Yukarı Doğru Düşey Atış Hareketinde Uçuş Süresi ve Veri Seti Hesabı
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Çıkış Süresi: t_{\text{çıkış}} = \frac{v_0}{g}
- Havada Kalma (Uçuş) Süresi: t_{\text{uçuş}} = 2 \cdot t_{\text{çıkış}} = \frac{2 \cdot v_0}{g}
- Anlık Hız Denklemi: v(t) = v_0 - g \cdot t
- Anlık Konum (Yükseklik) Denklemi: y(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çıkış ve Uçuş Süresinin Hesaplanması
Topun tepe noktasına çıkış süresi:
Hava direnci ihmal edildiğinden iniş süresi çıkış süresine eşittir (t_{\text{çıkış}} = t_{\text{iniş}} = 2\text{ s}).
Toplam havada kalma süresi:
Adım 2 — Her Saniye İçin Hız Değerlerinin Hesaplanması
- t = 0\text{ s} için: v(0) = 20 - 10 \cdot 0 = +20\text{ m/s} (Yukarı yönlü)
- t = 1\text{ s} için: v(1) = 20 - 10 \cdot 1 = +10\text{ m/s} (Yukarı yönlü)
- t = 2\text{ s} için: v(2) = 20 - 10 \cdot 2 = 0\text{ m/s} (Tepe noktası)
- t = 3\text{ s} için: v(3) = 20 - 10 \cdot 3 = -10\text{ m/s} (Aşağı yönlü)
- t = 4\text{ s} için: v(4) = 20 - 10 \cdot 4 = -20\text{ m/s} (Aşağı yönlü)
Adım 3 — Her Saniye İçin Konum (Yükseklik) Değerlerinin Hesaplanması
- t = 0\text{ s} için: y(0) = 20 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 = 0\text{ m} (Başlangıç noktası)
- t = 1\text{ s} için: y(1) = 20 \cdot 1 - 5 \cdot (1)^2 = 15\text{ m}
- t = 2\text{ s} için: y(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot (2)^2 = 40 - 20 = 20\text{ m} (Maksimum yükseklik)
- t = 3\text{ s} için: y(3) = 20 \cdot 3 - 5 \cdot (3)^2 = 60 - 45 = 15\text{ m}
- t = 4\text{ s} için: y(4) = 20 \cdot 4 - 5 \cdot (4)^2 = 80 - 80 = 0\text{ m} (Ele dönüş anı)
Adım 4 — Zaman, Konum ve Hız Veri Seti Tablosu
| Zaman (t) | Hız (v) | Konum (y) | Hareket Durumu |
|---|---|---|---|
| 0\text{ s} | +20\text{ m/s} | 0\text{ m} | Fırlatılma anı (Yukarı yönlü) |
| 1\text{ s} | +10\text{ m/s} | 15\text{ m} | Yavaşlayarak yükseliyor |
| 2\text{ s} | 0\text{ m/s} | 20\text{ m} | Maksimum yükseklik (Anlık durma) |
| 3\text{ s} | -10\text{ m/s} | 15\text{ m} | Hızlanarak düşüyor (Aşağı yönlü) |
| 4\text{ s} | -20\text{ m/s} | 0\text{ m} | Ele çarptığı an (Aşağı yönlü) |
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Topun toplam havada kalma süresi 4\text{ saniyedir} ve maksimum çıkabileceği yükseklik 20\text{ metredir}. Veri seti tablodaki gibidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Düşey Doğrultuda Atış Hareketi
- Tanım: Bir cismin yer çekimi ivmesi (g) etkisi altında düşey eksende yaptığı düzgün değişen doğrusal harekettir.
- Bu problemde: Cisim yukarı çıkarken yer çekimi ivmesi nedeniyle her saniye 10\text{ m/s} yavaşlamış, tepe noktasında durup aşağı inerken her saniye 10\text{ m/s} hızlanmıştır.
2. Harekette Simetri
- Tanım: Sürtünmesiz ortamda aynı yatay hizadaki hızların büyüklükleri birbirine eşit, yönleri zıttır; çıkış süresi de iniş süresine eşittir.
- Bu problemde: Top 0\text{ m} seviyesinden +20\text{ m/s} ile atılmış ve aynı seviyeye -20\text{ m/s} hızla dönmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yön İşaretini Unutmak
- Yanlış: İniş hareketindeki hızları da pozitif (+10\text{ m/s}, +20\text{ m/s}) yazmak.
- Doğru: Vektörel bir büyüklük olan hızın yönü yukarı yön pozitif (+) seçildiğinde aşağı inişte negatif (-) olmalıdır.
- Neden yanlış: Hız bir vektördür; yön belirtilmezse hareketin yönü tam olarak tanımlanamaz.
Bu hareketin hız-zaman veya konum-zaman grafiklerinin nasıl çizileceğini de adım adım göstermemi ister misin?
c) Maksimum Yükseklikte İvmenin Değerlendirilmesi
Nurcan’ın görüşüne katılmıyorum.
Gerekçeli Açıklama:
- Hız ve İvme Ayrımı: Tepe noktasında (maksimum yükseklikte) topun anlık olarak hızı sıfırdır (v = 0\text{ m/s}); fakat ivmesi sıfır değildir.
- Kuvvet Etkisi: Hava direncinin ihmal edildiği ortamda, top elden çıktığı andan itibaren yere düşene kadar üzerine etki eden tek kuvvet Dünya’nın uyguladığı yer çekimi kuvvetidir (F_{\text{net}} = m \cdot g).
- Newton’ın Temel Prensibi (F_{\text{net}} = m \cdot a): Tepe noktasında da net kuvvet sıfır olmadığı için ivme vardır ve büyüklüğü yer çekimi ivmesine eşittir:a = g = 10\text{ m/s}^2 \quad (\text{Aşağı yönlü})
ç) Topun 5 m Yükseklikten Geçiş Hızının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL:
- Zamansız Hız Formülü: v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Değerlerin Belirlenmesi
- İlk hız: v_0 = 20\text{ m/s}
- Yer çekimi ivmesi: g = 10\text{ m/s}^2
- Yükseklik: h = 5\text{ m}
Adım 2 — Değerlerin Zamansız Hız Formülünde Yerine Yazılması
Adım 3 — Hız Değerinin Hesaplanması
- Top yukarı çıkarken: v = +10\sqrt{3}\text{ m/s} (yaklaşık +17.32\text{ m/s})
- Top aşağı inerken: v = -10\sqrt{3}\text{ m/s} (yaklaşık -17.32\text{ m/s})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Top elden 5\text{ m} yukarıdaki noktadan yukarı çıkarken +10\sqrt{3}\text{ m/s}, aşağı inerken -10\sqrt{3}\text{ m/s} hızla geçer. Hızın büyüklüğü (sürati) 10\sqrt{3}\text{ m/s}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Zamansız Hız Bağıntısı
- Tanım: Zaman değişkenine ihtiyaç duymadan, ilk hız, ivme ve yer değiştirme arasındaki ilişkiyi veren kinematik bağıntıdır.
- Bu problemde: Cismin 5\text{ m} yükseklikteki hız büyüklüğünü doğrudan bulmak için kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İki Farklı Geçiş Anını Unutmak
- Yanlış: Cismin bu noktadan sadece çıkış anında geçtiğini varsayıp tek bir hız yönü belirtmek.
- Doğru: Cisim 5\text{ m} yüksekliğe hem yükselirken hem de tepe noktasından geri dönerken uğrar; bu nedenle hızın iki yönü (+ ve -) vardır.
- Neden yanlış: Atış hareketinde yörünge simetrik olduğundan aynı seviyeden iki kez geçilir.
Bu soruyla bağlantılı olarak, topun 5\text{ m} yüksekliğe kaçıncı saniyelerde ulaştığını da hesaplamamı ister misin?
6. Alıştırma: Düşey Atış Hareketi Çözümleri
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Maksimum Yüksekliğe Çıkış Süresi: t_{\text{çıkış}} = \frac{v_0}{g}
- Çatıdan İtibaren Maksimum Çıkış Yüksekliği: h_{\text{çıkış}} = \frac{v_0^2}{2g}
- Anlık Hız Bağıntısı: v(t) = v_0 - g \cdot t
- Yerden Konum (Yükseklik) Bağıntısı: h(t) = h_{\text{bina}} + v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a) Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Süresi
Taşın tepe noktasında anlık hızı 0\text{ m/s} olur:
b) Yerden Maksimum Yüksekliği
Taşın bina hizasından yukarı doğru çıktığı maksimum mesafe:
Bina yüksekliği 80\text{ m} olduğuna göre yerden toplam maksimum yükseklik:
c) Atıldığı Noktaya Dönme Süresi
Taş sürtünmesiz ortamda 3\text{ s} sürede çıktığı çatı seviyesine 3\text{ s} sürede geri döner:
ç) Atıldıktan 7 s Sonraki Hızı ve Yerden Yüksekliği
-
7\text{ s} sonraki hızı:
v(7) = v_0 - g \cdot t = 30 - 10 \cdot 7 = 30 - 70 = -40\text{ m/s}(Aşağı yönde 40\text{ m/s} hızla hareket etmektedir.)
-
7\text{ s} sonraki yerden yüksekliği:
h(7) = 80 + 30 \cdot 7 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (7)^2h(7) = 80 + 210 - 5 \cdot 49 = 290 - 245 = 45\text{ m}
d) Yere Çarpma Süresi
Taş tepe noktasından (125\text{ m} yükseklikten) itibaren yere kadar serbest düşme yapar:
Toplam uçuş süresi:
e) Konum - Zaman Grafiği Değerleri (Yer Referans Noktası: 0\text{ m})
Grafik t = 0\text{ s}'den başlayıp t = 8\text{ s}'ye kadar parabolik bir eğri şeklindedir:
- t = 0\text{ s} \rightarrow h = 80\text{ m}
- t = 3\text{ s} \rightarrow h = 125\text{ m} (Tepe noktası)
- t = 6\text{ s} \rightarrow h = 80\text{ m} (Çatı hizası)
- t = 7\text{ s} \rightarrow h = 45\text{ m}
- t = 8\text{ s} \rightarrow h = 0\text{ m} (Yere çarpma anı)
Konum (m)
125 ┼ ╭───╮
│ ╭─ ─╮
80 ┼───────╭ ╮────── (Çatı seviyesi)
│ ╭ ╮
45 ┼ │ * (t = 7 s)
│ │ │
0 ┼────┴───────────────┴──── Zaman (s)
0 3 6 7 8
f) Hız - Zaman Grafiği Değerleri
Grafik eğimi -10\text{ m/s}^2 olan doğrusal bir çizgidir:
- t = 0\text{ s} \rightarrow v = +30\text{ m/s}
- t = 3\text{ s} \rightarrow v = 0\text{ m/s}
- t = 6\text{ s} \rightarrow v = -30\text{ m/s}
- t = 7\text{ s} \rightarrow v = -40\text{ m/s}
- t = 8\text{ s} \rightarrow v = -50\text{ m/s} (Yere çarpma hızı)
Hız (m/s)
+30 ┼ \
│ \
0 ┼───\───────────── Zaman (s)
│ 0 3 6 7 8
-30 ┼ \
-40 ┼ \
-50 ┼ \
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAPLAR ÖZETİ:
- a) 3\text{ s}
- b) 125\text{ m}
- c) 6\text{ s}
- ç) Hız: -40\text{ m/s} (Aşağı yönlü 40\text{ m/s}), Yükseklik: 45\text{ m}
- d) 8\text{ s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tepe Noktasında Hız ve İvme
- Tanım: Düşey atış hareketinde maksimum yükseklikte anlık hız 0\text{ m/s} olurken, yer çekimi ivmesi kesintisiz olarak aşağı yönde g = 10\text{ m/s}^2 kalmaya devam eder.
- Bu problemde: Taş 3\text{ s} sonra tepe noktasına ulaşmış ve anlık olarak durmuştur.
2. Serbest Düşmeye Dönüşüm
- Tanım: Tepe noktasından sonra cismin hareketi, ilk hızsız bırakılan bir serbest düşme hareketi olarak modellenebilir.
- Bu problemde: 125\text{ m} yükseklikten serbest düşmeye başlayan taş 5\text{ s} içinde yere ulaşmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yerden Yükseklik ile Atıldığı Noktadan Yüksekliği Karıştırmak
- Yanlış: Maksimum yüksekliği sadece 45\text{ m} olarak yazmak.
- Doğru: Çatının yerden yüksekliği (80\text{ m}) çıkış mesafesine (45\text{ m}) eklenerek 125\text{ m} bulunmalıdır.
- Neden yanlış: Soru “yerden” maksimum yüksekliği sormaktadır, referans noktası yer düzlemidir.
Grafiklerin deftere kareli alana tam olarak nasıl aktarılacağı konusunda detaylı ölçeklendirme adımlarını ister misin?
7. Alıştırma: Düşey Doğrultuda Esnek Olmayan Çarpışma ve İvme Analizi
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Serbest Düşmede Çarpma Hızı: v_1^2 = 2 \cdot g \cdot h_1
- Yukarı Fırlama (Zeminden Ayrılma) Hızı: v_2^2 = 2 \cdot g \cdot h_2
- Ortalama İvme Bağıntısı: \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_{\text{son}} - \vec{v}_{\text{ilk}}}{\Delta t}
- Sıkışma Miktarı (Kinematik Bağıntı): v^2 = v_{\text{ilk}}^2 - 2 \cdot a \cdot x
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a) Topun Yere Çarpma Anındaki Hızı (v_1)
Top 1{,}8\text{ m} yükseklikten serbest bırakıldığından:
b) Topun Yerden Ayrıldıktan Hemen Sonraki Hızı (v_2)
Top çarpışmadan sonra 1{,}25\text{ m} yükselip tepe noktasında anlık olarak durduğuna göre:
c) Zeminle Temas Sırasındaki İvmesi (a)
Yukarı yön pozitif (+), aşağı yön negatif (-) kabul edildiğinde:
- İlk hız: \vec{v}_{\text{ilk}} = -6\text{ m/s}
- Son hız: \vec{v}_{\text{son}} = +5\text{ m/s}
- Hız değişimi: \Delta \vec{v} = \vec{v}_{\text{son}} - \vec{v}_{\text{ilk}} = 5 - (-6) = +11\text{ m/s}
- Etkileşim süresi: \Delta t = 11\text{ ms} = 11 \cdot 10^{-3}\text{ s}
Ortalama ivme:
ç) Topun Zeminle Teması Sırasındaki Sıkışma Miktarı (x)
Top yere çarptıktan sonra maksimum sıkışma anında anlık olarak durur (v = 0\text{ m/s}). İvmenin sabit kaldığı kabul edilirse:
(Not: Topun durma süresi t_1 = \frac{6}{1000} = 6\text{ ms}, tekrar 5\text{ m/s} hıza ulaşıp açılma süresi t_2 = \frac{5}{1000} = 5\text{ ms} olup toplam temas süresi olan 11\text{ ms}'yi tam olarak sağlamaktadır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAPLAR:
- a) 6\text{ m/s} (Aşağı yönlü)
- b) 5\text{ m/s} (Yukarı yönlü)
- c) 1000\text{ m/s}^2 (Yukarı yönlü)
- ç) 0{,}018\text{ m} (1{,}8\text{ cm})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Vektörel Hız Değişimi (\Delta \vec{v})
- Tanım: Hız vektörel bir büyüklük olduğundan yön değişimi hız değişimine doğrudan eklenir.
- Bu problemde: Cisim yön değiştirerek geri döndüğü için hız değişimi skaler fark (6-5=1) değil, vektörel fark (5 - (-6) = 11\text{ m/s}) olmuştur.
2. Ortalama İtme ve İvme İlişkisi
- Tanım: Çarpışma anında zeminin uyguladığı tepki kuvveti neticesinde çok kısa sürede çok büyük bir ivme (a = 1000\text{ m/s}^2) meydana gelir.
- Bu problemde: 11\text{ ms} gibi kısa bir sürede top durdurulup tekrar fırlatılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hız Değişimini Skaler Olarak Çıkarmak
- Yanlış: \Delta v = 6 - 5 = 1\text{ m/s} alıp ivmeyi a = \frac{1}{11 \cdot 10^{-3}} \approx 90{,}9\text{ m/s}^2 bulmak.
- Doğru: Hız yönü tersine döndüğü için işaretler dikkate alınarak \Delta v = 5 - (-6) = 11\text{ m/s} hesaplanmalıdır.
- Neden yanlış: Hız vektöreldir; zıt yöndeki hareketlerde yön işareti hesaba katılmalıdır.
Topun zeminle teması sırasında zeminin uyguladığı ortalama kuvvetin (F_{\text{ort}}) topun kütlesine bağlı ifadesini çıkarmamı ister misin?