7
etata]-x
g(x+2) = h(x+1) = 2
h(2) = -3 olduğuna göre, f(-6) kaçtır?
A) 24
Jo
B) 42
C) 34
D) 30
E) 38
Fonksiyonlarda Ters Fonksiyon ve Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir fonksiyonun tersi için: f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b
- Dolayısıyla f^{-1}\big(x^2 + g(x)\big) = x \iff f(x) = x^2 + g(x)
- h(a) = b \iff h^{-1}(b) = a
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x) Fonksiyonunun Kuralını Belirleme
Verilen f^{-1}\big(x^2 + g(x)\big) = x eşitliğinde her iki tarafın f altındaki görüntüsünü alalım:
f(x) = x^2 + g(x)
Bizden f(-6) değeri istendiği için x = -6 yazalım:
f(-6) = (-6)^2 + g(-6) = 36 + g(-6)
Adım 2 — h(2) = -3 Bilgisini Kullanarak Ters Fonksiyon Değerini Bulma
Ters fonksiyon tanımı gereği:
h(2) = -3 \iff h^{-1}(-3) = 2
Adım 3 — g(-6) Değerini Elde Etme
Eşitlikte parantez içi -3 olacak şekilde x değerini belirleyelim:
x + 1 = -3 \implies x = -4
Bu tür soru tiplerinde g(-6) değerine ulaşmak hedeflendiğinden, ikinci denklemdeki bağıntı g(x - 2) = h^{-1}(x + 1) biçimindedir (sorudaki dizgi/baskı hatası gereği g(x+2) yerine g(x-2) olmalıdır; aksi halde g(-6) tanımlı verilerle hesaplanamaz):
x = -4 \text{ için } g(-4 - 2) = h^{-1}(-4 + 1)
g(-6) = h^{-1}(-3) = 2
Adım 4 — f(-6) Değerini Hesaplama
Bulduğumuz g(-6) = 2 değerini 1. adımda yerine yazalım:
f(-6) = 36 + 2 = 38
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E — 38
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters Fonksiyon Geçişi: y = f(x) iken iç ile dış yer değiştirdiğinde f^{-1}(y) = x olur. Fonksiyonun içi ile dışını yer değiştirerek ters fonksiyon sembolünden kurtulabiliriz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Soru kökündeki g(x+2) ifadesine doğrudan x = -4 yazıp g(-2) = 2 bularak f(-6)'ya ulaşamayıp soruyu çözümsüz bırakmak.- Doğru Yaklaşım: Soruda istenen f(-6) için g(-6)'ya ihtiyaç olduğunu fark etmek ve h^{-1}(-3) değerini verecek x = -4 değerinin g fonksiyonunun içini -6 yapması gerektiğini (baskı düzeltmesiyle) görmek.
Ters fonksiyon ve bileşke içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?