Gugjvhvh

[Selin_Celik (Selin Çelik)]

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

a ve b doğal sayılar olmak üzere [\log_3 2, \log_a 63] aralığındaki tam sayıların toplamı ile [\log_3 30, \log_2 65] aralığındaki tam sayıların toplamı birbirine eşittir. Buna göre, [\log_a 3, \log_b 32] aralığındaki tam sayıların toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Logaritmanın tanımı ve tam sayı aralığında logaritmik sayılar
• \log_x y = z \iff x^z = y
• Tam sayı aralığı sayısı: \lfloor b \rfloor - \lceil a \rceil + 1 formülü (tam sayı sayısı)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen aralıklar ve a, b için ifadeler
İlk verilen aralık:

[\log_3 2, \log_a 63]

İkinci verilen aralık:

[\log_3 30, \log_2 65]

Burada a, b doğal sayılar.

Adım 2 — Logaritmaları üs olarak yazalım

\log_a 63 = \frac{\log_3 63}{\log_3 a} = \frac{\log_3 (3^2 \cdot 7)}{\log_3 a} = \frac{2 + \log_3 7}{\log_3 a}

Benzer şekilde, \log_b 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 b} = \frac{5}{\log_2 b}.

Fakat önce verilen eşitliği kullanalım.

Adım 3 — Verilen tam sayı toplamlarının eşitliği
Tam sayılar bir aralıktaki tam sayının sayısıdır:

\text{İlk aralıktaki tam sayı sayısı} = \lfloor \log_a 63 \rfloor - \lceil \log_3 2 \rceil + 1

\text{İkinci aralıktaki tam sayı sayısı} = \lfloor \log_2 65 \rfloor - \lceil \log_3 30 \rceil + 1

Bunlar eşit olduğuna göre:

\lfloor \log_a 63 \rfloor - \lceil \log_3 2 \rceil + 1 = \lfloor \log_2 65 \rfloor - \lceil \log_3 30 \rceil + 1

Şimdi sayısal değerleri bulalım:

\log_3 2 \approx 0.63 \implies \lceil 0.63 \rceil = 1

\log_3 30 \approx \log_3 (3 \cdot 10) = 1 + \log_3 10 \approx 1 + 2.095 = 3.095 \implies \lceil 3.095 \rceil = 4

\log_2 65 \approx \log_2 (64 \cdot 1.0156) \approx 6 + \log_2 1.0156 \approx 6 + 0.022 \approx 6.022 \implies \lfloor 6.022 \rfloor = 6

Yerine koyarsak:

\lfloor \log_a 63 \rfloor - 1 + 1 = 6 - 4 + 1

\lfloor \log_a 63 \rfloor = 3

Adım 4 — \log_a 63 değerini yeniden yazalım

\log_a 63 = \frac{\log_3 63}{\log_3 a} = \frac{2 + \log_3 7}{\log_3 a}

Yaklaşık \log_3 7 \approx 1.77, o halde:

2 + 1.77 = 3.77

Öyleyse:

\lfloor \frac{3.77}{\log_3 a} \rfloor = 3

Bu ifadenin yaklaşık 3’e eşit olması için,

3 \leq \frac{3.77}{\log_3 a} < 4

Yani:

\frac{3.77}{4} < \log_3 a \leq \frac{3.77}{3}

0.9425 < \log_3 a \leq 1.2566

Bu aralıktaki \log_3 a doğal sayılar için a değerlerini bularak devam edelim.

\log_3 a = k \implies a = 3^k

Bu durumda, a aralığı:

3^{0.9425} < a \leq 3^{1.2566}

Yaklaşık:

2.7 < a \leq 3.4

a doğal sayı olduğundan a = 3.

Adım 5 — \log_b 65 değeri ve b bulunması

Şimdi aynı şekilde \log_b 65 ile b’yi bulalım.

Önce \log_b 65 için çıkarım yapalım.

18. adımdan önce, a=3 olduğunu bulduk.

b için benzer işlemleri yapalım.

Tam sayılar aralığında şu ifade var:

\log_b 65 = \frac{\log_2 65}{\log_2 b} \approx \frac{6.022}{\log_2 b}

Tam sayı mı? Şu ifade, yine 3 çıktı mı?

Hayır, altta kullandığımız eşitlik zaten tam sayılar toplamları eşit olduğundan b’yi bulabiliriz.

Adım 6 — Son soru için [\log_a 3, \log_b 32] aralığı

Burada:

\log_3 3 = 1

\log_b 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 b} = \frac{5}{\log_2 b}

Şimdi b için aralık belirleyelim. Önce sorudaki ilk tam sayılar toplamı eşitliği kullanılarak b değeri hesaplanabilir, ama en kolay yol a \cdot b ürününü bulmak olabilir.

Ama soruda istenen [\log_a 3, \log_b 32] aralığındaki tam sayıların toplamıdır.

[\log_3 3, \log_b 32] = [1, \log_b 32]

Tam sayı sayısı:

\lfloor \log_b 32 \rfloor - \lceil 1 \rceil + 1 = \lfloor \log_b 32 \rfloor - 1 + 1 = \lfloor \log_b 32 \rfloor

Yani \log_b 32 sayısının tam kısmı.

b değeri doğal sayı ve a=3 olarak elde edildi.

b için tekrar eşitliklere bakalım ya da a \cdot b çarpımını bulmak için sorunun başına dönelim.

---

Alternatif Yöntem:

Soru başında a, b doğal sayılar.
Verilen eşitlik:

[\log_3 2, \log_a 63] \text{ içindeki tam sayıların toplamı} = [\log_3 30, \log_2 65] \text{ içindeki tam sayıların toplamı}

Yukarıdaki adımlardan a=3.

Şimdi b doğal sayıdır.

\log_a 63 = \log_3 63 = 3.77 (kesinleşti)

\log_3 2 \approx 0.63

İlk aralıktaki tam sayılar: 1, 2, 3 (3 sayı)

İkinci aralık: [\log_3 30, \log_2 65] = [3.095, 6.02] yani tam sayılar 4, 5, 6 (3 sayı)

Bu toplama eşittir (her ikisi de 3 tam sayı içeriyor).

Böylece b=2.

Şimdi sorunun cevabını bulalım:

[\log_a 3, \log_b 32] = [\log_3 3, \log_2 32] = [1, 5]

Tam sayılar: 1, 2, 3, 4, 5 (toplam 5 tam sayı)

---

CEVAP: 5

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sinav_Rehberi (YKS ve LGS Sınav Rehberi)]

Metindeki ikinci aralık tam olarak nasıl yazıyor, doğrular mısın? İki ihtimal görüyorum; hangisi doğru?

1. [log_a 30, log_b 65]
2. [log_3 30, log_2 65]

Ayrıca a ve b için “doğal sayılar” derken a,b ≥ 2 mi kabul edeyim?

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?