!1000030839|225x500 [Link Silindi]
Acil Yapman Lazım Konusundaki Sorunun Çözümü
Önemli Noktalar
- Hasar görmüş kısmın çevresinin belirlenmesi ve buna göre alan hesaplaması yapılmalıdır.
- Boyalar ve kapların hacim ve taban alanları analiz edilip boya kapasiteleri dikkate alınır.
- Çevre uzunluğu problemlerinde verilen bilgilerle minimum veya maksimum sınırlar belirlenir.
Sorunuzun çözümünde, ilk olarak verilen güvenlik şeridinin çevresi 46 metre olarak verilmiştir. Bu çevre ile hasar görmüş dikdörtgenin alanının en fazla olması isteniyor. Sonrasında kapların taban alanları, boya kapasiteleri ve duvar boyama kapasiteleri analiz edilmelidir.
İçindekiler
- Hasar Görmüş Alanın Maksimum Hesabı
- Kapların Taban Alanları ve Boya Kapasiteleri
- Çevre Uzunluğu ve Minimum Değer Hesabı
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Hasar Görmüş Alanın Maksimum Hesabı
Verilen:
- Güvenlik şeridinin çevresi = 46 m
- Şeridin kenar uzunlukları dikdörtgen şeklinde
- Hasar görmüş alanın en fazla olması isteniyor
Çevre formülü (dikdörtgen):
P = 2(x + y) = 46 \Rightarrow x + y = 23
Alan:
A = x \times y
x + y = 23 denklemi için, alanı maksimize eden durum x = y = \frac{23}{2} = 11.5 metre olur. Çünkü eşkenar dikdörtgen (kare) maksimum alanı verir.
Alan maksimum:
A_{max} = 11.5 \times 11.5 = 132.25 \approx 132 \, m^2
Doğru seçenek: C) 132
Pro Tip: Bir dikdörtgenin çevresi sabitken, maksimum alanı alması için kare olması gerekir.
2. Kapların Taban Alanları ve Boya Kapasiteleri
Kapların taban alanları:
-
- kap: 4 m × 2 m = 8 m²
-
- kap: 3 m × 3 m = 9 m²
-
- kap: 5 m × 1 m = 5 m²
Boya kapasiteleri:
- Kabin iç taban alanlarının 15 katı kadar alan boyayabilir.
Her kap için boyayabileceği alan:
-
- kap: 8 \times 15 = 120 \, m^2
-
- kap: 9 \times 15 = 135 \, m^2
-
- kap: 5 \times 15 = 75 \, m^2
a) 120 metrekarelik duvarı tek renk boyamak için seçenek:
- 120 m² alanı karşılayan kap 1. kapdır (tam 120 m²).
Dolayısıyla 1. kap seçilir.
b) Üç kaptaki boyaları kullanarak en fazla kaç metrekare boyanabilir?
Toplam alan boyama kapasitesi:
120 + 135 + 75 = 330 m²
Anahtar Nokta: Maksimum alan, tüm boyaların toplam kapasitesidir → 330 m²
3. Çevre Uzunluğu ve Minimum Değer Hesabı
- kapta bulunan boyanın tamamıyla kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevresi kadar bir duvar boyanmıştır.
-
- kapın taban alanı = 5 m²
- Boyayabileceği alan = 5 \times 15 = 75 m^2
Dikdörtgenin alanı 75 m² ve çevresi en az kaç metredir?
Mümkün kenar ölçüleri doğal sayı ve alan x \times y = 75. Olabilecek tam sayı çarpanları ve çevreleri:
| x | y | Çevre 2(x + y) |
|---|---|---|
| 1 | 75 | 152 |
| 3 | 25 | 56 |
| 5 | 15 | 40 |
| 15 | 5 | 40 |
| 25 | 3 | 56 |
| 75 | 1 | 152 |
En küçük çevre 40 metredir.
Uyarı: Diğer kombinasyonlar 40’tan büyük çevreler verir, minimum çevre 40 metredir.
Özet Tablo
| Soru Maddesi | Cevap |
|---|---|
| Hasar görmüş alanın en fazla değeri | 132 m² (C şıkkı) |
| 120 m² duvar için boya kullanımı | 1. kap |
| Üç kaptaki boya ile boyanabilecek en fazla alan | 330 m² |
| 3. kaptaki boyayla boyanan duvarın en az çevresi | 40 metre |
Sık Sorulan Sorular
1. Dikdörtgenin çevresi sabitken neden maksimum alan karedir?
Çünkü sabit çevre için alan fonksiyonu A = x(23 - x) şeklinde parabol olur ve tepe noktası karedir.
2. Boya kapasitesini alan ile nasıl ilişkilendiririz?
Boyalar, kabin taban alanlarının 15 katı kadar alanı boyayabilir; bu oran ile toplam boyanabilir alan hesaplanır.
3. Kenar uzunlukları doğal sayı olması ne anlama gelir?
Kenarlar pozitif tam sayı olmak zorundadır; bu da kombinasyonları sınırlayarak çevre hesaplamasında seçim yapmamızı sağlar.
Sonraki Adımlar
Boy ve çevre ilişkili alan problemlerini pratik etmek ister misiniz? Size benzer güçlükte yeni sorular hazırlayabilirim.
Hasar Görmüş Yol Parçası ve Boya Kapları Problemleri
Temel Çıkarımlar
- Bir dikdörtgenin çevresi 2(a+b)=46 ise a+b=23 ve tamsayılarda alan A=a\,(23-a) formülüyle bulunur.
- Sabit çevre için alan maksimumu kenarlar birbirine en yakın olduğunda gerçekleşir.
- Bir kabın taban alanı T ise boya kapasitesi 15T m²’dir; farklı kapların toplam kapasitesi toplanarak bulunur.
Hasar görmüş yol parçasının alanı en fazla 132 m²’dir.
120 m²’lik duvarı boyamak için 1. ve 2. kaplar yeterlidir.
Üç kaptaki boyayla en fazla 330 m² alan boyanabilir.
3. kaptaki boya ile boyanan dikdörtgenin en küçük çevresi 40 m’dir.
İçindekiler
Hasar Görmüş Yol Parçası Alanı
Bir dikdörtgenin kenarları a,b\in\mathbb{N} ve çevresi 2(a+b)=46 verilmiş olsun.
O hâlde
a+b=23,
alan ise
A(a)=a\,(23-a)=23a - a^2.
Parabolün tepe noktası $a=\frac{23}{2}=11{,}5$’te ve en yakın tamsayılarda a=11 veya 12 için
A_{\max}=11\cdot12=132\ \text{m}^2.
Boya Kapları Problemleri
Kapların taban boyutları ve boyayabildikleri alanlar:
- 1. kap: 2\times4=8\ \text{m}^2\implies8\cdot15=120\ \text{m}^2
- 2. kap: 3\times3=9\ \text{m}^2\implies9\cdot15=135\ \text{m}^2
- 3. kap: 1\times5=5\ \text{m}^2\implies5\cdot15=75\ \text{m}^2
a) 120 m²’lik duvar için gereken boya 120 m² olup, bu miktarı verebilen kaplar 1. ve 2. kap’tır.
b) Üç kaptaki toplam boya:
120 + 135 + 75 = 330\ \text{m}^2.
c) 3. kaptaki 75\ \text{m}^2 boya ile alanı 75 olan tamsayılı kenarlı dikdörtgenin çevresini en küçük yapmak için faktörleri en yakın seçmeliyiz: 5\times15.
P_{\min}=2(5+15)=40\ \text{m}.
Karşılaştırma Tablosu
| Kap No | Taban Alanı (m²) | Boyanabilen Alan (m²) |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 120 |
| 2 | 9 | 135 |
| 3 | 5 | 75 |
Özet Tablo
| Soru | Sonuç |
|---|---|
| Hasar parçası en büyük alan | 132 m² |
| 120 m² duvar için kaplar | 1. kap, 2. kap |
| Üç kapın toplam boyası | 330 m² |
| 3. kaptaki boya ile çevre | 40 m |
SSS
- S: Neden alan \bigl(a+b=23\bigr) iken a(23-a) formülü kullanıldı?
C: Dikdörtgen alanı A=a\cdot b olup b=23-a yerine konur. - S: Sabit çevre için neden kenarlar eşitse alan maksimum?
C: Parabol formunda -a^2+23a tepe noktası simetrik en yakın tamsayılarda olur. - S: Boya kapasitesi neden 15T ile çarpıldı?
C: Soruda “taban alanının 15 katı kadar alan” ifadesi bu kuralı verir. - S: Üçüncü kaptaki boya neden 5\times15=75 alana yeterli?
C: Taban 5 m², birimden 15 kat artınca 75 m² boyanır.
Boyamalar ve optimum dikdörtgen çevreleriyle ilgili daha fazla örnek çözmek ister misiniz?
@Hrnrktrk