Hava sürtünmelerinin önemsenmediği ortamda yerden V_{0} hızıyla düşey yukarı doğru atılan cismin 4. saniyedeki ve 6. saniyedeki hız büyüklükleri aynı oluyor.
Buna göre cismin maksimum yüksekliği kaç m olur?
(g = 10 m/s^2)
A) 25
B) 50
C) 100
D) 125
E) 250
Düşey Atış Hareketinde Maksimum Yükseklik Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Hız bağıntısı: v(t) = V_0 - g \cdot t
- Hareketin tepe noktasına (maksimum yüksekliğe) göre simetrisi: t_{\text{çıkış}} = \frac{t_1 + t_2}{2}
- Maksimum yükseklik bağıntısı: h_{\max} = \frac{1}{2} g t_{\text{çıkış}}^2 = \frac{V_0^2}{2g}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tepe Noktasına Ulaşma Süresini (t_{\text{çıkış}}) Belirleme
Hava sürtünmesi önemsiz olduğunda düşey atış hareketi, tepe noktasına göre tamamen simetriktir. Cismin t = 4\text{ s} ve t = 6\text{ s} anlarındaki süratleri (hız büyüklükleri) eşit olduğuna göre, bu anlardan birinde cisim yukarı doğru çıkmakta, diğerinde ise aşağı doğru inmektedir. Dolayısıyla tepe noktasına varış süresi bu iki zaman değerinin tam ortasıdır:
t_{\text{çıkış}} = \frac{4 + 6}{2} = 5\text{ s}
(Alternatif olarak hız eşitliğinden: |v(4)| = |v(6)| \implies V_0 - 10 \cdot 4 = -(V_0 - 10 \cdot 6) \implies 2V_0 = 100 \implies V_0 = 50\text{ m/s} ve t_{\text{çıkış}} = \frac{V_0}{g} = \frac{50}{10} = 5\text{ s} bulunur.)
Adım 2 — Maksimum Yüksekliği (h_{\max}) Hesaplama
Tepe noktasından serbest düşme mantığıyla ya da atış formülüyle cismin çıkabileceği maksimum yükseklik hesaplanır:
h_{\max} = \frac{1}{2} g t_{\text{çıkış}}^2
h_{\max} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı — 125\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Hareketin Simetrisi: Yerçekimi ivmesinin sabit olduğu sürtünmesiz ortamda, aynı yatay hizadan geçerken cismin çıkış ve iniş hızlarının büyüklükleri birbirine eşittir.
- Maksimum Yükseklik (h_{\max}): Düşey hızın anlık olarak sıfır olduğu (v = 0) andaki yerden yüksekliktir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 4. ve 6. saniyeleri ayrı ayrı tepe noktası kabul edip h = \frac{1}{2}gt^2 bağıntısında t = 4\text{ s} veya t = 6\text{ s} yazmak.- Doğru Yaklaşım: Hız büyüklüklerinin eşit olduğu zamanların ortalamasının tepe noktasına (çıkış süresine) karşılık geldiğini görmek (t_{\text{çıkış}} = 5\text{ s}).
Benzer bir serbest düşme veya düşey atış sorusuyla pratik yapmaya devam etmek ister misin?