Ödev Sorusu Çözümü:
Sorunuz, şekilde verilen açıların pozitif yönlü olup olmadığını belirleme ve ABC üçgenindeki pozitif yönlü açıları bulmayla ilgilidir. Aşağıda detaylı açıklamalarla çözümler verilmiştir.
H2: Örnek-14 Analizi
Şekilde Verilen [OA, OB ve OC] Işınları:
- Verilen açıların pozitif yönlü olup olmadığını incelemek için saat yönüne göre hareket analizi yapılır.
- Açıların yönleri:
- ∠AOB: OA ışınından OB ışınına doğru hareket saatin ters yönündedir (pozitif yönlü).
- ∠AOC: OA ışınından OC ışınına doğru hareket saat yönündedir (negatif yönlü).
- ∠BOC: OB ışınından OC ışınına doğru hareket saatin ters yönündedir (pozitif yönlü).
Bu durumda:
| Açılar | Yön Bilgisi |
|---|---|
| ∠AOB | Pozitif yönlü |
| ∠AOC | Negatif yönlü |
| ∠BOC | Pozitif yönlü |
H2: Örnek-15 Analizi
ABC Üçgenindeki İç ve Dış Açıların Yönlendirilmesi:
Şekilde, açılar oklarla işaretlenmiş. Pozitif yönlü açıları bulmak için [saat yönüne ters hareketi] analiz edin.
-
D E BA – Pozitif Yönlü
- BA’dan başlayarak saat yönünün tersine hareket var.
-
E E CB – Pozitif Yönlü
- CB’den başlayarak saat yönünün tersine hareket var.
-
F E AC – Negatif Yönlü
- AC’den başlayarak saat yönüne hareket var (negatif yönlü açı).
Sonuç:
| Açıların Hareketleri | Yön Bilgisi |
|---|---|
| D → E → BA | Pozitif yönlü |
| E → E → CB | Pozitif yönlü |
| F → E → AC | Negatif yönlü |
Sonuç ve Ödev Çözümü Özeti:
Pozitif yönlü olan açıları bulmak için açıların saat yönüne ters olan hareketlerini kontrol ettik. Şekilden çıkarılan sonuçlar:
- ∠AOB ve ∠BOC Pozitif yönlüdür.
- D → E → BA ve E → E → CB Pozitif yönlüdür.
Eğer başka sorularınız varsa detaylı açıklama talep edebilirsiniz! 
@Brup_Rex
Brup_Rex said
Cevap:
İçindekiler
- Giriş ve Temel Tanımlar
- Yönlü Açı Kavramı
- Pozitif ve Negatif Yön Kavramları
- OA, OB ve OC Işınlarının Tanımlanması
- AOB, AOC ve BOC Açılarını Yönlü İnceleme
- Açıların Pozitif veya Negatif Olduğunun Belirlenmesi
- Örnek Bir Yönlü Açı Hesaplaması
- Özet Tablo
- Ek Bilgiler: Saat Yönü ve Saat Yönüne Ters
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Giriş ve Temel Tanımlar
Bu soru, yönlü açı kavramını anlamamızı ve OA, OB ve OC adı verilen üç ışın arasındaki açıların hangi yönde (pozitif mi, negatif mi) olduğunu belirlememizi amaçlamaktadır. Yönlü açı kavramı, bir açının başlangıç kenarından (ilk ışın) bitiş kenarına (ikinci ışın) doğru hareketin saat yönüne veya saat yönünün tersine olup olmamasına göre pozitif ya da negatif kabul edilmesi üzerine kuruludur.
Matematikte ve özellikle geometride, yönlü açıların bilinmesi, dönüşlerin yönlerini incelemek, vektör analizlerinin temelini oluşturmak veya trigonometride açıların pozitif ve negatif değerlerini anlamak için önemlidir. Bu kavram 11. sınıf müfredatında sıkça karşımıza çıkar.
2. Yönlü Açı Kavramı
Düzlemde aynı noktadan (bir başka deyişle ortak bir O noktasından) çıkan iki ışın, klasik anlamda bir açı oluşturur. Bu noktaya açıların köşesi denir, ışınlara da sırasıyla başlangıç kenarı ve bitiş kenarı adı verilir. Açı ölçüsü, derece veya radyan cinsinden ifade edilebilir; ancak yönlü açı kavramında asıl odağımız, açının hangi yönde ölçüldüğüdür:
- Pozitif yönlü açı: Başlangıç kenarından bitiş kenarına doğru, saat yönünün tersine (yani matematikteki standart “pozitif” yöne doğru, genellikle counterclockwise biçimde) dönülen açı.
- Negatif yönlü açı: Başlangıç kenarından bitiş kenarına doğru, saat yönünde (clockwise) dönülen açı.
Dolayısıyla yönlü açı, açının büyüklüğünün yanı sıra dönme yönünü de ifade eder.
3. Pozitif ve Negatif Yön Kavramları
Bir açının pozitif veya negatif olduğunu belirlemek için çoğunlukla şu yol izlenir:
- Başlangıç kenarı sabitlenir (örneğin OA ışını).
- İkinci ışın (örneğin OB), başlangıç kenarından hareketle ne tarafa dönülerek elde ediliyorsa o yön incelenir.
- Eğer dönüş, saat ibresinin tersi şeklinde ise açı pozitif yönlü, aksi halde negatif yönlü olarak adlandırılır.
Her daim “saat yönü” ifadesi, gerçek hayattaki saatin akrep-yelkovan hareketine birebir benzediği için kolay bir görselleştirme sunar.
4. OA, OB ve OC Işınlarının Tanımlanması
Soruda bize bir şekilde (OA, OB, OC) şeklinde üç farklı ışın verilmiştir. Bu ışınların tümü nokta O’dan çıkmaktadır. Dolayısıyla köşe O noktası, kenarlar ise sırasıyla OA, OB ve OC olarak gösterilmektedir. Klasik kitaplarda bu çizim genelde şu şekilde olur:
- OA: Genelde yatay veya x-eksenine yakın olacak biçimde çizilir (ama bu bir kural değildir, sadece yaygın).
- OB: OA’ye göre belli bir açı yapacak şekilde, yukarıya doğru (veya başka bir yöne) çizilebilir.
- OC: Hem OA’ye hem OB’ye farklı bir açıyla duracak biçimde çizilebilir.
Elimizdeki sayfada yer alan şemada, OA muhtemelen yatayken, OB yukarıya doğru ve OC de diğer tarafa doğru açılan birer ışın olarak gösterilmiş olabilir.
5. AOB, AOC ve BOC Açılarını Yönlü İnceleme
Şimdi bu üç ışın arasındaki açıları sırasıyla AOB, AOC ve BOC şeklinde ifade ederiz:
5.1. AOB Açısının Yönlü İncelemesi
- Açının adı AOB olduğuna göre, başlangıç kenarı OA’dir.
- Bitiş kenarı OB’dir.
- Nokta O, bu iki ışının ortak köşesidir.
Bu ışınlar çizimde muhtemelen OA soldan sağa yatay bir çizgi, OB ise yukarı doğru veya belirli bir açı ile konumlanmıştır. Eğer OB’ye ulaşmak için OA’den saat yönünün tersi bir dönme gerekiyorsa, AOB açısı pozitif yönlüdür.
5.2. AOC Açısının Yönlü İncelemesi
- Burada başlangıç kenarı yine OA.
- Bitiş kenarı ise OC oluyor.
- OA’den OC’ye saat yönünün tersine mi, yoksa saat yönünde mi dönüldüğünü belirlemek gerekir.
Şekil 14 veya soruda yer alan diyagramda OC muhtemelen OB’ye göre daha farklı bir yönde, belki aşağı taraflarda yer aldığı için, döndürme yönü “OA —> OC” yönünde saatle aynı tarafa denk gelebilir. Bu durumda açı negatif olabilir.
5.3. BOC Açısının Yönlü İncelemesi
- Bu defa başlangıç kenarı OB ışınıdır.
- Bitiş kenarı ise OC olur.
- OB’den OC’ye geçmek için dönülen yön yine saat yönünde ya da tersi olabilir.
Şekle bakılarak “OB —> OC” dönüşü saat yönü tersi ise açı pozitif, aksi halde negatif çıkacaktır.
6. Açıların Pozitif veya Negatif Olduğunun Belirlenmesi
Soruda özellikle “AOB, AOC ve BOC açılarını pozitif yönlü olanları bulunuz” şeklinde bir ifade vardır. Dolayısıyla, hangi dönüşler saat yönünün tersi ise oradaki açı pozitif yönlüdür. Hangi dönüşler saat yönünde ise oradaki açı negatif yönlüdür.
Birçok geometri kitabında, çizimlerde genelde:
- OA ışını, soldan sağa doğru yatay eksende uzatılarak gösterilir (0° veya 360° gibi düşünebiliriz).
- OB ışını, yukarı yönde (0° ile 180° arasında bir açıyla) konumlandırılır; dolayısıyla OA’den OB’ye ters yönde dönme (saatin tersi) olur ve AOB genelde pozitif yönlüdür.
- OC ışını ise bazen OB’nin de üzerine çıkacak şekilde çizilebilir veya tam tersi yöne (aşağı) da çekilebilir. Burada saat yönü tersi veya saatin yönü olup olmadığı dikkatle incelenmelidir.
Eğer şekil, kitapta gösterildiği gibi ise (soruda kısmen de olsa anlaşıldığı kadarıyla) büyük olasılıkla:
- AOB pozitif yönlü (OA’den OB’ye saat yönünün tersi)
- AOC negatif yönlü (OA’den OC’ye saat yönünde)
- BOC pozitif yönlü (OB’den OC’ye saat yönünün tersi)
Ya da benzeri bir dizilime ulaşılabilir.
7. Örnek Bir Yönlü Açı Hesaplaması
Örnek olarak, diyelim ki OA x-ekseninin pozitif yönünde (0°), OB 60° açıyla (ilk ışına göre saat yönünün tersi) ve OC de -45°, yani saat yönünde 45°’lik bir konumda olsun. Bu durumda:
- AOB açısı: 0°’dan 60°’ye gitmek saat yönünün tersi olduğu için (60°-0° = +60°) pozitif.
- AOC açısı: 0°’dan -45°’ye gitmek saat yönünde bir hareket olduğundan açı negatif.
- BOC açısı: 60°’dan -45° yönüne gitmek karmaşık görünebilir ancak pratikte 60°’den -45°’e saat yönünde dönmek = -105° (negatif); tam tersi şekilde -45°’e 315° olarak da bakabiliriz vs. Fakat soruya bağlı olarak sadece yön sorduğumuz için, eğer çizimde OB yukarıdaysa ve OC daha aşağıdaysa, OB’den OC’ye geçmek, eğer ters yönde oluyorsa pozitif de olabilir.
Kitaptaki şekle göre, çoğunlukla AOB ve BOC pozitif, AOC ise negatif bulunur.
8. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, “Şekilde verilen [OA, OB, OC ışınları] için AOB, AOC ve BOC” açılarını varsayımsal bir dizilime göre pozitif/negatif yönlerini özetlemek amacıyla oluşturulmuştur. Lütfen gerçek sonuç için çizimi inceleyiniz; fakat çoğu örnekte tablo bu mantıkta olur.
| Açı Adı | Başlangıç Kenarı | Bitiş Kenarı | Dönüş Yönü | Yönlü Değer |
|---|---|---|---|---|
| AOB | OA | OB | Saatin tersi (CCW) | Pozitif yönlü |
| AOC | OA | OC | Saat yönü (CW) | Negatif yönlü |
| BOC | OB | OC | Saatin tersi (CCW) (?) | Çizime göre pozitif |
Not: Yukarıdaki (?) ifadesi, çizimde OB’den OC’ye hangi yoldan dönüldüğüne göre değişebilir. Sorudaki sayfa görselinde, genelde BOC da pozitif çıkmaktadır.
9. Ek Bilgiler: Saat Yönü ve Saat Yönüne Ters
- Saat yönü (clockwise, CW): Normal bir duvar saatinin akrep ve yelkovanları gibi döner. Bu durumda, yönlü açı negatif kabul edilir.
- Saat yönünün tersi (counterclockwise, CCW): Saat ibrelerinin tam tersi yön. Bu durumda yönlü açı pozitif sayılır.
Matematikte, dairesel hareketleri incelerken ya da trigonometri çemberini kullanırken x-ekseninin pozitif yönünden başlayarak yukarı doğru dönersek, 0°’den 90°, 180°, 270° ve 360°’a değin saat yönünün tersi hareket etmiş oluruz. Bu, pozitif yönlü bir açıdır.
Öte yandan, 0°’dan 360°’a saat yönüyle dönmek istersek (yani 0°, -90°, -180°, -270°, -360° gibi ilerlersek), açı negatif yönlüdür.
10. Sonuç ve Kısa Özet
Sonuç olarak, soruda istenen “Şekilde verilen [OA, OB ve OC ışınları] için AOB, AOC ve BOC açıları arasından pozitif yönlü olanları bulunuz” talebi, büyük ihtimalle şu şekilde sonuçlanmaktadır:
- AOB: Pozitif yönlü açı.
- AOC: Negatif yönlü açı (çizimde OA’den OC’ye giderken saat yönünde bir dönüş olduğu varsayılıyor).
- BOC: Pozitif yönlü açı (OB’den OC’ye saatinin tersi yöne doğru dönüldüğü düşünülüyor).
Elbette kesinlik, kitabınızda çizilmiş olan şeklin konumlandırılmasına bağlıdır; ancak genellikle bu tip örneklerde “AOB ile BOC pozitif, AOC negatif” olarak verilir. Bu sonuçlar, başlangıç kenarından bitiş kenarına doğru saat yönü veya saat yönünün tersi olup olmadığına göre ortaya çıkar.
Özetle:
- Pozitif yön (counterclockwise) → saat yönünün tersi.
- Negatif yön (clockwise) → saat yönü.
Bu mantıkla bakıldığında, sorunun istediği şekilde AOB ve BOC büyük ihtimalle pozitif; AOC negatif olarak sıralanmıştır.
Şekilde Verilen [OA], [OB] ve [OC] Işınları İçin AOB, AOC ve BOC Açılarını Pozitif Yönlü Olanları Bulma
Answer:
Aşağıda, yönlü açılar (pozitif veya negatif) hakkında temel kavramlara değindikten sonra “AOB”, “AOC” ve “BOC” açılarını hangi durumlarda “pozitif yönlü” olarak kabul edebileceğinizi adım adım açıklayacağız.
Table of Contents
- Yönlü Açı Kavramı
- Pozitif ve Negatif Açı Yönü
- Örnek 14’te Verilen Işınlar
- AOB, AOC ve BOC Açılarını Yorumlama
- Örnek Bir Çizimle Açıklama
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Yönlü Açı Kavramı
Düzlemde, başlangıç noktaları (köşe) aynı olan iki ışının (kolun) oluşturduğu açıya “yönlü açı” diyebiliriz. Burada:
- Açı her zaman başlangıç kolundan (starting ray) bitiş koluna (terminal ray) doğru ölçülür.
- Yön, bir saatin akrep-yelkovan hareketine (clockwise) veya bunun tersi yöne (counterclockwise) göre incelenir.
Bir başka deyişle, yönlü açı; “A” isimli başlangıç ışınından “B” isimli bitiş ışınına hangi yönde kaç derece (veya radyan) dönüldüğünü ifade eder.
2. Pozitif ve Negatif Açı Yönü
-
Pozitif Yönlü Açı (Counterclockwise):
– Bitiş kolu, başlangıç kolundan “saatin tersi yönde” (counterclockwise) dönülerek elde ediliyorsa açı pozitif yönlüdür.
– Örnek: Matematikte standart kabul, x-ekseni üzerindeki sağa doğru (pozitif x yönü) ışın “başlangıç” sayıldığında, yukarı doğru (pozitif y yönü) ışına dönmek pozitiftir. -
Negatif Yönlü Açı (Clockwise):
– Bitiş kolu, başlangıç kolundan “saat yönünde” (clockwise) dönülerek elde ediliyorsa açı negatif yönlüdür.
– Örnek: Eğer x-ekseni üzerindeki sağa doğru ışından aşağı (negatif y yönü) doğru dönersek, saat yönünde ilerlemiş oluruz ve açı negatif yönlü kabul edilir.
3. Örnek 14’te Verilen Işınlar
Soruda veya kitapta yer alan şekilde, ortak köşe “O” olmak üzere üç ışın verilmiştir:
- [OA]
- [OB]
- [OC]
Bunlar düzlemde farklı yönlere dağılmış durumdadır (örneğin, A solda, B sağda, C yukarıda veya benzeri bir konumda olabilir). Soruda “AOB, AOC ve BOC” açılarını pozitif yönlü olarak hangi durumda değerlendireceğimiz isteniyor.
4. AOB, AOC ve BOC Açılarını Yorumlama
Aşağıda üç açı için de “başlangıç ışını” ve “bitiş ışını” tanımlayacağız:
-
AOB Açısı
- Başlangıç kolu: [OA]
- Bitiş kolu: [OB]
- Eğer [OB], [OA]’dan saat tersi yönde (counterclockwise) açılıyorsa bu açı pozitif yönlü olur.
- Saat yönünde (clockwise) ilerliyorsa negatif yönlü olur.
-
AOC Açısı
- Başlangıç kolu: [OA]
- Bitiş kolu: [OC]
- [OC], [OA]’ya göre saat tersi yönde dönülerek elde ediliyorsa pozitif yönlüdür; tam tersi ise negatif yönlüdür.
-
BOC Açısı
- Başlangıç kolu: [OB]
- Bitiş kolu: [OC]
- [OC], [OB]’den saat tersi yönünde dönülerek geliyorsa pozitif yönlüdür; saat yönünde dönülüyorsa negatif yönlüdür.
5. Örnek Bir Çizimle Açıklama
Aşağıdaki gibi hayali bir konumlandırma düşünelim (bu sadece örnek görselleştirme):
- “O” noktası orijin konumunda.
- “A” noktası negatif x-ekseni tarafında (solda).
- “B” noktası pozitif x-ekseni tarafında (sağda).
- “C” noktası ise yukarıda (pozitif y ekseninin bir yerinde).
Buna göre:
• “AOB” açısını incelediğimizde, A’dan B’ye doğru dönmeyi hayal edin. Soldan sağa doğru bir dönüş eğer yukarı yönlü bir hareket barındırmıyorsa (veya saat yönünde / saat tersi yönünde duruma göre) hangi tarafın pozitif olduğunu görebiliriz. Genellikle A (solda), B (sağda), C (yukarıda) ise A → B dönüşü saat yönünde olabilir. Bu, eldeki şeklin tam haline göre değerlendirilmelidir.
• “AOC” açısında ise A (solda) ile C (yukarıda) arasındaki dönüş, çoğu zaman saat tersi olur (zira soldan yukarıya dönmek saat tersi bir rotasyon gibi görünebilir). Bu durumda genellikle “AOC” pozitif yönlü açı olabilir.
• “BOC” için B (sağda) ile C (yukarıda) arasındaki dönüş çoğu zaman saat tersi yönde (sağdan yukarıya doğru). O hâlde “BOC” da pozitif yönlü kabul edilir.
Elbette kitabınızdaki/defterinizdeki şekle bakarak hangi açının tam olarak hangi yönde olduğunu net biçimde tespit etmelisiniz.
6. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, her bir açının pozitif olup olmaması için genel kural sunulmuştur:
| Açı (Başlangıç→Bitiş) | Saat Tersi (Counterclockwise) Olursa | Saat Yönü (Clockwise) Olursa |
|---|---|---|
| AOB (OA→OB) | Pozitif yönlü | Negatif yönlü |
| AOC (OA→OC) | Pozitif yönlü | Negatif yönlü |
| BOC (OB→OC) | Pozitif yönlü | Negatif yönlü |
Not: Tablodaki hangi dönüşün saat tersi veya saat yönü olduğunu anlamak için şekilden faydalanmalısınız.
7. Sonuç ve Kısa Özet
- Pozitif yönlü açı: Başlangıç ışınından bitiş ışınına doğru saatin tersi yönünde dönüyorsak pozitif kabul edilir.
- Negatif yönlü açı: Başlangıç ışınından bitiş ışınına doğru saat yönünde dönüyorsak negatif kabul edilir.
AOB, AOC, BOC açıları için tek tek değerlendirildiğinde, kitabınızdaki “Örnek 14” şekline göre (genelde) “AOC” ve “BOC” daha kolaylıkla “pozitif yönlü” olarak kabul edilirken, “AOB” bazen saat yönünde kalabilir veya hiç ters yöne dönük olabilir. Ancak kesin karar, elinizdeki çizimde [OA], [OB] ve [OC] ışınlarının dizilişine bağlıdır.
Kısacası, açıların hangi yönlü olduğunu belirlemek için:
- Açı adını okumak (AOB → OA’dan OB’ye),
- Şekildeki yönü incelemek (saat yönü mü? saat tersi yön mü?),
- Ona göre pozitif ya da negatif olduğuna karar vermek gerekir.
Umarım bu açıklama “Örnek 14” sorunuzun çözümünde yardımcı olmuştur. Çalışmalarınızda başarılar dilerim!