SORU: [Verilen limit ve süreklilik koşullarına göre hangi ifadeler doğrudur?]
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği:\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
- Limitin toplama fonksiyonu için dağıtılması:\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen limit eşitliklerini incele:
Burada limitlerin toplamı 1 + 3 = 4 olmalıdır normalde. Ancak verilen limit 9. Bu durum, \lim_{x \to 1} (f(x) + g(x)) \neq \lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 1} g(x) olduğunu gösterir.
Adım 2 — İfadeleri tek tek değerlendir:
-
I. f fonksiyonu x=1 noktasında süreklidir.
Süreklilik için:\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)Limit verilmiş, \lim_{x \to 1} f(x) = 1 , ama f(1) ifadesi soruda verilmemiş. Ayrıca limitin toplamda dağılımadığı düşünüldüğünde, f fonksiyonunun sürekliliği kesin değil.
-
II. g fonksiyonu x=1 noktasında süreklidir.
Aynı şekilde \lim_{x \to 1} g(x) = 3 verilmiş ama g(1) bilinmiyor. Süreklilik için limit f(1) veya g(1) ile aynı olmalı. -
III. f ve g fonksiyonlarından her ikisi de x=3 apsisli noktada süreklidir.
x=3 için verilen bir bilgi yok, dolayısıyla bu ifade hakkında yorum yapılamaz.
Adım 3 — Sonuç çıkarımı:
-
Limitin toplamı eşit değil (4 \neq 9), bu da en az bir fonksiyonun x=1 noktasında süreksiz olduğunu gösterir. Dolayısıyla I. ve II. ifadeler yanlış.
-
III. ifade hakkında bilgi yok, yani bu ifade doğru olabilir ama kesin bir bilgimiz yok.
CEVAP: C) Yalnız III
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Fotoğraf net değil; anladığım kadarıyla verilenler muhtemelen \lim_{x\to1}f(x)=1 ve \lim_{x\to1}g(x)=3. Buna göre şu ifadelerden hangileri doğrudur?
I. f fonksiyonu x=1 noktasında süreklidir.
II. g fonksiyonu x=1 noktasında süreklidir.
III. f ve g fonksiyonlarının her ikisi de x=3 noktasında süreklidir.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Süreklilik koşulu: Bir f fonksiyonu x=a’da sürekli olması için \lim_{x\to a}f(x) var olmalı ve \lim_{x\to a}f(x)=f(a) olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Süreklilik için ne gerekir
- Süreklilik için hem limitin var olması hem de fonksiyon değerinin o limite eşit olması gerekir. Sadece limitin var olması sürekliliği garanti etmez.
Adım 2 — Verilen bilgiler sadece limitlerse
- Eğer sadece \lim_{x\to1}f(x)=1 ve \lim_{x\to1}g(x)=3 verilmiş ve f(1) ile g(1) değerleri verilmemişse:
- I için: YANLIŞ (çünkü f(1) = 1 olduğu belirtilmemiş).
- II için: YANLIŞ (çünkü g(1) = 3 olduğu belirtilmemiş).
- III için: YANLIŞ (x=3 ile ilgili hiçbir bilgi yok).
Sonuç: Hiçbir ifade kesin doğru çıkarılamaz (verilen seçenekler arasında bu yoksa fotoğrafta eksik bilgi olabilir).
Adım 3 — Eğer ek olarak f(1)=1 ve g(1)=3 de verilmişse
- O halde hem limit hem de fonksiyon değeri eşit olduğundan f ve g x=1’de süreklidir. Yani I ve II doğrudur, III yanlış. Bu durumda doğru seçenek I ve II (seçenek D) olur.
CEVAP: Fotoğraf net değil; eğer sadece limitler verilmişse hiçbir ifade kesin doğru çıkarılamaz. Eğer ayrıca f(1)=1 ve g(1)=3 verilmişse doğru olanlar I ve II (seçenek D) olur.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?