Merhaba Nazar! Lütfen aşağıdaki çözüm yöntemlerini dikkatlice takip edin. İlk sorunun çözümüne odaklanalım:
1. Soru Çözüm Adımları:
Sorunun Özeti:
- Mavi parçaların sayısının, kırmızı parçaların sayısına oranı: 5/2.
- Kırmızı parçaların sayısı, boyalı olmayan parçaların sayısının 4 katı.
- Toplam boyalı parça sayısını bulmamız isteniyor.
Varsayımlar ve Denklem Kurma:
- Kırmızı parçalar = x.
- Kırmızı parçalara göre:
- Mavi parçalar: \frac{5x}{2}.
- Boyalı olmayan parçalar: \frac{x}{4}.
Toplam boyalı parça sayısı: kırmızı parçalar + mavi parçalar.
Boyalı Olmayanları Ekleme:
Sorunun verdiği ikinci şart:
- Kırmızı parçalar, boyalı olmayanların 4 katı.
Bu bilgiyle:
Bu doğru olduğundan ek denklem gerektirmiyor.
Denklemi Çözümüne İlerle ve Toplamı Hesapla:
Denkleme direkt yaz:
Paydaları eşitle:
Sonuçları Karşılaştır:
Soruda verilen toplam boyalı parça sayıları (A, B, C, D, E seçenekleri) dikkate alınır. Toplam bölünebilirlik \frac{7x}{2} olduğundan doğru sonuç B şıkkı: 180 olabilir.
Doğruluk ve Tercih
Eğer ek sorunuz varsa @Nazar1, yorum yaparak detay isteyebilirsiniz! 
Buna göre bu şeklin boyalı parça sayısı kaç olabilir?
Answer:
Aşağıdaki çözüm adımları, mavi, kırmızı ve boyasız parçalar arasındaki ilişkiyi sistematik olarak inceleyerek sorunun cevabına ulaşır:
Adım 1: Değişkenleri Tanımlama
- Mavi parça sayısı = x
- Kırmızı parça sayısı = y
- Boyalı olmayan (boyasız) parça sayısı = z
- Toplam parça sayısı, n satır ve n sütun olduğu için = n × n = n²
Adım 2: Verilen Oranlar ve İlişkiler
-
Mavi/Kırmızı oranı:
$$\frac{x}{y} = \frac{5}{2} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{5}{2}y.$$
Kolaylık olsun diye x=5k ve y=2k (her ikisi de aynı k katsayısına bağlı). -
Kırmızı, boyalı olmayanın 4 katı:
$$y = 4z \quad \Longrightarrow \quad z = \frac{y}{4} = \frac{2k}{4} = \frac{k}{2}.$$
Bu adımlardan sonra:
- Mavi (x) = 5k
- Kırmızı (y) = 2k
- Boyasız (z) = k/2
Adım 3: Toplam Parça Sayısını Eşitleme
Toplam parça sayısı n^2 olduğundan:
Yerine koyduğumuzda:
k, bir tam sayı olmalıdır. Bu, $n^2$’nin 15 ile bölünebilmesi gerektiğini gösterir. En küçük pozitif tam sayı çözümü elde etmek için n=15 seçilebilir (çünkü 15^2=225 ve 225, 15’in katıdır).
- n=15 \implies k = \frac{2 \times 15^2}{15} = \frac{2 \times 225}{15} = 30.
Böylece:- x = 5k = 5 \times 30 = 150 (Mavi)
- y = 2k = 2 \times 30 = 60 (Kırmızı)
- z = \frac{k}{2} = \frac{30}{2} = 15 (Boyasız)
Kontrol:
- Toplam = 150 + 60 + 15 = 225 = 15 \times 15 = n^2.
- Verilen koşulları sağlıyor:
- \frac{x}{y} = \frac{150}{60} = \frac{5}{2}, \quad y=4z = 60=4\times15.
Adım 4: Boyalı Parça Sayısını Bulma
Boyalı kısım = Mavi + Kırmızı = 150 + 60 = 210.
Bu, soruda verilen çoktan seçmeli şıklar arasında 210 seçeneğine karşılık gelir.
Dolayısıyla boyalı parça sayısı 210 olabilir.
n ∈ Z⁺ olmak üzere n×n’lik bir şeklin mavi ve kırmızı boyalı parçalarıyla ilgili problem nasıl çözülür?
Cevap:
Aşağıdaki problemde, bir n×n boyutlu şeklin (yani toplamda n² adet eş parça/satır-sütun) bazı parçaları mavi, bazıları kırmızı, geri kalanları ise boyasız durumdadır. Veriler şu şekildedir:
- Mavi parçaların sayısının (M), kırmızı parçaların sayısına (K) oranı:\frac{M}{K} = \frac{5}{2}
- Kırmızı parçaların sayısı (K), boyasız parçaların (U) tam 4 katıdır:K = 4U
- Şeklin tüm parçalarının toplamı (n²), yani M + K + U, bir kare sayı oluşturmalıdır (çünkü n ∈ Z⁺, şekil n×n).
- Soru: “Bu şeklin boyalı parça sayısı (yani M + K) kaç olabilir?”
Seçenekler:
A) 210
B) 180
C) 150
D) 146
E) 132
Aşağıdaki adımlarda problem sistematik biçimde çözülmüştür.
İçindekiler
- Problemin Tanımı
- Temel Değişkenler ve Denklemler
- Toplam Parça Sayısının Kare Olması Koşulu
- Adım Adım Çözüm
- Tablo ile Değerlerin Hesaplanması
- Sonuç ve Seçeneğin Doğrulanması
- Özet ve Önemli Noktalar
1. Problemin Tanımı
Bu problemde, n pozitif tam sayı olmak üzere n×n boyutlu bir şeklin 3 ayrı renkten (mavi, kırmızı ve boyasız) oluşan bölümleri vardır. Problemin bize verdiği temel bilgiler:
- Mavi parçaların sayısı, kırmızı parçaların sayısına 5/2 oranındadır.
- Kırmızı parçaların sayısı, boyasız parçaların sayısının 4 katıdır.
- Şekil n×n olduğundan, toplam parça sayısı n² olmalıdır.
Bizden istenen: Boyalı parça sayısı (mavi + kırmızı) hangi değere eşit olabilir?
2. Temel Değişkenler ve Denklemler
Aşağıdaki değişkenleri kullanalım:
- M: Mavi parçaların sayısı
- K: Kırmızı parçaların sayısı
- U: Boyasız parçaların sayısı
Verilen koşullara göre:
- Oran:\frac{M}{K} = \frac{5}{2} \quad \Longrightarrow \quad M = \frac{5}{2}\,K
- Kırmızı sayısının boyasız sayısına oranı:K = 4\,U \quad \Longrightarrow \quad U = \frac{K}{4}
- Toplam parça sayısı, şekil n×n olduğundan:M + K + U = n^2 \quad (\text{kare sayı})
Bu son koşul, toplamın bir kare sayı (mesela 144, 169, 196, 225 vb.) olması gerektiği anlamına gelir.
3. Toplam Parça Sayısının Kare Olması Koşulu
Üç değişkenin toplamı:
ama M ve U, K cinsinden ifade edilebilir. O halde:
- M = \frac{5}{2}\,K
- U = \frac{K}{4}
Bunları M + K + U ifadesine koyunca:
Adım adım toplayalım:
- \frac{5}{2}\,K + K = \frac{5}{2}\,K + \frac{2}{2}\,K = \frac{7}{2}\,K
- Şimdi üstüne \frac{K}{4} ekleyelim. Önce $\frac{7}{2},K$’yi \frac{14}{4}\,K olarak yazabiliriz (ortak payda 4 almak için):\frac{14}{4}\,K + \frac{1}{4}\,K = \frac{15}{4}\,K.
Dolayısıyla,
Bu ifadenin bir tam kare sayı olabilmesi için \frac{15}{4}\,K tam kareye eşit olmalıdır.
4. Adım Adım Çözüm
Adım 1: “n² = 15K / 4” ifadesini tam kare yapma
- \displaystyle \frac{15}{4}\,K bir tam sayı ve tam kare olmalı.
- Bu demektir ki K en azından 4’ün katı olmalı ki ifade tam sayı olsun. Çok daha önemlisi, 15 ile çarpıldığında tam kare olsun diye, K/4 ve 15 arasındaki çarpımın kare olması gerekir.
Adım 2: K’yı 4’ün katı olarak al
K’yi 4k' şeklinde yazalım (k' \in \mathbb{Z}^+). Bu durumda:
Yani n^2 = 15\,k'. Demek ki 15\,k' bir kare sayı. 15’in asal çarpanları 3 ve 5’tir. Bir tam sayının kare olabilmesi için bütün asal çarpanlarının çift sayıda tekrarlanması gerekir. 15’te 3 ve 5 birer kez geçiyor. O halde $k’$’da en az bir 3 ve bir 5 daha olmalı ki toplamda 3² ve 5² gibi “tam kare” yapsın. Asgari koşulla k' = 15\,(\text{bir kare sayı}). En küçük kare sayı 1 olduğuna göre k' = 15 (çünkü 1 zaten kare).
Adım 3: En küçük örnek – k' = 15
- k' = 15 olsun. O zaman:n^2 = 15 \times 15 = 225 \quad \Longrightarrow \quad n = 15.
Bu da bize toplam parça sayısının 225 olduğunu gösterir. Bu, 15×15 boyutlu bir şekildir.
Adım 4: Bu durumda K, M ve U değerleri
- K = 4k' = 4 \times 15 = 60.
- M = \frac{5}{2} \,K = \frac{5}{2}\times 60 = 150.
- U = \frac{K}{4} = \frac{60}{4} = 15.
Bu doğrultuda:
Adım 5: Boyalı Parça Sayısı (M + K)
- Mavi + Kırmızı = 150 + 60 = 210.
Bu sonuç, boyalı parça sayısının 210 olabileceğini gösterir.
5. Tablo ile Değerlerin Hesaplanması
Aşağıdaki tabloda en küçük geçerli örnek (k'=15) için ilgili değerler özetlenmiştir:
| Adım | Denklem/Değer | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. n^2 = \frac{15}{4}\,K | $K$’yı 4k' alarak tam kareye ulaştırma | n^2 = 15k' |
| 2. k' = 15 | n^2 = 15 \cdot 15 = 225 | n = 15 |
| 3. K = 4k' | K = 4 \times 15 | K = 60 |
| 4. M = \tfrac{5}{2}K | M = 2.5 \times 60 | M = 150 |
| 5. U = \tfrac{K}{4} | U = \tfrac{60}{4} | U = 15 |
| 6. M + K + U | 150 + 60 + 15 | 225 (n²) |
| 7. Boyalı (M+K) | 150 + 60 | 210 |
6. Sonuç ve Seçeneğin Doğrulanması
Problemde “Bu şeklin boyalı parça sayısı kaç olabilir?” sorusunun çoktan seçmeli cevabı için yaptığımız analizde aşağıdaki sonucu elde ettik:
- Boyalı parça sayısı = M + K = 210.
Verilen seçenekler arasında 210 bulunduğu için (A şıkkı), sorunun doğru cevabı 210’dur.
7. Özet ve Önemli Noktalar
- Oranlar: Mavi/Kırmızı = 5/2; Kırmızı/Boyasız = 4/1.
- Toplam Kare Şartı: Toplam parça sayısı n² olmalı.
- Değişkenlerin Açılımı:
• M = (5/2)K
• U = K/4
• Toplam = (15/4)K = n² - K’nın 4’ün katı olma zorunluluğu ve 15 ile çarpımının kare sayı olması koşulundan en küçük n=15 bulunur.
- Boyalı Parça: M + K = 210 çıkar.
Bu nedenle, problemde istenen “boyalı parça sayısı” 210 olarak cevaplanır.