B. Başlangiçta kumbarasında 32 TL olan Engin, her
gün kumbarasina 15 TL atarak para biriktirdiğinde
kumbarasindaki paralarn toplamı ABC üç basamaklı doğal
sayisı oluyor. Daha sonra Engin biriktirdiği bu paradan her
gün 10 TL harcayarak rakamlan farkls BC iki basamakli
sayisina ulaşıyor.
Buna göre, Engin’in para biriktirdigi ve para harcadiğ
toplam gün sayisı en az kaçtir?
A) 16
B) 17
c) 18
D) 19
E) 20
Engin’in Kumbara Sorusu ve Toplam Gün Sayısı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / MANTIK:
Bu problemde birikim ve harcama süreçlerini matematiksel denklemlere dökerek en küçük gün sayısını bulacağız.
- Birikim Denklemi: 32 + (15 \times n) = ABC
- Harcama Denklemi: ABC - (10 \times m) = BC
- Çözümleme: ABC = 100A + BC
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Harcama Sürecini Analiz Etme
Engin ABC lira biriktirdikten sonra her gün 10 TL harcayarak BC liraya düşüyor.
ABC - 10m = BC
Sayıyı basamaklarına ayıralım:
100A + BC - 10m = BC
100A = 10m \implies 10A = m
Burada m, harcama yapılan gün sayısıdır. A bir rakam olduğu için m, 10’un katı olmalıdır.
Adım 2 — Birikim Sürecini Analiz Etme
Başlangıçta 32 TL vardı, her gün 15 TL ekleyerek n gün sonunda ABC liraya ulaştı:
32 + 15n = ABC
15n = ABC - 32
Bu denklemde ABC - 32 ifadesi 15’in tam katı olmalıdır. 15’e bölünme kuralı gereği sayı hem 3’e hem de 5’e tam bölünmelidir.
Adım 3 — En Küçük Değerleri Belirleme
Toplam gün sayısının (n + m) en az olması için A rakamını en küçük seçmeliyiz. ABC üç basamaklı olduğu için en az A=1 olur.
- Eğer A=1 ise, m = 10 \times 1 = 10 gün (Harcama süresi).
- ABC sayısı 1BC formatındadır. ABC - 32 sayısının 15’e bölünmesi gerekir.
- 1BC sayısının son rakamı (C) ya 2 ya da 7 olmalıdır (15’e bölünen sayının sonu 0 veya 5 olmalı, 32 ekleyince 2 veya 7 olur).
Adım 4 — Sayıları Deneme ve Doğrulama
A=1 için ABC değerlerini inceleyelim:
- C=2 olsun. Sayı 1B2 olur. 1B2 - 32 = 15n. Sayı 5’e bölünür. 3’e bölünmesi için (1+B+2-3-2) toplamı 3’ün katı olmalıdır. En küçük B=2 olur (122). Ancak soruda BC rakamları farklı denmiş, 122 olamaz. Bir sonraki B=5 olur (152). 152-32=120. 120/15=8 gün (n).
- C=7 olsun. Sayı 1B7 olur. 1B7-32 = 15n. 3’e bölünme için 1+B+7-3-2 = B+3 toplamı 3’ün katı olmalıdır. En küçük B=0 olur (107). 107-32=75. 75/15=5 gün (n).
Adım 5 — Toplam Gün Sayısını Hesaplama
ABC = 107 durumunda:
- Biriktirme gün sayısı (n): 5 gün
- Harcama gün sayısı (m): 10 \times 1 = 10 gün
- Toplam: 5 + 10 = 15 gün (Seçeneklerde yok, A=1 için diğer ihtimale bakalım).
ABC = 152 durumunda (n=8, m=10): 18 gün.
ABC = 127 durumunda (n=(127-32)/15 = 6.33 tam sayı değil).
ABC = 182 durumunda (n=(182-32)/15 = 10 gün): 10 + 10 = 20 gün.
ABC = 137 durumunda (n=(137-32)/15 = 7 gün): 7 + 10 = 17 gün. (Rakamlar farklı BC=37 şartını sağlar).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Analizi
- Tanım: Bir sayının rakamlarının bulunduğu konuma göre değer almasıdır.
- Bu problemde: ABC sayısını 100A + BC şeklinde yazarak harcama gün sayısını A cinsinden bulmamızı sağladı.
2. Bölünebilme Kuralları
- Tanım: Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini belirleyen kurallar.
- Bu problemde: 15 ile bölünebilme kuralı (3 ve 5) kullanılarak gün sayısının tam sayı çıkması sağlandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Rakamları Farklı Şartını Unutmak
- Yanlış: BC sayısının rakamları farklı ibaresini görmeyip B=C olan değerleri almak.
- Doğru: Her adımda BC ikilisinin rakamlarını kontrol etmek.
- Neden Yanlış: Sorunun kısıtlayıcı şartı cevabı doğrudan etkiler.
Bu çözümde ABC=137 seçildiğinde n=7 ve m=10 bulunarak toplam en az 17 güne ulaşılmıştır.
Bu problemin harcama kısmında A=2 olsaydı gün sayısı neden çok daha fazla çıkardı, tahmin edebilir misin?