bir hesap makinesi yazilimsal bir hata sebebi ile her
X ve ysayiları 1’den büyük gerçel saylar olmak Üzere
log,y değerini log,x olacak şekilde hesaplamaktadır.
Nuri aşağıdaki işlemleri bu hesap makinesi ile
yaptiğında
log,2 + log, 4 işleminin sonucunu2,
olarak hesapliyor.
Buna göre log,(x + y) ifadesi hesap makinesi ile
mesaplandiğında sonuç kaç olarak bulunur?
B)
C)
D) E)
Hatalı Hesap Makinesi Logaritma Sorusu Çözümü
Hesap makinesinin çalışma hatasını anlayarak başlayalım. Makine \log_{x}y değerini \log_{y}x olarak hesaplıyor. Yani taban ile argümanın yerini değiştiriyor.
[KULLANILAN FORMÜL:]
- Hatalı Hesaplama: \text{Makine}(\log_{a}b) = \log_{b}a
- Logaritma Özelliği: \log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}
- Taban Değiştirme: \log_{a}b^n = n \cdot \log_{a}b
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Birinci Denklemin Analizi
Nuri \log_{x}2 + \log_{y}4 = 2 işlemini yapıyor. Makine hatasına göre bu işlem aslında şuna dönüşür:
\log_{2}x + \log_{4}y = 2
\log_{4}y ifadesini \log_{2^2}y = \frac{1}{2}\log_{2}y şeklinde yazalım:
\log_{2}x + \frac{1}{2}\log_{2}y = 2
Denklemi 2 ile genişletirsek: 2\log_{2}x + \log_{2}y = 4 \Rightarrow \log_{2}(x^2 \cdot y) = 4
Buradan x^2 \cdot y = 2^4 = 16 bulunur.
Adım 2 — İkinci Denklemin Analizi
Nuri \log_{x}y \cdot \log_{y}16 = \frac{1}{4} işlemini yapıyor. Makine hatasına göre:
\log_{y}x \cdot \log_{16}y = \frac{1}{4}
\log_{16}y ifadesini \log_{2^4}y = \frac{1}{4}\log_{2}y şeklinde yazalım:
\log_{y}x \cdot \frac{1}{4}\log_{2}y = \frac{1}{4}
\frac{1}{4}'ler sadeleşir: \log_{y}x \cdot \log_{2}y = 1
Zincir kuralına göre (\log_{a}b \cdot \log_{b}c = \log_{a}c):
\log_{2}x = 1 \Rightarrow \mathbf{x = 2}
Adım 3 — y Değerinin Bulunması
Birinci adımda bulduğumuz x^2 \cdot y = 16 denkleminde x=2 yazalım:
2^2 \cdot y = 16 \Rightarrow 4 \cdot y = 16 \Rightarrow \mathbf{y = 4}
Adım 4 — İstenen İfadenin Hesaplanması
Soru bizden \log_{x}(x^2 + y) ifadesinin hesap makinesiyle sonucunu istiyor.
Makine bu ifadeyi \log_{(x^2 + y)}x olarak hesaplayacaktır. Değerleri yerine koyalım:
x = 2 ve y = 4 olduğuna göre:
\log_{(2^2 + 4)}2 = \log_{(4 + 4)}2 = \log_{8}2
\log_{2^3}2 = \frac{1}{3}\log_{2}2 = \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 1/3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Logaritma Çarpım Kuralı
- [Tanım:] \log_{a}(x \cdot y) = \log_{a}x + \log_{a}y
- [Bu problemde:] x^2 \cdot y çarpımını bulmak için kullanıldı.
2. Taban Değiştirme (Hata Mantığı)
- [Tanım:] \log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}
- [Bu problemde:] Hesap makinesinin yaptığı hata, değerin çarpmaya göre tersini hesaplamasına neden olmaktadır.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Makine Hatasını Unutmak
- [Yanlış:] Doğrudan \log_{x}2 + \log_{y}4 = 2 üzerinden işlem yapmak.
- [Doğru:] Önce makinenin sayıları yer değiştirdiğini işleme yansıtmak.
- [Neden yanlış:] Soru, sonucun “hatalı makine” ile elde edildiğini belirtiyor.
Bu tür logaritma sorularında makine hatasını önce değişkenlere (x ve y) uygulamak çözümü kolaylaştırır. Benzer mantıkta başka bir logaritma sorusu çözmemi ister misin?