Problem: Dikdörtgen Havuzun Çevre Tel Örgü Maliyeti
Sorunun Özeti:
Alanı 42 m² olan dikdörtgen şeklindeki bir havuzun çevresine 3 sıra tel örgü çekilecektir. Tel örgünün metresi 60 TL olup, havuzun kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayılardır. Seçeneklerde verilen fiyatlardan hangisi tel örgü maliyeti olamaz?
1. Dikdörtgen Şeklin Alan ve Çevre Özellikleri
- Dikdörtgenin alanı, uzun kenar ile kısa kenarın çarpımıdır:\text{Alan} = a \times b = 42 \, m^2
- Dikdörtgenin çevresi, iki uzun kenar ile iki kısa kenarın toplamıdır:\text{Çevre} = 2(a + b)
- 3 sıra tel örgü için gerekli tel uzunluğu:\text{Toplam tel uzunluğu} = 3 \times \text{Çevre}
- Maliyet hesabı:\text{Maliyet} = (\text{Toplam tel uzunluğu}) \times (\text{Tel birim fiyatı})\text{Maliyet} = \text{(Çevre)} \times 3 \times 60
2. Kenar Uzunluklarının Doğal Sayı Olması
Alanı 42 m² olan dikdörtgenin kenar uzunlukları (a ve b) doğal sayı olmalıdır. Doğal sayılarda, 42’yi çarpanlarına ayırarak olası kenar uzunluğu çiftlerini bulabiliriz:
- Kenar uzunlukları (olası a ve b):1 \times 42, \, 2 \times 21, \, 3 \times 14, \, 6 \times 7
3. Çevre Hesapları
Her bir kenar uzunluk çifti için çevreyi hesaplıyoruz:
| a | b | Çevre (m) |
|---|---|---|
| 1 | 42 | 86 |
| 2 | 21 | 46 |
| 3 | 14 | 34 |
| 6 | 7 | 26 |
4. Toplam Tel Uzunluğu ve Maliyet Hesabı
Tel maliyetini bulmak için çevreyi 3 ile çarpıp metre fiyatı olan 60 TL ile çarparız:
| Çevre (m) | Tel Uzunluğu (m) | Maliyet (TL) |
|---|---|---|
| 86 | 258 | 15,480 |
| 46 | 138 | 8,280 |
| 34 | 102 | 6,120 |
| 26 | 78 | 4,680 |
5. Seçenek Analizi
Verilen seçenekler:
- A) 8280
- B) 7460
- C) 6120
- D) 4680
Hesaplamalarımıza göre 7460 TL olamaz, çünkü bu değer hiçbir çevre için hesaplanan maliyetle uyuşmamaktadır.
Sonuç:
Cevap: B) 7460 TL
Bu fiyat, havuzun boyutları ve maliyet hesabına göre imkânsızdır.
Havuzun kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayı olduğuna göre, seçeneklerde verilen sayılardan hangisi havuzun etrafına çekilmek istenen tel örgünün maliyet fiyatı olamaz?
Cevap: 7460 TL (B Şıkkı)
Açıklama:
-
Dikdörtgen şeklindeki havuzun alanı 42 m² olduğundan, uzun kenar (L) ve kısa kenar (W) uzunluklarının (doğal sayı) çarpımı 42’e eşittir:
L \times W = 42 -
Kenar uzunlukları (L, W) doğal sayı olan (L, W) çiftleri şunlardır:
- (1, 42)
- (2, 21)
- (3, 14)
- (6, 7)
(Simetrik durumlar (42,1), (21,2), vb. de aynı çevreyi verir.)
-
Havuzun etrafına 3 sıra tel örgü çekileceği için gereken toplam tel uzunluğu:
3 \times \text{(çevre)} = 3 \times 2(L + W) = 6(L + W) -
Tel örgünün metre fiyatı 60 TL olduğundan, toplam maliyet:
\text{Toplam Maliyet} = 60 \times [6(L + W)] = 360 \times (L + W) -
Şimdi her bir (L, W) çifti için (L + W) değerlerinin 360 ile çarpımına bakalım:
• (1, 42) → L + W = 43 → maliyet = 360 \times 43 = 15480 \, \text{TL}
• (2, 21) → L + W = 23 → maliyet = 360 \times 23 = 8280 \, \text{TL}
• (3, 14) → L + W = 17 → maliyet = 360 \times 17 = 6120 \, \text{TL}
• (6, 7) → L + W = 13 → maliyet = 360 \times 13 = 4680 \, \text{TL} -
Seçeneklere baktığımızda:
- 8280 TL (2, 21) için mümkün.
- 6120 TL (3, 14) için mümkün.
- 4680 TL (6, 7) için mümkün.
- 7460 TL ise bulunamadı. Çünkü 7460 \div 360 = 20.72… bir tam sayı değildir, dolayısıyla (L + W) değeri doğal sayı olacak şekilde 42 m² alanı sağlayan bir dikdörtgen için bu maliyet oluşamaz.
Bu nedenle 7460 TL (B şıkkı), havuzun kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda ortaya çıkabilecek bir maliyet değildir.
Havuzun Kenar Uzunlukları Metre Cinsinden Doğal Sayı Olduğuna Göre, Seçeneklerde Verilen Sayılardan Hangisi Havuzun Etrafına Çekilmek İstenen Tel Örgünün Maliyet Fiyatı Olamaz?
Cevap: Bu soruda, alanı 42 m² olan dikdörtgen şeklindeki bir havuzun etrafına 3 sıra tel örgü çekilmek isteniyor ve tel örgünün metresi 60 TL olarak verilmiştir. Havuzun kenar uzunluklarının tamamı doğal sayı (1, 2, 3, …) olmak zorundadır. Elde edilebilecek tüm farklı uzunluk ve genişlik değerlerini bularak bu değerlere karşılık gelen toplam tel örgü maliyetini hesapladığımızda, bazı maliyetlerin mümkün olduğu, bazılarının ise mümkün olmadığı ortaya çıkacaktır.
Aşağıdaki ayrıntılı çözüm ve tablolar yardımıyla hangi seçeneğin (A, B, C veya D) bu maliyet değerlerinin dışında kaldığını göstereceğiz.
İçindekiler (Table of Contents)
- Sorunun Tanımı ve Verilen Bilgiler
- Dikdörtgenin Kenar Uzunlukları ve Olası Boyutların Belirlenmesi
- Dikdörtgenin Çevresi ve Tel Örgü Maliyet Formülü
- Adım Adım Hesaplamalar
- Mümkün Olan ve Olamayan Maliyetlerin Karşılaştırılması
- Özet Tablo
- Sonuç ve Genel Değerlendirme
1. Sorunun Tanımı ve Verilen Bilgiler
• Havuzun alanı: 42 m²
• Havuz dikdörtgen şeklindedir; kenarları metre cinsinden doğal sayılar (yani tam sayılardan oluşmalı, negatif veya ondalıklı olmamalı).
• Havuzun etrafına 3 sıra tel örgü çekilecektir.
• Tel örgünün 1 metre fiyatı = 60 TL.
• Seçeneklerde verilen bazı maliyet değerleri vardır: A) 8280, B) 7460, C) 6120, D) 4680.
• Soru, bu değerlerden hangisinin imkânsız (olamaz) olduğunu sormaktadır.
Bu bilgiler ışığında, önce dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarını bulacağız. Sonra havuzun toplam çevresini ve 3 sıra çekilecek tel örgünün maliyetini hesaplayacağız.
2. Dikdörtgenin Kenar Uzunlukları ve Olası Boyutların Belirlenmesi
Bir dikdörtgenin alanı,
şeklindedir. Burada alanın 42 m² olduğu verilmiştir. Ayrıca kenarların doğal sayı olması gerekmektedir.
2.1. “42” Sayısının Doğal Sayı Çarpanları
42’yi oluşturan tüm pozitif tam sayı çarpan çiftlerini bulalım:
- (1, 42)
- (2, 21)
- (3, 14)
- (6, 7)
Bu 4 çiftin haricinde 42’yi tam bölen başka doğal sayılar yoktur. Dolayısıyla havuzun uzun kenarı (L) ile kısa kenarı (W) bu dörtlüden biri olmak durumundadır. (Örneğin (1, 42) veya (42, 1), geometri açısından fark etmez ama konvansiyon gereği uzun kenarı büyük olandan küçük olana doğru sıralayabiliriz.)
3. Dikdörtgenin Çevresi ve Tel Örgü Maliyet Formülü
Bir dikdörtgenin çevresi:
şeklindedir.
Tel örgü 3 sıra çekileceği için,
• Toplam tel örgü uzunluğu = 3 × (Dikdörtgenin Çevresi).
Tel örgünün 1 metresi 60 TL ise,
• Toplam Maliyet = (Toplam tel örgü uzunluğu) × (Birim fiyat)
• Toplam Maliyet = [3 × 2 × (L + W)] × 60
• Toplam Maliyet = 6 × (L + W) × 60
• Toplam Maliyet = 360 × (L + W)
Yani, hangi boyut çifti geçerli ise, kenarların toplamı (L + W) ile 360’ı çarparak 3 sıra telin toplam maliyetini elde etmiş oluruz.
4. Adım Adım Hesaplamalar
Şimdi tek tek her olası (L, W) çiftini ele alarak (L + W) değerini, ardından 360 × (L + W) formülüyle tel örgü maliyetini bulalım.
4.1. (1, 42) Boyutu
- Kısa Kenar = 1 m
- Uzun Kenar = 42 m
- L + W = 1 + 42 = 43
- Maliyet = 360 × 43 = 15.480 TL
4.2. (2, 21) Boyutu
- Kısa Kenar = 2 m
- Uzun Kenar = 21 m
- L + W = 2 + 21 = 23
- Maliyet = 360 × 23 = 8.280 TL
4.3. (3, 14) Boyutu
- Kısa Kenar = 3 m
- Uzun Kenar = 14 m
- L + W = 3 + 14 = 17
- Maliyet = 360 × 17 = 6.120 TL
4.4. (6, 7) Boyutu
- Kısa Kenar = 6 m
- Uzun Kenar = 7 m
- L + W = 6 + 7 = 13
- Maliyet = 360 × 13 = 4.680 TL
Bu dört boyut kombinasyonu, 42 m² bir havuzun (dikdörtgen şeklinde ve kenarları doğal sayılar olan) tek gerçekçi seçenekleridir.
5. Mümkün Olan ve Olamayan Maliyetlerin Karşılaştırılması
Yukarıdaki dört ihtimalden çıkan Toplam Maliyet değerleri şunlardır:
- (1, 42) => 15.480 TL
- (2, 21) => 8.280 TL
- (3, 14) => 6.120 TL
- (6, 7) => 4.680 TL
Seçeneklerde ise şu değerler verilmiştir:
- A) 8280
- B) 7460
- C) 6120
- D) 4680
Hesapladığımız olası maliyet değerleri içinden 15.480 TL seçenekte bulunmuyor ancak soruda sadece dört seçenek yer almaktadır. Verilen seçenekler arasından bakacak olursak:
- 8280 → Listemizde (2,21) üzerinden hesaplanınca var.
- 6120 → Listemizde (3,14) üzerinden hesaplanınca var.
- 4680 → Listemizde (6,7) üzerinden hesaplanınca var.
- 7460 → Hesapladığımız değerlere göre yok.
Dolayısıyla 7460 TL hiçbir şekilde 360 × (L + W) formunda karşımıza çıkamamaktadır. Hem (L + W) ‘nin doğal sayı olması hem de (L×W = 42) koşulu sağlandığında ulaşamadığımız tek rakam budur.
6. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda olası kenar uzunlukları, kenarların toplamı ve nihai maliyetler özetlenmiştir:
| Kısa Kenar (W) | Uzun Kenar (L) | L×W (m²) | L+W (m) | Toplam Perimetre | 3 Sıra Toplam Uzunluk | Maliyet (TL) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 42 | 42 | 43 | 2×43 = 86 m | 3×86 = 258 m | 258 × 60 = 15480 |
| 2 | 21 | 42 | 23 | 2×23 = 46 m | 3×46 = 138 m | 138 × 60 = 8280 |
| 3 | 14 | 42 | 17 | 2×17 = 34 m | 3×34 = 102 m | 102 × 60 = 6120 |
| 6 | 7 | 42 | 13 | 2×13 = 26 m | 3×26 = 78 m | 78 × 60 = 4680 |
Seçeneklerde Verilen Maliyetler:
- A) 8280 (Tablodaki 2×21 boyutta elde edilebilen maliyet)
- B) 7460 (Tabloda bulunmuyor, dolayısıyla OLAMAZ)
- C) 6120 (Tablodaki 3×14 boyutta elde edilebilen maliyet)
- D) 4680 (Tablodaki 6×7 boyutta elde edilebilen maliyet)
7. Sonuç ve Genel Değerlendirme
Havuzun kenar uzunluklarının metre cinsinden doğal sayı olması ve alanının 42 m² olması koşuluyla hesaplanan 3 sıra tel örgünün toplam maliyeti, (6 + 7), (3 + 14), (2 + 21) veya (1 + 42) boyut seçeneklerinin gerektirdiği çevreye göre 4.680 TL, 6.120 TL, 8.280 TL veya 15.480 TL olabilir. Seçeneklerde 15.480 TL yer almasa da, A, C ve D seçenekleri doğrudan bu maliyetlerden biriyle eşleşir. 7460 TL ise hiçbir ihtimalde ortaya çıkmamaktadır.
Dolayısıyla doğru cevap, hiçbir şekilde elde edilemeyecek olan 7460 TL seçeneğidir.
Kısa Özet
• Havuzun alanı 42 m² ve kenarları doğal sayılar olduğundan, havuzun boyutları (1,42), (2,21), (3,14) veya (6,7) olabilir.
• Tel örgünün 1 metresi 60 TL, 3 sıra çekilmesi gerektiğinden toplam uzunluk: 3 × 2 × (L+W).
• Toplam maliyet formülü 360 × (L+W)’dur.
• Bu dört çift için sırasıyla çıkan maliyetler 15.480 TL, 8.280 TL, 6.120 TL, 4.680 TL’dir.
• Seçeneklerde verilen 8280, 6120 ve 4680 bu hesaplarla elde edilebilirken; 7460 TL elde edilemez.
@anonymous13