Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda 400 gram kütleli bir cisim 50 m/s büyüklüğünde hızla yukarı yönlü eğik olarak şekildeki gibi fırlatılıyor.
Buna göre cisim atıldıktan 7 saniye sonra çizgisel momentumun büyüklüğü kaç kgdot m/s olur?
(\sin53^irc = 0,8 ; os53^irc = 0,6 ; g = 10 m/s^{2} alınız.)
Eğik Atılan Cismin 7 Saniye Sonraki Çizgisel Momentum Değişimi
KULLANILAN FORMÜLLER:
-
İtme ve Çizgisel Momentum Değişimi İlişkisi:
\vec{I} = \Delta\vec{P} = \vec{F}_{\text{net}} \cdot \Delta t -
Cisme Etki Eden Net Kuvvet (Ağırlık):
F_{\text{net}} = G = m \cdot g -
Momentum Değişimi:
\Delta\vec{P} = m \cdot \Delta\vec{v}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kütle Birimini SI Sistemine Dönüştürme
Soruda verilen kütle gram cinsindendir, kilograma çevrilmelidir:
m = 400\text{ g} = \frac{400}{1000}\text{ kg} = 0,4\text{ kg}
Adım 2 — Cisme Hareket Boyunca Etki Eden Net Kuvveti Bulma
Hava direnci ihmal edildiği için uçuş süresince cisme etki eden tek kuvvet yer çekimi kuvvetidir (ağırlık):
F_{\text{net}} = m \cdot g = 0,4\text{ kg} \times 10\text{ m/s}^2 = 4\text{ N} \quad (\text{Aşağı yönlü})
Adım 3 — Uçuş Süresini Kontrol Etme
Cismin düşey ilk hız bileşeni:
v_{0y} = v_0 \cdot \sin 53^\circ = 50 \times 0,8 = 40\text{ m/s}
Tepe noktasına çıkış süresi:
t_{\text{çıkış}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{40}{10} = 4\text{ s}
Toplam uçuş süresi t_{\text{uçuş}} = 2 \times 4 = 8\text{ saniye} olduğundan, t = 7\text{ s} anında cisim henüz yere çarpmamış ve havadadır.
Adım 4 — İtme (Momentum Değişimi) Hesabı
Bir cisme etki eden itme, cismin momentum değişimine eşittir:
\Delta P = I = F_{\text{net}} \cdot \Delta t
\Delta P = 4\text{ N} \times 7\text{ s} = 28\text{ kg}\cdot\text{m/s}
(Alternatif olarak Hız Değişiminden: \Delta v_y = -g \cdot t = -10 \times 7 = -70\text{ m/s} \implies \Delta P = 0,4 \times 70 = 28\text{ kg}\cdot\text{m/s})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 28\text{ kg}\cdot\text{m/s} (Düşey doğrultuda ve aşağı yönlüdür)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İtme - Momentum Teoremi
- Tanım: Bir cisme uygulanan net kuvvetin uygulama süresiyle çarpımı (itme), cismin çizgisel momentumundaki değişime eşittir.
- Bu problemde: Cismin yatay hızına kuvvet etki etmediği için yatay momentum değişmez (\Delta P_x = 0), momentum değişimi yalnızca yerçekimi kuvvetinin uyguladığı itmeden kaynaklanır.
2. Ağırlık Kuvveti ve İtme
- Tanım: Atış hareketlerinde hava direnci yoksa net kuvvet daima cismin ağırlığıdır (G = m \cdot g).
- Bu problemde: Net kuvvet sabit 4\text{ N} olduğundan, 7\text{ s} boyunca etki eden itme doğrudan 4 \times 7 = 28\text{ N}\cdot\text{s} olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Momentum Değişimi Yerine 7. Saniyedeki Anlık Momentumu Hesaplamak
- Yanlış: t = 7\text{ s} anındaki son hızı (v_x = 30\text{ m/s}, v_y = -30\text{ m/s}, v = 30\sqrt{2}\text{ m/s}) bulup P = m \cdot v formülünden 0,4 \times 30\sqrt{2} \approx 16,97\text{ kg}\cdot\text{m/s} sonucuna ulaşmak.
- Doğru: Soru momentumu (P) değil, momentum değişimini (\Delta P = I = F_{\text{net}} \cdot \Delta t) sormaktadır.
- Neden yanlış: “Momentum” anlık bir durumdur, “momentum değişimi” ise iki durum arasındaki vektörel fark veya bu süredeki toplam itmedir.
Kütleyi Kilograma Çevirmeyi Unutmak
- Yanlış: 400 \times 10 \times 7 = 28000\text{ g}\cdot\text{m/s} bulmak.
- Doğru: SI birim sisteminde kütle \text{kg} alınmalıdır (400\text{ g} = 0,4\text{ kg}).
- Neden yanlış: Standart momentum birimi \text{kg}\cdot\text{m/s} veya \text{N}\cdot\text{s}'dir.
Bu soruda cismin 7. saniyedeki anlık momentumunu veya kinetik enerjisini de birlikte hesaplamamızı ister misin?