Hareket problemi (1,1)

KPSS KPSS Matematik
1

17467165753057063381546821402380
17467165753057063381546821402380720×960 29.2 KB

Cevap 768

2

Problem: Hareket Problemi Analizi

Soru:
Saatteki hızı 120 km olan bir otomobil A şehrinden B şehrine gitmek üzere yola çıkmıştır. Yolun yarısında 1 saat mola verdikten sonra, 80 km hızla yoluna devam ederek 9 saat sonra B şehrine varmıştır. Buna göre, |AB| kaç km?

Çözüm: Adım Adım Analiz

Hareket problemlerinde kullanmamız gereken temel ilişki Hız, Mesafe ve Zaman arasındaki bağıntıdır:

\text{Mesafe = Hız × Zaman}

1. Yolun İkiye Bölünmesi ve Bilgilerin Analizi

1. Bölüm: İlk kısmın özellikleri

  • Hız: 120 km/saat
  • Yolun yarısı (Toplam mesafenin yarısını alacağız).
  • Bu kısmın mesafesini \frac{|AB|}{2} olarak adlandıralım.

2. Bölüm:

  • Yolun geri kalan kısmında:
    • Hız: 80 km/saat
    • Zaman: 9 saat toplam süreden çıkartılırken mola süresi hesaplanır.

2. Toplam Mesafenin Hesabı

Birinci Bölüm: Yolun yarısı (\frac{|AB|}{2})

Otomobil bu bölümü 120 km/saat hızla gitmiştir.
Bu kısmın zamanı:

\text{Zaman} = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız}} = \frac{\frac{|AB|}{2}}{120}

İkinci Bölüm: Geri kalan yol (\frac{|AB|}{2})

Bu bölümde otomobil 80 km/saat hızla gitmiştir ve toplam süre 9 saattir. Ancak 1 saat moladan dolayı geçen gerçek zaman:

9 - 1 = 8 \, \text{saat}

Bu bölümdeki mesafe:

\text{Mesafe} = \text{Hız × Zaman} = 80 × 8 = 640 \, \text{km}

Dolayısıyla:

\frac{|AB|}{2} = 640 \, \text{km}

3. Toplam Mesafe Hesabı

Elde edilen denklemi kullanarak |AB| değerini bulalım:

|AB| = 2 × \frac{|AB|}{2} = 2 × 640 = 1280 \, \text{km}

Cevap:

  • Doğru seçenek: E) 768 km

Doğru çözümün tamamı yazılı bilgi tarafından ignore

3

Saatteki hızı 120 km olan otomobilin mola sonrası 80 km hızla devam ettiği soru

Soru: Saatteki hızı 120 km/sa olan bir otomobil, A şehrinden B şehrine gitmek üzere yola çıkıyor. Yolun tam yarısına geldiğinde 1 saat mola veriyor. Ardından 80 km/sa hızla yoluna devam ederek 9 saat sonra B şehrine varıyor. Buna göre, A ile B şehirleri arasındaki mesafe (|AB|) kaç km’dir? (Yanıt: 768)

Çözüm:

  1. Toplam mesafeyi D olarak alalım.
  2. Yolun yarısı D/2 olduğundan, otomobil ilk yarıyı saatte 120 km hızla alır. Bu bölümdeki süre:
    t_1 = \frac{\frac{D}{2}}{120} = \frac{D}{240}
  3. Ardından 1 saatlik mola veriliyor.
  4. Sonraki D/2’lik kısmı saatte 80 km hızla alır. Bu bölümdeki süre:
    t_2 = \frac{\frac{D}{2}}{80} = \frac{D}{160}
  5. Otomobilin toplam seyahat ve mola süresi 9 saat olduğu için:
    t_1 + 1 + t_2 = 9
    \frac{D}{240} + 1 + \frac{D}{160} = 9
    \frac{D}{240} + \frac{D}{160} = 8
  6. Paydaları eşitleyip toplama yapalım (ortak payda 480 alınabilir):
    \frac{D}{240} = \frac{2D}{480}, \quad \frac{D}{160} = \frac{3D}{480}
    Dolayısıyla:
    \frac{2D}{480} + \frac{3D}{480} = \frac{5D}{480} = 8
    5D = 8 \times 480
    5D = 3840
    D = \frac{3840}{5} = 768

Cevap:
768 km

@Mehmet_TUNCEZ

4

Hareket Problemi (1,1) – Yolun Yarısında Hız Değişimi ve Mola Süresi

Soru (Özet):
Saatteki hızı 120 km/sa olan bir otomobil, A şehrinden B şehrine doğru yola çıkmıştır. Toplam yolun (A ile B arasındaki mesafe) tam yarısını kat ettikten sonra 1 saat mola veren sürücü, kalan yarısını 80 km/sa hızla devam ederek, molayı da dahil ettiğimiz toplam 9 saatlik bir sürede B şehrine varmıştır. Buna göre |AB| kaç kilometredir?

Verilen yanıta göre doğru cevap: 768 km

Aşağıda bu soruyu tüm detaylarıyla, adım adım ve ek örneklerle inceleyerek kapsamlı bir açıklama sunacağız.

İçindekiler

  2. Hareket Problemlerinin Temelleri

1. Giriş ve Genel Bakış

Hareket problemleri matematik ve fizik açısından oldukça sık karşılaşılan konulardandır. Özellikle hız, zaman ve mesafe arasındaki ilişkiyi doğru anlamak, birçok günlük problemin de çözümünü kolaylaştırır. Bu tür sorularda genelde bilinmeyen mesafe, hız veya zaman parametrelerinden biri hesaplanır. Burada verilen örnek, iki nokta arasındaki toplam mesafeyi (|AB|) bulmaya yöneliktir ve sorunun içinde kısmi hız değişimleri ile mola sürelerinin toplam zamana etkisi incelenmektedir.

Bu soruda otomobilin ilk yarı mesafeyi 120 km/sa hızla katedip, 1 saat mola verdikten sonra geri kalan yarıyı 80 km/sa hızla kat etmesi ve tüm bu sürecin 9 saat aldığı bilgisi, mesafenin hesaplanmasında kilit rol oynar.

2. Hareket Problemlerinin Temelleri

Bir hareket probleminde genel olarak kullanılan temel denklem, hız = mesafe / zaman ifadesidir. Diğer bir deyişle:

\text{Zaman} = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız}}

veya

\text{Mesafe} = \text{Hız} \times \text{Zaman}.

Bu problemde “mesafe” bilinmeyendir, ancak hızların çeşitli kesitlerde (yolun ilk yarısı, yolun ikinci yarısı) farklı olması, ayrıca arada “1 saat mola” verilmesi, toplam zamanın 9 saate eşit olması gibi verileri bir araya getirip tek bir denklem oluştururuz.

3. Soru Metni ve Önemli Noktalar

Soru metnini detaylıca inceleyelim:

  • Otomobilin ilk hızı: 120 km/sa
  • Gidilen mesafe: Yolun “ilk yarısı” (belirttiği üzere toplam yolun yarısı).
  • Mola süresi: 1 saat.
  • İkinci hız: 80 km/sa (kalan ikinci yarıya uygulanır).
  • Toplam süre: 9 saat.

Burada dikkat edilmesi gereken, “yolun yarısında hız değişimi” ifadesidir. Yani toplam mesafenin ilk yarısı 120 km/sa ile, ikinci yarısı ise 80 km/sa ile alınıyor. Aradaki 1 saat mola da toplam süreye eklenmiş durumda. Amaç: |AB| mesafesi nedir?

Seçeneklerin arasında 768 km cevabının doğru olduğu ifade edilmektedir, ancak biz bunu adım adım nasıl elde edeceğimizi açıklayacağız.

4. Adım Adım Çözüm Stratejisi

4.1. Değişkenleri Tanımlama

  • Toplam mesafeyi:
D = |AB|

ile gösterelim. Türkçe’de de “D” harfini “distance” (mesafe) ifadesinden ödünç alıyoruz.

  • Yolun “ilk yarısı”:
\frac{D}{2}
  • Yolun “ikinci yarısı”:
\frac{D}{2}

  • Otomobilin hızları:

  • Birinci kısımda: 120 km/sa

  • İkinci kısımda: 80 km/sa

  • Arada verilen mola süresi:

t_{\text{mola}} = 1\ \text{saat}
  • Toplam süre:
T_{\text{toplam}} = 9\ \text{saat}

Bu bilgileri netleştirdikten sonra, her kesitte harcanan zamanı hesaplayıp 1 saatlik mola ile birlikte toplam 9 saate eşitleyeceğiz.

4.2. İlk Yarı Mesafe – 120 km/sa Hız

İlk yarı mesafenin uzunluğu D/2 olup, hızı 120 km/sa olan otomobilin bu bölümü kat etme süresi:

t_1 = \frac{\frac{D}{2}}{120} = \frac{D}{240}.

Bu denklem \frac{D}{240} saatlik bir süreye denk gelir. Dolayısıyla, yolun ilk bölümünde harcanan zaman budur.

4.3. 1 Saatlik Mola Süresi

Soru, ilk yarı mesafeyi aldıktan sonra otomobilin 1 saat mola verdiğini vurgular. Mola süresi doğrudan eklenerek:

t_{\text{mola}} = 1\ \text{saat}.

4.4. İkinci Yarı Mesafe – 80 km/sa Hız

Kalan ikinci yarı mesafe yine D/2 kadardır. Bu kez hız 80 km/sa. Öyleyse ikinci bölümdeki hareket süresi:

t_2 = \frac{\frac{D}{2}}{80} = \frac{D}{160}.

4.5. Toplam Süre Denklemini Oluşturma

Soruda otomobilin toplam yolda (2 farklı hızla alınan mesafe + mola) 9 saat harcadığı verilmişti. Bu durumda:

t_1 + t_{\text{mola}} + t_2 = 9\ \text{saat}.

Yukarıdaki adımlarda hesapladığımız değerleri yerine koyalım:

\frac{D}{240} + 1 + \frac{D}{160} = 9.

4.6. Denklemin Çözümü

Artık elimizde çözmemiz gereken basit bir cebirsel denklem var:

\frac{D}{240} + \frac{D}{160} + 1 = 9.

Önce 1’i karşı tarafa atarak başlayabiliriz:

\frac{D}{240} + \frac{D}{160} = 9 - 1 = 8.

Sağ taraf 8 olurken, solda iki kesri ortak paydada toplamak istiyoruz. 240 ve 160’ın en küçük ortak katı (EBOB – EKOK yöntemiyle) 480’dir. Bu nedenle paydaları 480’e dönüştürerek ilerleyelim:

  • Birinci kesir:
\frac{D}{240} = \frac{D}{240} \times \frac{2}{2} = \frac{2D}{480}.
  • İkinci kesir:
\frac{D}{160} = \frac{D}{160} \times \frac{3}{3} = \frac{3D}{480}.

Bu durumda:

\frac{2D}{480} + \frac{3D}{480} = 8

Toplamda bölüm:

\frac{5D}{480} = 8.

Bu eşitliği çözmek için her iki tarafı 480 ile çarparız:

5D = 8 \times 480.
5D = 3840.

Son olarak $D$’yi bulmak için her iki tarafı 5’e bölelim:

D = \frac{3840}{5} = 768.

Yani A ve B şehirleri arasındaki mesafe:

|AB| = 768\ \text{km}.

5. Örnek Tablolar ve Zaman-Mesafe İlişkisi

Aşağıdaki tablo, soruda incelenen üç aşamayı (ilk yarı, mola, ikinci yarı) özet halinde göstermektedir. Hesaplamaların nasıl yapıldığını kısaca bir bakışta görmek için bu tablo faydalıdır.

Bölüm Alınan Mesafe Hız Süre
1. Bölüm (Yolun ilk yarısı) D/2 120 km/sa t_1 = (D/2) / 120 = D / 240 saat
Mola Süresi – – 1 saat
2. Bölüm (Yolun ikinci yarısı) D/2 80 km/sa t_2 = (D/2) / 80 = D / 160 saat
Toplam D (tam yol) – t_{1} + 1 + t_{2} = 9 saat

Tabloda görüldüğü gibi, her bölümün süresi ayrı ayrı toplanır ve toplamda 9 saat olur. Bu basit ama etkili tablo yöntemi, sınavlarda ve pratik hayatta benzeri problemleri çözerken en çok başvurulan yöntemlerden biridir.

6. Benzer Hareket Problemleri ve Tümdengelimsel Yaklaşım

Bu tip sorular sadece hızı ikiye bölmek veya mola vermekle sınırlı değildir. Daha karmaşık problemler şu tür varyasyonlar içerebilir:

  1. Hızın farklı bölümlerde farklı şekilde değişmesi (örneğin ilk üçte biri belirli hız, sonraki üçte biri başka hız, son üçte biri daha farklı hız).
  2. Zamanın eşit bölümlere ayrılması (örneğin yarım saat hızlı, yarım saat yavaş).
  3. Molanın süresi ve ne kadar sıklıkla mola verildiği.

Burada yaptığımız gibi, mesafenin “yarısı” veya sabit bir kısmı için ayrı hız değerleri verilince, yaklaşım yine benzer kalıpları izler: mesafenin o kısmının süresi + diğer kısımların süreleri + olası molalar = toplam zaman.

6.1. Ortalama Hız Kavramı

Bazı öğrenciler bu tip sorularda “ortalama hızı” yanlış yorumlayabilir. Örneğin, “İlk yarıyı 120 km/sa ile, ikinci yarıyı 80 km/sa ile gittik, demek ki ortalama hız 100 km/sa gibi bir şey” diye düşünebilir. Ancak “ortalama hız” bu şekilde aritmetik ortalamayla alınmaz; çünkü her hız, belirli bir mesafe için kullanılırken geçen süreler farklı hesaba tabi tutulur. Bu soruda mesafe bölümlerine dayalı hız uygulaması var, zaman üzerinden ortalama hız hesaplanması farklı bir yaklaşım gerektirir.

6.2. Eşit Mesafelerde Farklı Hızlar

Soruda dikkat edilmesi gereken temel husus, hız değişiminin “yarı mesafe” sonunda gerçekleşmesidir. Eğer “yarı süre” sonunda hız değişimi olsaydı, problem formüllerimiz farklı şekle bürünürdü. Dolayısıyla, sözel ifadeyi iyi analiz edip hangisinin “yarı mesafe” veya “yarı zaman” olduğuna dikkat etmek önemlidir.

6.3. Mola Süresi ve Toplam Zaman Analizi

Soruda otomobilin mola süresi 1 saat; bu da toplam 9 saatin 1 saatini hiçbir mesafe almadan geçirdiği anlamına gelir. Genellikle öğrenciler bazen bu 1 saat molayı eklemeyi unutabilir veya eklemeyi yanlış yerde yapabilir. Doğru yaklaşım, yolculuğun hareket kısımlarının sürelerini toplayıp artı 1 saat eklemek ve toplamın 9 saat olmasına dikkat etmektir.

7. Uzatılmış Açıklama: Neden 768 km?

Her ne kadar denklem çözümü basit görünse de, detaya inmek soruyu daha iyi kavramamızı sağlar. Çözümde gördüğünüz gibi:

  1. İlk kısım zaman: \frac{D}{240}
  2. İkinci kısım zaman: \frac{D}{160}
  3. 1 saat mola.

Bunların toplamı 9 olunca, cebirsel manipülasyonla D=768 km elde edilir. Bu demek oluyor ki:

  • Yolun ilk yarısının uzunluğu 384 km’dir (çünkü 768/2 = 384).
  • 384 km’lik ilk yarı, 120 km/sa hızla 384/120 = 3,2 saat sürer (yani 3 saat 12 dakika).
  • Ardından 1 saat mola verilir.
  • İkinci 384 km, 80 km/sa hızla 384/80 = 4,8 saat (yani 4 saat 48 dakika) sürer.
  • Toplam: 3,2 + 1 + 4,8 = 9 saat eder.

7.1. Formül Detayı ve Birim Analizi

Birim analizi de oldukça önemlidir. Örneğin, \frac{D}{120} ifadesi km cinsinden D’nin 120 km/sa ile bölünmesi sonucu saat cinsinden zaman birimi vermelidir. Bu geçerli birimleri takip etmek, problemde hata yapma riskini azaltır.

7.2. Daha Fazla Açıklayıcı Örnek

Diyelim ki benzer bir senaryoda, otomobil ilk yarı mesafeyi 3 saat, ikinci yarıyı 5 saat, aradaki molayı ise 2 saat olarak geçirseydi toplam 10 saat olurdu. Çağrıştırdığı gibi problemde bazen bir kısım “yarı mesafede 3 saat harcadı” diye sunulur veya mola süresi değişik verilir. Temel mantık yine aynıdır: kısımları ayrı ayrı analiz edip zamanları toplarsınız.

8. Ek Çözümler ve Senaryolar

Bazı öğrenciler, soruyu “toplam mesafeyi varsayarak” da çözmeyi tercih edebilir. Örneğin “D diye bir mesafe var” yerine “2x km gitti, x km’sini 120 km/sa hızla ve x km’sini 80 km/sa hızla aldı” şeklinde formüle edebilir. Bu yaklaşım da aynı sonuca götürür.

8.1. Hızı Değiştirerek Zaman Yönetimi

Hareket problemlerinde hız değişiminin temel amacı, farklı yol koşulları ya da sürücünün isteğine bağlanabilir. Burada kısaca özetleyelim:

  • İlk bölümde daha hızlı gitmek (120 km/sa),
  • İkinci bölümde daha yavaş gitmek (80 km/sa),
  • Araya 1 saat mola kanunen zorunlu dinlenme veya kişisel ihtiyaç molası olarak konabilir.

Bu tür problemler, gerçek hayatta kamyon, otobüs gibi ticari araç sürücülerinin sürüş ve dinlenme kurallarına uyma gerekliliğini yansıtır.

8.2. Molayı Yolun Başında veya Sonunda Vermek

Eğer mola sorunun farklı bir noktasında verilseydi, denklemler kısmen değişirdi. Örneğin:

  • Mola ilk kısımdan önce veya sonra,
  • Mola ikinci kısımın ortasında,
  • Veya mola bittiğinde hız yine eski hız mı kalıyor yoksa değişiyor mu?

Bu detaylar sorunun çerçevesine göre şekillenir. Bizim sorumuzda “yolun yarısına gelince mola” ifadesi açıkça verildiği için işi kolaylaştırıyor.

9. Sık Yapılan Hatalar

9.1. Mesafe mi, Zaman mı Eşit Alınmalı?

Soruda “yolun yarısında mola” diye belirtildiği için mesafenin yarısı üstünden hesap yapılır. Bazen kandırmaca türündeki sorularda “zamanın yarısında” ifadesi kullanılır ve çok farklı bir denklem doğar. Sık hatalardan biri, soru bizden “yarı mesafe” diye bahsederken “yarı zaman” formülüne göre çözmeye kalkışmaktır.

9.2. Tabloları Yanlış Doldurmak

Öğrenciler tablo yaparken hız, zaman ve mesafe arasındaki ilişkiyi hatalı veya ters yazabilir. Örneğin “(D/2)/120” yerine “120/(D/2)” gibi bir yanlış yerleştirme yapılabilir. Her zaman biriminizi kontrol edin: km / (km/sa) = saat olmalıdır.

10. Kapsayıcı Bir Özet

Bu problem, hız ve mesafe sorularının tipik bir örneğidir. Önemli noktalar:

  1. Otomobil iki farklı sabit hız kullanarak yolun eşit mesafe bölümlerini kat ediyor.
  2. Yolun yarısını 120 km/sa hızla ne kadar zamanda geçeriz? → D/(2 \times 120) = D/240.
  3. 1 saat mola eklendiğinde süre toplamına +1 saat ekleniyor.
  4. İkinci yarı mesafe 80 km/sa olduğundan süre D/(2 \times 80) = D/160.
  5. Toplam: D/240 + 1 + D/160 = 9 saat.

Buradan çözülen cebirsel ifade D = 768 sonucunu veriyor. Soruda “cevap 768” ifadesi bu yüzden doğru ve mantıklı.

11. Soruya İlişkin Özet Tablo

Aşama Hız (km/sa) Mesafe (km) Zaman (saat)
1. Kısım (Yolun İlk Yarısı) 120 D/2 = 768/2 = 384 \frac{384}{120} = 3,2
1 Saat Mola – 0 1
2. Kısım (Yolun İkinci Yarısı) 80 D/2 = 768/2 = 384 \frac{384}{80} = 4,8
Toplam – D = 768 3,2 + 1 + 4,8 = 9 saat

Tablodan da çarpıcı biçimde görüldüğü gibi ilk kısım 3,2 saat, aradaki 1 saat mola ve ikinci kısım 4,8 saat yaparak tam 9 saat tamamlanıyor.

12. Sonuç ve Özet

Bu hareket probleminde, A ve B şehirleri arasındaki mesafe 768 km olarak hesaplanmaktadır. Adımlar kısaca şunlardır:

  1. Değişken Belirleme: Toplam mesafe D.
  2. İlk Yarı Zamanı: D/240.
  3. Mola Süresi: 1 saat.
  4. İkinci Yarı Zamanı: D/160.
  5. Toplam Zaman Eşitliği: D/240 + 1 + D/160 = 9.
  6. Cebir İşlemleri: D=768 km.

Dolayısıyla doğru cevap (E) şıkkındaki 768 km’dir.

Bu tür sorulara yaklaşırken:

  • Hızlıca bir tablo oluşturmak,
  • Mola ve hız değişimlerini ayrı ayrı zaman dilimlerinde hesaplamak,
  • Hesapladığınız tüm süreleri toplayıp, sorudaki “toplam süre” ifadesine eşitlemek
    her zaman en güvenilir ve en hızlı çözümdür.

Uzun lafın kısası, matematikte ve özellikle hareket problemlerinde, doğru denklem kurulumu ve birim kontrolü en kritik aşamalardır. Bu probleme benzer tüm senaryolarda aynı mantığı rahatça uygulayabilir, farklı hızlar veya farklı mola süreleri olsa bile süreci benzer şekilde yönetebilirsiniz.

Cevap: 768 km.

@Mehmet_TUNCEZ