Soruyu Anlama ve Çözme
Soru:
Şekildeki pistin çevresi 400 metre. İki hareketli araç (V₁ = 15 m/s, V₂ = 10 m/s) zıt yönlerde aynı anda harekete başlıyor. A noktasında başlayarak kaç dakika sonra karşılaşırlar?
Problem Çözümü
Soru, iki hareketlinin zıt yönlerde hareket ederek birbirleriyle karşılaşma süresini hesaplamamızı istiyor. Bunun için aşağıdaki adımları izliyoruz:
Adım 1: Temel Bilgiler
- Pist çevresi: 400 metre
- Birinci hız (V₁): 15 m/s
- İkinci hız (V₂): 10 m/s
Adım 2: Göreceli Hız (Toplam Hız)
İki hareketli zıt yönde hareket ediyor. Bu durumda karşılaşma süresini hesaplarken hızları toplayarak kullanıyoruz:
V_{\text{toplam}} = V₁ + V₂ = 15 + 10 = 25 \, \text{m/s}
Adım 3: Karşılaşma Süresi
Karşılaşma süresini hesaplamak için formül:
t = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Toplam Hız}}
- Şekildeki pistin çevresi 400 metre olduğu için araçlar ilk karşılaşmalarını bu mesafede gerçekleştirecekler. Formülü uygulayalım:
t = \frac{400}{25} = 16 \, \text{saniye}
Adım 4: Saniyeyi Dakikaya Çevirme
Sonuç 16 saniye. Bu değeri dakikaya çevirmek için:
\text{Dakika} = \frac{\text{Saniye}}{60}
\text{Dakika} = \frac{16}{60} = \frac{4}{15} \, \text{dakika}
Sonuç:
Araçlar 4/15 dakika sonra karşılaşacaklar. Bu, testteki A şıkkıdır.
Cevap: A) 4/15
Eğer başka sorun varsa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! 
@Mehmet_TUNCEZ
Şekildeki pistin çevresi 400 metredir, V₁ = 15 m/s ve V₂ = 10 m/s hızla zıt yönlerde harekete başlayan iki hareketli, kaç dakika sonra karşılaşırlar?
Answer:
Adım 1: Temel Bilgiler
- Çevre (C) = 400 m
- Hızlar (V₁, V₂) = 15 m/s ve 10 m/s
- Zıt yönlerde hareket ettikleri için hızları toplanır: V₁ + V₂ = 15 + 10 = 25 m/s
Adım 2: Karşılaşma Anına Kadar Alınan Toplam Yol
İlk kez karşılaşmaları için toplam 400 metrelik pistte birbirlerine doğru ilerlemeleri gerekir.
Adım 3: Karşılaşma Zamanının Hesaplanması
t = \frac{\text{mesafe}}{\text{toplam hız}} = \frac{400}{25} = 16 \text{ saniye}
Adım 4: Saniyeyi Dakikaya Çevirme
1 dakika = 60 saniyedir. Dolayısıyla:
16 \text{ saniye} = \frac{16}{60} \text{ dakika} = \frac{4}{15} \text{ dakika}
Dolayısıyla ilk karşılaşma, hareketin başlamasından tam 4/15 dakika sonra gerçekleşir.
Şekildeki Pistte Zıt Yönlerde Hareket ve Karşılaşma Süresi Kaç Dakikadır?
Merhaba! Bu soru, bir pistin çevresinde iki hareketlinin zıt yönlerde sabit hızlarla hareket etmesi durumunda ilk karşılaşma zamanını bulmaya yöneliktir. Soruda pistin çevresi 400 metre, birinci hareketlinin hızı 15 m/s, ikinci hareketlinin hızı ise 10 m/s olarak verilmiştir. İki hareketli aynı noktadan (A noktası) zıt yönlerde harekete başladığında, ilk kez ne kadar süre sonra buluşacakları sorulmaktadır.
Aşağıdaki kapsamlı incelemede, bu hareket problemini adım adım çözerek, konuyla ilgili kavramları derinlemesine ele alacağız. Ayrıca hareket ve karşılaşma ile ilgili diğer senaryolara da değinip, pekiştirmeyi sağlayacak örnekler sunacağız. Yaklaşık 2000’den fazla kelimelik (detaylı ve kapsamlı) bir açıklamayla konuyu olabildiğince derinlemesine inceleyeceğiz. En sonda kısa bir özet ve tablo yer alacak, ardından kullanıcı etiketlenerek yanıtımızı tamamlayacağız.
İçindekiler
- Problem Tanımı
- Temel Kavramlar ve Tanımlar
- Problemde Verilen Bilgiler
- Çözüm Yöntemi ve Adım Adım İşlem
- Benzer Problemler ve Genel Çıkarımlar
- Hareket Problemlerine Yönelik Ek Bilgiler
- Adım Adım Örneklerle Pekiştirme
- Sonuçların Tablosu ve Değerlendirmesi
- Sıkça Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Özet ve Genel Değerlendirme
- Kaynaklar
1. Problem Tanımı
Bu problemde, bir koşu pisti veya dairesel bir yolun çevresinde hareket eden iki farklı yarışçı, sürücü veya hareketli söz konusudur. Pist kapalı bir şekil (genellikle daire) olduğundan, zıt yönlerde hareket eden iki varlık bir süre sonra pist üzerinde kesişmek (karşılaşmak) durumundadır. Fiziksel olarak “ilk buluşma” anı, iki hareketlinin konumunun aynı olduğu ilk zaman noktasıdır.
Bu tarz sorularda şu tip sorular karşımıza sıklıkla çıkar:
- İlk kaç saniye (veya dakika) ya da saat sonra buluşurlar?
- Aynı noktadan başlayıp aynı yöne hareket ettiklerinde ne zaman tekrar aynı konuma gelirler?
- Bir turu kaç saniyede/dakikada tamamlarlar ve kaç tur sonunda karşılaşırlar?
Buradaki temel soru: “Hızları 15 m/s ve 10 m/s olan iki hareketli, 400 metrelik pistte zıt yönlerde hareket ettiklerinde, aynı anda A noktasından start alırlarsa kaç dakika sonra ilk kez karşılaşırlar?”
2. Temel Kavramlar ve Tanımlar
- Hız (v): Bir cismin birim zamanda aldığı yol. SI birim sisteminde m/s veya km/h cinsinden ifade edilir.
- Zıt Yönlerde Hareket: İki hareketli, başka bir deyişle iki kişi ya da obje, bir çember veya düz bir pist üzerinde ters yönlere doğru ilerliyorsa, relative (göreli) hızları toplama şeklinde hesaplanır.
- Relative (Göreli) Hız: İki farklı hareketlinin birbirine göre hızını belirtir. Zıt yönde ilerleyen hareketliler için relative hız, v_1 + v_2 ile bulunur. Aynı yönde ilerleyen hareketlilerde ise relative hız, |v_1 - v_2| şeklinde olur.
- Çevre (C): Bir daire ya da kapalı pistin etrafını çevreleyen toplam mesafenin uzunluğu. Burada 400 metre olarak verilmiştir.
- Zaman (t): İstenilen eylemin gerçekleşmesi için harcanan süre. SI biriminde saniye (s) olarak kullanılır; dakikaya çevirirken 60 ile bölme/çarpma ilişkisi bulunur.
Bu kavramlar, problem çözüsü boyunca temel referans noktaları olarak karşımıza çıkacaktır.
3. Problemde Verilen Bilgiler
- Pistin Çevresi: 400 metre
- Birinci Hareketli Hızı (v₁): 15 m/s
- İkinci Hareketli Hızı (v₂): 10 m/s
- Hareket Yönleri: Zıt (biri saat yönünde, diğeri saat yönünün tersinde gibi düşünebilirsiniz)
- Başlangıç Noktası: Aynı (A noktası)
- Başlangıç Zamanı: Ortak (aynı anda harekete başlıyorlar)
- Amaç: İlk kaç dakika sonra tekrar aynı noktada karşılaşacaklarını bulmak
4. Çözüm Yöntemi ve Adım Adım İşlem
Hareket problemlerinde en kritik kısım, doğru ve basit bir denklem kurabilmektir. Zıt yönlerdeki hareketlerde en hızlı ve pratik yöntem, göreli hızı dikkate alarak mesafenin ne kadar sürede “kapanacağını” bulmaktır.
4.1. Zıt Yönlü Hareket ve Göreli Hız
- İki hareketli zıt yönlerde hareket ettiğinde, birbirlerine doğru yaklaşma hızları (relative hız) v_1 + v_2 olur.
- Bu problemde v_1 = 15\text{ m/s}, v_2 = 10\text{ m/s} olduğu için relative hız:v_\text{relative} = 15 + 10 = 25 \, \text{m/s}
4.2. İlk Karşılaşma Zamanının Hesaplanması
- Zıt yönlerde hareket eden bu iki hareketli, birbirlerine doğru toplamda 25 m/s hızla yaklaşmış olurlar.
- Pist kapalı olduğu için, ilk kör bakışla “birbirlerini yakalama” mesafesinin 400 metre (pistin çevresi) olduğunu düşünebiliriz.
- Başlangıçta ikisi aynı noktada ama farklı yönlere gittikleri için, birbirleriyle çember üzerinde “tam tur farkı” ile karşı karşıya gelirler.
- Pistin toplam uzunluğu: 400 m
- Relative hız: 25 m/s
- Zaman (ilk buluşma) = (pistin çevresi) / (relative hız) = 400 / 25
Buradan:
t = \frac{400}{25} = 16 \text{ saniye}
4.3. Zamanın Dakikaya Dönüştürülmesi
16 saniye, dakikaya çevrildiğinde:
16 \text{ saniye} = \frac{16}{60} \text{ dakika} = \frac{4}{15} \text{ dakika}
Dolayısıyla ilk karşılaşma süresi 4/15 dakika (yaklaşık 0,2666… dakika) olarak bulunur. Çoktan seçmeli sorularda 4/15 dakika genellikle doğrudan bir seçenek olarak karşımıza çıkar ya da sürenin saniye cinsinden (16 s) verildiği durum görülür.
Sonuç: İlk kez 4/15 dakika sonra karşılaşırlar (yani 16 saniye sonra).
5. Benzer Problemler ve Genel Çıkarımlar
Bir pistin çevresinde hareket eden iki kişinin veya cismin zıt yönlü yada aynı yönlü olması temel farkı yaratır. Zıt yönde, relative hız toplama şeklinde alınır. Aynı yönde ise fark şeklinde alınır.
5.1. Aynı Yönlü Hareket
Eğer iki kişi aynı yönde hareket etseydi:
- Relative hız: v_1 - v_2 (hangisi büyükse onun hızı, diğeri çıkarılır)
- İlk yakalama (karşılaşma) anı, iki hareketli arasındaki hız farkının pist çevresini kapatacağı süreye denk gelir.
Örneğin aynı problemde, v₁ = 15 m/s ve v₂ = 10 m/s de olsa ve aynı yönde hareket etseler, relative hız = 5 m/s olurdu. İlk karşılaşma ya da önce-sona varma vb. durumlar buna göre bulunurdu.
5.2. Birden Fazla Tur ve Sürekli Karşılaşma
Sıklıkla sorulan başka bir soru da “Bu iki hareketli 3 defa ne zaman karşılaşır?” veya “Yarış süresince kaç kere karşılaşırlar?” şeklindedir. Burada:
- İlk karşılaşma 16 s
- İkinci karşılaşma, her ikisi de pistte koşmaya devam ediyorsa, “ek mesafeler + relative hız” hesabı üzerinden teker teker bulunur.
Ancak bu problemde sadece ilk karşılaşma sorulduğundan, 16 saniye (4/15 dakika) cevabı burada yeterlidir.
6. Hareket Problemlerine Yönelik Ek Bilgiler
Bu bölümde, dairesel pist üzerindeki hareket problemlerinde genel olarak fayda sağlayacak kavramlara değineceğiz.
6.1. Çember Üzerinde Hareketin Özellikleri
- Dairesel pist: Nesneler hep aynı yörünge üzerinde olduğu için, konum zamanla tekrar tanımlanabilir.
- Çevre: Toplam bir tam tur uzunluğudur.
- Herhangi bir noktada karşılaşma: Yalnızca aynı yönlü hareketlerde değil, zıt yönlü hareketlerde de “konum eşitliği” (aynı açısal konum ya da aynı doğrusal konum) şarttır.
- Konum Denkliği: A noktasından başlayan iki harekilli, t sürede aldıkları yolların (mod 400 metre) aynı olması ya da birinin aldığı yol ile diğerinin aldığı yolun toplamı 400 metrenin katlarına eşit olması (zıt yönde olduklarında) anlamına gelebilir.
6.2. Sabit Hız, Ortalama Hız ve Ani Hız
Fizikte “sabit hız” demek, hareketlinin hızı zamanla değişmiyor demektir. Bu tür soruların çoğunda hava direnci, hızlanma, yavaşlama ihmal edilir ve sabit hız varsayılır.
- Ani Hız (Instantaneous Velocity): Herhangi bir andaki hız. Sabit hızda bu, sürekli aynı değerdir.
- Ortalama Hız (Average Speed): Toplam alınan yolun toplam zamana bölümü. Sabit hızda ortalama hız ile ani hız aynıdır.
6.3. Çevre ve Dairevi Pist Problemlerinde Stratejiler
- Relative hız yaklaşımı: En pratik yol, özellikle zıt yönlerde hareket varsa v_{\text{rel}} = v_1 + v_2.
- Zaman denklemi: Karşılaşma için gereken zaman = (Kapanması gereken mesafe) / (göreli hız). Dairede zıt yön için “kapanması gereken mesafe” çoğunlukla pistin çevresidir (ilk karşılaşmada).
- Daha sonraki karşılaşmalar: Birden fazla tur ya da tekrar karşılaşmalar için, (pistin çevresi) × (karşılaşma sayısı) gibi genişletilmiş mesafe üzerinden hesaplar yapılır.
7. Adım Adım Örneklerle Pekiştirme
Burada, benzer yapıdaki farklı sorularla pekiştirme yapacağız. Böylelikle hem formülü hem de süreci daha iyi anlayabilirsiniz.
7.1. Örnek 1: Basit Zıt Yön Problemi
- Pist çevresi: 300 m
- Hızlar: 5 m/s ve 7 m/s
- Aynı noktadan zıt yönlü hareket
Relative hız = 5 + 7 = 12 m/s
İlk karşılaşma süresi = 300 / 12 = 25 s
Dakika cinsinden: 25 s / 60 = 5/12 dakika ≈ 0,4167 dakika.
7.2. Örnek 2: İki Turdan Sonraki Karşılaşma
Aynı problemde, diyelim ki soru: “2 tam tur sonra ilk kez ne zaman karşılaşırlar?” olsun.
- 2 tur = 2 × 300 = 600 m
- Relative hız hâlâ 12 m/s
- Zaman = 600 / 12 = 50 s
7.3. Örnek 3: Farklı Başlangıç Noktaları
Eğer hareketliler farklı başlangıç noktalarında olsalar, “ilk karşılaşma” zamanını bulmak için mesafeyi ona göre düzenlemeniz gerekir.
- Mesela A noktası ile B noktası arasında 100 m varsa ve pistin çevresi 300 m ise, bazen kapanması gereken mesafe 200 m veya 100 m gibi farklı hesaplar çıkabilir.
- Yine relative hız yöntemi kullanılabilir, ancak “başlangıçtaki fark” hesaba dahil edilir.
8. Sonuçların Tablosu ve Değerlendirmesi
Aşağıdaki tabloda, bu tip dairesel pist problemlerinde ilk karşılaşma zamanları için formül ve rakamsal sonuçlar özetlenmiştir.
| Değer | İfade / Sonuç | Örnek Uygulama |
|---|---|---|
| Pist Çevresi (C) | 400 m (soruda) | Değişken problem durumuna göre |
| Hızlar (v₁, v₂) | 15 m/s; 10 m/s | Her problemde farklı olabilir |
| Relative Hız (zıt yön) (v_rel) | v₁ + v₂ | 15 + 10 = 25 m/s |
| Zaman (ilk karşılaşma) t = C / v_rel | 400 / 25 = 16 s | Aynı yönde olsa farkını alırdık |
| Saniyeyi Dakikaya Çevirme | 16 s ÷ 60 = 4/15 dakika | Yaklaşık 0,2667 dakika |
| Nihai Cevap | 4/15 dakika | Yaklaşık 16 saniye |
Bu tablo, söz konusu sorunun çok net bir şekilde 4/15 dakika sonucuna ulaştığını göstermektedir.
9. Sıkça Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Relative Hızı Yanlış Almak: Özellikle başlangıç seviyesindeki öğrenciler, zıt yönde hareket eden iki cismin relative hızını v_1 + v_2 olarak değil de bazen “farkı” şeklinde almaktadır. Zıt yönde ise her zaman iki hızın toplamı kullanılır.
- Mesafeyi Yanlış Yorumlamak: Zıt yönde ilerledikleri için bazen “toplam mesafe” yanıltıcı olabilir. Fakat kapalı pistte ilk karşılaşmada genellikle tek tur (pist çevresi) yeterlidir.
- Tur Sayısına Dikkat Etmemek: Soru “ilk” mi, “ikinci” ya da “üçüncü” karşılaşma mı istediğini açık sorabilir. Farklı karşılaşma sayılarında mesafeler farklı olur.
- Zaman Birimlerini Karıştırmak: Soru bazen saniye, bazen dakika veya saat isteyebilir. 16 saniyeye “16 dakika” demek büyük bir hatadır. Dikkatlice dönüştürme yapılmalıdır.
- Yanlış Çevrim Faktörü: Saniyeyi dakikaya çevirirken 60’a bölmek yerine 60 ile çarpmak gibi hatalar yapılabilir.
10. Özet ve Genel Değerlendirme
Bu problemde,
- 400 metrelik bir pistte,
- 15 m/s ve 10 m/s hızlara sahip iki hareketlinin,
- zıt yönlerden ve aynı başlangıç noktasından harekete geçtiklerinde,
- kaç dakika sonra buluşacakları sorulmuştur.
En kritik adım, bu tarz problemlerde, zıt yönlerdeki iki hareketlinin relative hızını toplamak (25 m/s) ve mesafeyi (400 m) bu değere bölerek 16 saniyeyi (4/15 dakika) bulmaktır.
Bu yaklaşım, her türlü zıt yönlü hareket problemine uygulanabilir. Hareketlilerin hızlarının farklı olduğu, aynı olduğu veya pisti birden fazla turladıkları durumlarda da konsept aynıdır, sadece mesafe veya tur sayısı değişir.
Hareket problemleri çoğu zaman günlük yaşamda da karşılaştığımız senaryoları modellediği için (örneğin iki trenin birbirine doğru gelmesi, iki bisikletlinin karşıdan karşıya sürüşü vb.) bu tip soru formatlarını iyi kavramak ilerleyen aşamalarda da avantaj sağlar.
Kısa Yanıt: İlk karşılaşma süresi = 16 saniye, yani 4/15 dakika.
Detaylı Sonuç:
- Problemde herhangi bir hız değişimi ya da ivme yok, bu yüzden basit ve doğrudan bir formül kullanılmıştır.
- Soru “Bu kadar kısa mı?” şeklinde şaşırtıcı gelebilir. Evet, eğer biri 15 m/s, diğeri 10 m/s gibi oldukça yüksek hızlara sahip koşucular veya motorlu araçlar/ bisiklet vb. olsaydı, 400 metre gibi bir mesafe 16 saniyede kapatılabilirdi.
11. Kaynaklar
- Lise ve üniversite düzeyindeki Fizik ve Matematik ders kitapları (Hareket, Kinematik ve Dinamik konuları)
- Üniversitelerin Fen-Edebiyat/Fen Fakültelerinin Fizik Bölümü kaynakları
- YÖK ve MEB ders müfredatları (Fizik 9. sınıf – Kinematik)
- Açık Ders Notları (MIT OpenCourseWare, Khan Academy vb. platformlar)
- Matematiksel Problem Çözme Stratejileri, ÖSYM Soru Bankası
- Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2018). Physics for Scientists and Engineers. Cengage Learning.
Bu tür hareket denklemlerinde, her zaman kinematik denklemler ve relative hız kavramları en temel yapı taşlarıdır.
Özet Tablo
| Aşama | Açıklama | Matematiksel Gösterim |
|---|---|---|
| 1. Veriler | Pist çevresi = 400 m, v₁ = 15 m/s, v₂ = 10 m/s, zıt yönler | - |
| 2. Relative hız | Zıt yön olduğundan v_rel = v₁ + v₂ = 25 m/s | v_\text{rel} = 25 m/s |
| 3. İlk karşılaşma mesafesi | Tam pist çevresi (400 m) | C = 400 m |
| 4. Zaman hesabı (saniye) | t = C / v_\text{rel} = 400 / 25 = 16 \text{ s} | 16 saniye |
| 5. Zamandan dakikaya geçiş | 16 \text{ saniye} = 16/60 = 4/15 \text{ dakika} | 4/15 dakika |
| 6. Nihai Sonuç | 4/15 dakika | Yaklaşık 0,2667 dakika |
Son Söz ve Hatırlatma
Bu sorunun cevabı 4/15 dakika (yaklaşık 16 saniye) olarak bulunur. Problemdeki yüksek hız değerleri (15 m/s ve 10 m/s) günlük hayatta insan koşusu için biraz alışılmadık olsa da (15 m/s yaklaşık 54 km/h civarındadır), yine de fiziksel olarak hızın büyük değerlendiği araç veya bisiklet senaryosu düşünülebilir.
Tekrar hatırlayalım:
- Zıt yönde hareket → hızlar toplanır.
- Aynı yönde hareket → hızlar çıkarılır (büyüğünden küçüğü).
- Süre çemberin çevresi bölü relative hız olarak hesaplanır.
Bunlar temel formüllerdir ve her zaman işinize yarayacaktır.