Hatalı çözüm yap uzatmadan

Question Answer
1

Bir deponun içinde bir miktar su vardır.
Dolu kısmın hacminin \frac{1}{x}'i ile boş kısmın hacminin \frac{1}{y}'sinin toplamı, deponun hacminin \frac{1}{xy}'sine eşit olduğuna göre, dolu kısmın hacminin \frac{1}{x}'inin toplamı deponun hacminin kaçta kaçına eşittir?
A) \frac{x-y}{x+y}
B) \frac{xy}{x+y}
C) \frac{x+y-1}{xy}
D) \frac{xy}{x+y+1}
E) \frac{x+y+1}{x+y-1}

Bir deponun içinde bir miktar su vardır.
Bir deponun içinde bir miktar su vardır.1024×768 106 KB

2

Depo Hacmi ve Kesir Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir deponun toplam hacmi: V = \text{Dolu Kısım } (D) + \text{Boş Kısım } (B)
  • İki kare farkı ve ortak paranteze alma özdeşliği: y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Bilgileri Matematiksel Olarak Modelleme
Deponun dolu kısmının hacmine D, boş kısmının hacmine B dersek, toplam depo hacmi V = D + B olur.
Soruda verilen eşitliği yazalım:

\frac{D}{x} + \frac{B}{y} = \frac{D + B}{xy}

Adım 2 — Eşitliği Sadeleştirerek D ve B Arasındaki İlişkiyi Bulma
Denklemin her iki tarafını xy ile çarpalım:

y \cdot D + x \cdot B = D + B

D ve B içeren terimleri aynı taraflara toplayalım:

y \cdot D - D = B - x \cdot B
D(y - 1) = B(1 - x)

Buradan D ve B değişkenlerini ortak bir k katı cinsinden ifade edebiliriz:

D = k(1 - x)
B = k(y - 1)

Toplam depo hacmi (V):

V = D + B = k(1 - x) + k(y - 1) = k(y - x)

Adım 3 — İstenen Toplam Hacmi Hesaplama
Bizden istenen miktar: \frac{D}{y} + \frac{B}{x} ifadesidir.
D ve B değerlerini yerine yazıp payda eşitleyelim:

\frac{k(1 - x)}{y} + \frac{k(y - 1)}{x} = k \left( \frac{x(1 - x) + y(y - 1)}{xy} \right)
= k \left( \frac{x - x^2 + y^2 - y}{xy} \right)

Pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım:

y^2 - x^2 - (y - x) = (y - x)(y + x) - (y - x) = (y - x)(x + y - 1)

Böylece istenen miktar:

k \cdot \frac{(y - x)(x + y - 1)}{xy}

Adım 4 — İstenen Miktar ile Toplam Depo Hacmini Oranlama
Bulunan miktarın depo hacmi V = k(y - x)'e oranını alalım:

\text{Oran} = \frac{k \cdot \frac{(y - x)(x + y - 1)}{xy}}{k(y - x)} = \frac{x + y - 1}{xy}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) \mathbf{\dfrac{x+y-1}{xy}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Bütün-Parça İlişkisi: Depo problemleri çözülürken toplam hacmin daima \text{Dolu} + \text{Boş} kısımların toplamına eşit olduğu unutulmamalıdır.
  • Cebirsel Sadeleştirme: Değişkenleri ortak bir katsayı (k) cinsinden yazmak, oran sorularında sadeleştirmeleri oldukça kolaylaştırır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Dolu ve boş kısımları ayrı değişkenler olarak belirlemeden doğrudan kesirleri toplamaya çalışmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Dolu ve boş kısımları D ve B olarak adlandırıp D+B=V bağıntısını denklemde yerine koyarak oranlamak.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?