen İlişkileri
Şekil üzerinde sık rastlanan durum şudur: Eğer E, BD köşegeni veya DC kenarı üzerinde ise,
- s(BEC) + s(ECD) + (dikdörtgenin bir köşesinden gelen 90°) = 180° gibi üçgen tamamlama ilişkileri (veya doğrultu açısı 180° olduğu için eklemeler) söz konusu olabilir.
4. Adım Adım Çözüm
Aşağıdaki çözüm, sık karşılaşılan geometrik kurgulardan biri olan “angle-chasing” (açı takibi) yaklaşımını izler. En yaygın senaryolardan biri, s(BEC) ve s(ECD) toplamının dik açıyla (90°) birlikte 180° etmesi veya benzeri bir üçgen/dörtgen bütünlüğü sağlamasıdır:
-
Açıların olası toplamı:
Genellikle şu tür bir ilişki elde edilir:
$$(5x + 10^\circ) + 50^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$
Çünkü dikdörtgenin bir köşesi (90°) ile bu iki açının toplamı (BEC ve ECD) bir üçgenin veya uygun bir düzlemin 180°’lik açısını tamamlayabilir. -
Denklemi Kurma:
(5x + 10) + 50 + 90 = 180Toplarsak:
5x + 10 + 50 + 90 = 1805x + 150 = 180 -
x Değerini Bulma:
5x = 180 - 150 = 30 \\ x = \frac{30}{5} = 6
Bu şekilde, x = 6° bulunur.
5. Özet Tablo
| Verilenler | İşlem veya Sonuç |
|---|---|
| s(BEC) = 5x + 10°, s(ECD) = 50°, [EB] açıortayı | Köşe/üçgen açıları üzerinden 180° tamamlanır |
| Dikdörtgen ABCD’nin köşesi 90° (ör. C veya B köşesi) | 90° + (5x+10)° + 50° = 180° |
| Denklemin çözülmesi | x = 6 |
6. Sonuç ve Kısa Değerlendirme
Yukarıdaki tipik çözüm akışıyla x = 6° bulunur. Bu tür sorularda dikdörtgenin (veya kare, paralelkenar vb.) 90°’lik köşelerini, içteki diğer açıların toplamıyla 180° yapan bir üçgen ya da düzgün açılar grubu oluşturmak en yaygın stratejidir. Açıortay bilgisi de (genellikle) bu toplamların doğrulanmasında veya farklı bir üçgende ek orantı sağlamada kullanılır.
Cevap:
x = 6