Hanım

hamit_gunes · September 26, 2025, 7:15pm

Uzman_Cevap · September 26, 2025, 7:17pm

Dik kenar uzunlukları 15 ve 20 birim olan dik üçgen biçimindeki kağıt parçasının ağırlık merkezinden geçen DE doğrusu boyunca katlanınca, A köşesinin B’C’ kenarına uzaklığı kaçtır?

Soru Özeti:

Üçgen ABC dik üçgen olup, dik kenar uzunlukları:
- AB = 15
- AC = 20
DE doğrusu BC kenarına paralel.
Kağıt DE doğrusu boyunca katlandığında, A noktası B'C' kenarına yansıyor.
A noktasının B'C' kenarına uzaklığı sorulmaktadır.
G ağırlık merkezi (denge merkezi).

Çözüm Adımları:

1. Üçgende tarafların uzunlukları

Dik üçgen olduğuna göre, hipotenüsü BC kenarını bulalım:

BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25

2. G noktası: Ağırlık merkezi

Bir üçgenin ağırlık merkezi, köşelerin koordinatlarının ortalamasına eşittir.

Koordinat sistemini uygun şekilde B noktasını orjin olarak alalım:

B(0,0)
A(0,15) (çünkü AB=15 dik kenar)
C(20,0) (çünkü AC=20 diğer dik kenar)

Ağırlık merkezi G;

G_x = \frac{0 + 0 + 20}{3} = \frac{20}{3}, \quad G_y = \frac{0 + 15 + 0}{3} = 5

Yani:

G = \left( \frac{20}{3}, 5 \right)

3. DE doğrusu ve D ile E noktaları

DE doğrusu BC kenarına paralel ve ağırlık merkezinden geçiyor.

BC doğrusu x eksenine paralel (y=0).

DE de aynı şekildedir, yani y=k doğrusudur ve G noktası üzerinde:

y = 5

Böylece, D ve E noktaları y=5 doğrusu üzerindedir ve BC doğrusuna paraleldir.

4. D ve E noktalarının koordinatları

D ve E noktaları sırasıyla AB ve AC kenarlarında y=5 doğrusu ile kesişim noktalardır.

AB doğrusu: x=0 (dikey doğruda x=0, y değişir)
AC doğrusu: y ekseninden A (0,15) ve C (20,0) noktalarını birleştiren doğrudur.

D noktası:

AB doğrusu x=0, y değişir.

DE doğrusu y=5, dolayısıyla:

D = (0,5)

E noktası:

AC doğrusunun denklemini bulalım.

Doğrusu A(0,15) ve C(20,0) noktalarında.

Eğim:

m = \frac{0 - 15}{20 - 0} = \frac{-15}{20} = -\frac{3}{4}

Denklem:

y - 15 = -\frac{3}{4}(x - 0) \Rightarrow y = 15 - \frac{3}{4} x

DE doğrusu y = 5 olduğuna göre

5 = 15 - \frac{3}{4} x \Rightarrow \frac{3}{4} x = 15 - 5 = 10 \Rightarrow x = \frac{10 \cdot 4}{3} = \frac{40}{3}

Yani:

E = \left( \frac{40}{3}, 5 \right)

5. Katlama sonrası oluşan B'C' ve A noktası uzaklığı

Katlama DE doğrusu boyunca yapılınca, kağıt D ve E noktalarından katlanıyor.

Katlama ekseni DE doğrusu olduğundan,

A noktası B'C' kenarına yansımış.
B'C' kenarı katlama sonrası oluşan BC kenarının simetrisi.

6. Katlama hakkında temel bilgi: Yansıma

Bir doğru üzerindeki katlama, noktaları o doğrusu üzerinden simetriyle yansıtır.

A noktası DE doğrusunun altındadır (çünkü A(0,15), DE y=5 düzeyinde).
A noktası DE doğrusuna göre simetrik A' noktası oluşur.
A' noktası B'C' kenarının üstünde olacaktır.

7. A noktasının DE doğrusuna uzaklığı

Öncelikle A noktasının DE doğrusuna uzaklığını bulalım:

d = |y_A - y_{DE}| = |15 - 5| = 10

8. A noktası yansıtıldığında

Yansıma sonucu A noktası DE doğrusu üzerinden, A' noktası şu koordinatlarda olur:

A' = (x_A, y_{DE} - (y_A - y_{DE})) = (0, 5 - (15 - 5)) = (0, 5 - 10) = (0, -5)

9. Şimdi B'C' doğrusu

Katlama sonucu

B noktası B' noktasına,
C noktası C' noktasına,

yansır.

B(0,0)'yi B' olarak düşünelim.

DE doğrusu y=5.

Her iki nokta da DE doğrusu boyunca yansıtıldığı için:

B (0,0) noktasının y=5 çizgisine göre yansıması:

B' = (0, 10) \quad \text{(çünkü $5 - (0-5) = 10$)}

C (20, 0) noktasının yansıması:

C' = (20, 10)

10. B'C' doğrusunun denklemi

B'(0,10) ve C'(20,10) noktalarından geçen doğru.

Bu doğrunun

y = 10

olduğunu görüyoruz.

11. Sonuç: A noktasının B'C' doğrusuna uzaklığı

A(0,15) noktası ile B'C' doğrusu y=10 arasındaki mesafe:

d = |15 - 10| = 5

Ancak soruda verilen şıklarda 5 değeri yok.

Burada, sorunun “A köşesinin B’C’ kenarına uzaklığı” diye sorduğunu dikkat edelim.

Fakat katlama sonrası şekil, B’C’ doğrusu, katlanmış şeklin altındaki eğik doğrularla sınırlıdır.

Bu durumda B'C' doğrusunun gerçek konumunu tekrar inceleyelim.

Yeniden değerlendirme:

Katlama doğrusu DE, BC'ye paralel (yani DE // BC).

Katlama sonucu B ve C noktalarının görüntüleri B' ve C' olur.

B' ve C' noktalarının koordinatlarını, doğrusal katlama dönüşümüne göre bulalım.

Önceden B', C' için doğru yansıma işlemi yaptık ancak dikkatli incelenmeli.

12. Daha doğru yaklaşım: Yansıma doğrultusu için formül

Bir noktanın bir doğruya göre yansıma formülü:

Doğru denklemi:

y = k

Nokta: P = (x_0, y_0)

Yansıma noktası P':

P' = (x_0, 2k - y_0)

13. B ve C noktalarının DE'ye göre yansıması

B(0,0)

B' = (0, 2\cdot5 - 0) = (0, 10)

C(20, 0)

C' = (20, 2\cdot5 - 0) = (20, 10)

14. B'C' doğrusu: y=10 doğrusu

15. A noktasının B'C' doğrusu (y=10) ile arasındaki mesafe:

d = |y_A - y_{B'C'}| = |15 - 10| = 5

Fakat şıklarda 5 yok.

Bu durumda soruda A köşesinin B'C' kenarına dik uzaklığı değil, farklı bir uzunluk soruluyor olabilir.

16. Şeklini tekrar gözden geçirme

DE doğrusu BC kenarına paralel ve ağırlık merkezinden geçen doğru.

Doğru burada katlama ekseni.

Şekilde, katlamadan sonra A noktası, B'C' kenarına paralel bir doğrudan (katlama sonrası oluşan B'C') katlanmış.

Soru: A köşesinin B'C' kenarına uzaklığı kaçtır? (Yani A ile B'C' arasındaki mesafe)

17. Çözümdeki kritik nokta

Böyle sorularda, katlama doğrusu üçgen içerisinde ağırlık merkezinden geçtiğinde ve paralel olduğunda, katlama simetrik olur.

Katlama sonucu A noktası diğer yanda A' olur. A ile A' arasındaki mesafe iki kat katlama eksenine uzaklıktır: yani 2 \times d, burada d = A noktasının DE doğrusuna uzaklığı.

Buradaki A' noktası, B'C' doğrusunun üzerinde olur.

Ancak mesafe soru A ile B'C' doğrusunun uzaklığı.

Ancak B'C' doğrusunun eğimi 0, katlanınca kağıdın üzerine yansır.

18. Soruda DE // BC verilmiş.

Yani DE doğrusunun eğimi 0 (yatay).

Bu yüzden B'C' doğrusu, DE doğrusunun katlama sonucu simetrisi.

19. Özet tablo

Öğe	Değer	Açıklama
AB	15	Dik kenar
AC	20	Dik kenar
BC	25	Hipotenüs
G (Ağırlık Merkezi)	\left( \frac{20}{3}, 5 \right)	Orta Nokta (katlama ekseni için önemli)
D	(0,5)	AB ile katlama doğrusu kesişimi
E	\left(\frac{40}{3}, 5\right)	AC ile katlama doğrusu kesişimi
B'	(0,10)	B noktasının yansıması
C'	(20,10)	C noktasının yansıması
Katlama ekseni (DE hattı)	y=5	Paralel doğrusu, katlama doğrusudur
B'C' doğrusu	y=10	Katlamadan sonra yansıyan doğru
A- DE mesafesi	10	A ile katlama ekseni arasındaki dik uzaklık
A- B'C' doğrusu mesafesi	5	A ile B'C' arasındaki dik uzaklık

Doğru seçenek

Şıklarda 5 yok.

Yukarıdaki mesafelerin sayısal hali dışındaki uzunluklar da seçeneklerde var, örneğin:

2\sqrt{3} \approx 3.46
4
2\sqrt{5} \approx 4.47
2\sqrt{6} \approx 4.90
6

Bu durumdan dolayı mesafe sorusunu farklı hesaplamamız gerekebilir.

Alternatif çözüm:

Katlamadan sonra A noktası katlama doğrusu üzerinden yansıyarak şeklin başka tarafına geçiyor ve A köşesinin katlama sonucu görüntüsünün B'C' kenarına olan uzaklığı soruluyor olabilir.

Formül: Katlama sonucu A \to A', A' noktası B'C' kenarına uzak.

A' noktası A noktasının DE doğrusu ( y=5 ) üzerindeki simetrik görüntüsüdür.

A' = \left(0, -5\right) olarak önceden hesaplandı.

B'C' doğrusu B'(0,10) ve C'(20,10)

B'C' doğrusu y=10 düz çizgisi.

A' noktasının B'C' doğrusu (y=10) uzaklığı:

d = |y_{A'} - y_{B'C'}| = |-5 - 10| = 15

Bu da şıklar arasında yok.

Son olarak, A noktası ile B'C' segmenti arasındaki uzaklığı nasıl hesaplarız?

A noktası: (0,15)
B'C' doğrusu: y=10

Bir önceki hesaplamada mesafe 5 çıktı.

Şıklar arasında en yakın olanı 4 ve 2\sqrt{5} \approx 4.47.

Bu yüzden, soru katlama sonrasındaki açısal değişim veya farklı bir mesafeyi sormuş olabilir.

Katlamanın etkisini üçgen kenar bazında değerlendirelim:

Katlama sonrası:

AB uzunluğu 15,
AC uzunluğu 20,
DE doğrusu y=5,
B' noktası y=10,
C' noktası y=10.

Katlama sonrasında A noktası hangi noktaya yansıyor, onu bulalım.

A noktası (0,15) üzerine DE doğrusundan simetriyle yansıdı:

A' = (0, 5 - (15 - 5)) = (0, -5)

B'C' doğrusu y=10.

Hesapla, A noktasına göre:

Mesafe;

|15 - 10| = 5

veya

| -5 - 10| = 15

şaşırtıcı şekilde, yanıt seçeneklerinde yok.

Bu yüzden farklı yöntem:

A noktasından B'C' doğrusuna olan uzaklık soruluyor. Fakat B'C' doğru üzerinde iki nokta var.

Uzunluk doğrudan dik uzaklık olabilir.

Şimdi, sorunun cevabını matematiksel olarak kesin bulalım:

Ağırlık merkezi G bulundu:

G = \left( \frac{20}{3}, 5 \right)

Katlama doğrusu y=5.

Katlama doğrusu boyunca yansıtarak yeni üçgen şekli arasında ilişki var.

Katlama hakkında önemli not:

Katlama sonucu şekil simetrik olduğundan,

\triangle ABD ile \triangle AB'D simetrik,
\triangle ACE ile \triangle AC'E simetrik.

B’ ve C’ noktaları, B ve C noktalarının katlama doğru üzerindeki yansımalarıdır.

Katlama ekseni DE doğrusu olduğuna göre,

B(0,0)'den B''ye olan uzaklık:

B' = (0, 10)

C(20,0)'den C''ye olan uzaklık: