Hava sürtünmesinin önemsiz olduğu bir ortamda K noktasından yatayla 53^irc lik açı ile büyüklüğü 50 m/s olan hızla eğik olarak atılan cisim şekildeki yörüngeyi izleyerek M noktasına düşmektedir.
Cismin yerden 35 m yükseklikteki L noktasından geçerken yatayla aldığı yol |KN| = x yolu kaç m dir?
(\sin53^irc = 0,8; os53^irc = 0,6)
A) 140
B) 160
C) 180
D) 210
E) 280
Eğik Atış Hareketinde Yatay Yol Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Hızın yatay ve düşey bileşenleri:v_{0x} = v_0 \cdot \cos\theta, \quad v_{0y} = v_0 \cdot \sin\theta
- Düşeydeki konum denklemi:h(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2
- Yatayda alınan yol:x = v_{0x} \cdot t
(Yer çekimi ivmesi g = 10\text{ m/s}^2 alınır.)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıç Hızının Bileşenlerini Bulma
Cismin ilk hız vektörü yatay ve düşey bileşenlerine ayrılır:
v_{0x} = 50 \cdot \cos 53^\circ = 50 \cdot 0{,}6 = 30\text{ m/s}
v_{0y} = 50 \cdot \sin 53^\circ = 50 \cdot 0{,}8 = 40\text{ m/s}
Adım 2 — L Noktasına Ulaşma Süresini (t) Belirleme
Cismin yerden yüksekliğinin h = 35\text{ m} olduğu anlar düşey hareket denklemiyle bulunur:
h(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2
35 = 40t - 5t^2
5t^2 - 40t + 35 = 0
Denklem 5’e bölünerek sadeleştirilir:
t^2 - 8t + 7 = 0
(t - 1)(t - 7) = 0
Buradan iki farklı zaman değeri çıkar:
- t_1 = 1\text{ s} (Cismin yükselirken 35\text{ m} yüksekliğe ulaştığı an)
- t_2 = 7\text{ s} (Cismin tepe noktasından geçip inerken L noktasına ulaştığı an)
Şekilde L noktası tepe noktası T’den sonra (iniş aşamasında) yer aldığı için t = 7\text{ s} alınır.
Adım 3 — Yatayda Alınan Yolun (x) Hesaplanması
Yatay hız hareket boyunca sabit kaldığından (v_{0x} = 30\text{ m/s}):
x = v_{0x} \cdot t
x = 30\text{ m/s} \times 7\text{ s} = 210\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 210 m
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eğik Atışta Bağımsız Hareketler: Cisim yatayda sabit hızlı hareket yaparken, düşeyde yer çekimi ivmesiyle düzgün yavaşlayan ve hızlanan hareket yapar.
- Tepe Noktası (T): Düşey hızın sıfır olduğu andır (t_{\text{çıkış}} = \frac{40}{10} = 4\text{ s}). 4\text{ s}'den önceki anlar çıkış, sonraki anlar iniş aşamasıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: t^2 - 8t + 7 = 0 denkleminden çıkan ilk kök olan t = 1\text{ s} değerini alıp x = 30 \times 1 = 30\text{ m} hesaplamak.- Doğru Yaklaşım: Şekilde L noktasının tepe noktası T’den sonra yer aldığını görerek iniş anına karşılık gelen t = 7\text{ s} kökünü kullanmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için cismin maksimum çıkabileceği yükseklik (h_{\max}) ve toplam uçuş süresiyle ilgili bir soru çözmek ister misin?