Harun yazdığı beş pozitif tam sayıyı ve bu sayılardan her birinin diğer sayıların kaç tanesinden büyük olduğunu aşağıdaki gibi belirtmiştir.
a, b, c, d, e
downarrow downarrow downarrow downarrow downarrow
3 \ 1 \ 4 \ 2 \ 0
Örneğin; yazdığı sayılardan biri olan a sayısı diğer yazdığı sayıların 3 tanesinden büyüktür.
b + d = 16
olduğuna göre, a dot c dot e çarpımı en az kaçtır?
A) 72
B) 90
C) 110
D) 120
E) 132
Pozitif Tam Sayılarda Sıralama ve Çarpımın En Küçük Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir sayının diğer sayılardan kaç tanesinden büyük olduğu bilgisi, sayıların küçükten büyüğe kesin sıralamasını verir:
- Pozitif tam sayılar kümesi: \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}
- x tane sayıdan büyük olan eleman, sıralamada (x+1). sırada yer alır.
- a \cdot c \cdot e çarpımının en küçük (minimum) değerini alabilmesi için her bir çarpanın alabileceği en küçük pozitif tam sayı değerleri seçilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Küçükten Büyüğe Sıralanması
Verilen büyüklük sayılarına göre her bir değişkenin diğer kaç sayıdan büyük olduğunu inceleyelim:
- c sayısı 4 sayıdan büyüktür \rightarrow En büyük sayıdır.
- a sayısı 3 sayıdan büyüktür \rightarrow 2. en büyük sayıdır.
- d sayısı 2 sayıdan büyüktür \rightarrow 3. en büyük sayıdır.
- b sayısı 1 sayıdan büyüktür \rightarrow 4. en büyük sayıdır.
- e sayısı 0 sayıdan büyüktür \rightarrow En küçük sayıdır.
Buradan elde edilen kesin sıralama:
e < b < d < a < c
Adım 2 — e Sayısının En Küçük Değerini Belirleme
Sayılar pozitif tam sayı olduğundan, en küçük eleman olan e’nin alabileceği en küçük değer:
e = 1
Adım 3 — b ve d Değerlerinin Seçimi
b + d = 16 ve e < b < d koşulları verilmiştir.
a ve c sayıları d’den büyük olmak zorunda olduğu için (d < a < c), a ve c’yi en küçük tutabilmek adına d’nin alabileceği en küçük değeri seçmeliyiz:
- b < d ve b + d = 16
- b = 7 ve d = 9 seçilirse, 7 < 9 şartı sağlanır ve d minimum 9 olur.
Adım 4 — a ve c Değerlerinin Belirlenmesi
d = 9 olduğuna göre, d < a < c eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayılar:
- a = 10
- c = 11
Sayı dizilimi: 1 < 7 < 9 < 10 < 11 olarak elde edilir.
Adım 5 — İstenen Çarpımın Hesaplanması
a \cdot c \cdot e = 10 \cdot 11 \cdot 1 = 110
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (110)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sıralama ve Sayma Mantığı
- Tanım: n elemanlı bir kümede bir eleman kendisinden hariç k elemandan büyükse, küçükten büyüğe sıralamada (k+1). sıradadır.
- Bu problemde: 0, 1, 2, 3, 4 değerleri sayıların sırasıyla e < b < d < a < c şeklinde dizilmesini sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
b ve d’yi Birbirine Eşit Seçmek
- Yanlış: b = 8, d = 8 alıp b+d = 16 yapmak.
- Doğru: b sayısı 1 sayıdan, d sayısı 2 sayıdan büyük olduğu için b < d olmak zorundadır (b = 7, d = 9).
- Neden yanlış: Sayılar birbirine eşit olsaydı büyüklük adetleri farklı olamazdı.
Bu çözümle ilgili aklına takılan bir adım var mı, yoksa benzer bir sıralama sorusuyla pekiştirmek ister misin?
Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.
Harun’un Yazdığı Sayıların Sıralaması ve Çarpımın En Küçük Değeri
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Pozitif tam sayılarda (\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}) her bir elemanın büyük olduğu sayı adedi, o elemanın küçükten büyüğe kesin sırasını verir. Minimum çarpım için çarpanlar mümkün olan en küçük değerlerle seçilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Sıralanması
Büyüklük adetlerine (0, 1, 2, 3, 4) göre küçükten büyüğe sıralama:
e < b < d < a < c
Adım 2 — Değerlerin Belirlenmesi
- En küçük pozitif tam sayı: e = 1
- b + d = 16 ve b < d koşulunda d’yi en küçük tutmak için: b = 7 ve d = 9
- d < a < c koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayılar: a = 10 ve c = 11
Adım 3 — Çarpımın Hesaplanması
a \cdot c \cdot e = 10 \cdot 11 \cdot 1 = 110
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (110)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sıralama Mantığı
- Tanım: Bir kümede k elemandan büyük olan sayı, küçükten büyüğe (k+1). sıradadır.
- Bu problemde: e(0) < b(1) < d(2) < a(3) < c(4) kesin dizilimi kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
b ve d Sayılarını Eşit Seçmek
- Yanlış: b = 8 ve d = 8 kabul etmek.
- Doğru: b < d şartından dolayı b = 7 ve d = 9 seçilmelidir.
- Neden yanlış: Büyük oldukları eleman sayıları farklı (1 ve 2) olduğundan eşit olamazlar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir sıralama sorusu çözmemi ister misin?