Soru: Verilen görselde, ön yüzü mavi, arka yüzü sarı olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt parçası önce sol tarafından \frac{1}{5} oranında, sonra sağ tarafından \frac{1}{4} oranında katlanmıştır. Oluşan son durumda mavi ve sarı alanların oranını hesaplayınız.
Çözüm:
Katlama Durumu
-
Dikdörtgenin Boyutları ve Bölünmesi: Kağıdın tamamını ifade eden dikdörtgenin alanına bir birim diyelim (örneğin 1 \times 1 boyutunda).
- Sol taraftan yapılan \frac{1}{5} katlama ile mavi kısmın $\frac{4}{5}$’i görünür kalır.
- Sağ taraftan \frac{1}{4} katlama ile sarı kısmın $\frac{3}{4}$’ü görünür kalır.
-
Dikdörtgenin Katlanma Alanları:
- Sol taraftan katlanma sonucu, \frac{1}{5} genişlikte mavi alan içeride (sol tarafın altına) gizlenmiştir, geriye \frac{4}{5} genişlik kalır.
- Sağ taraftan katlama sonucu, \frac{1}{4} genişlikte sarı alan içeride (sağ tarafın altına) gizlenmiştir, geriye \frac{3}{4} genişlik kalır.
Görünür Alanlar
Katlamadan sonra kapakta görünen alanlar:
- Mavi alan: Genişliği \frac{4}{5}, yüksekliği 1 olduğu için toplam mavi alan:
Mavi = \frac{4}{5} \cdot 1 = \frac{4}{5} - Sarı alan: Genişliği \frac{3}{4}, yüksekliği 1 olduğu için toplam sarı alan:
Sarı = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}
Oran Hesabı
Son durumda mavi alanın sarı alanlara oranı:
\text{Mavi / Sarı} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{15}
Sonuç olarak yapılan hesaplara göre seçeneklerde yok düzeltelim.
Katlanmış Dikdörtgenin Mavi ve Sarı Alan Oranı Nasıl Hesaplanır?
Cevap:
Table of Contents
- Problemin Anlaşılması
- Adım Adım Çözüm - Katlamaların Geometrisi
- Matematiksel Hesaplamalar
- Özet Tablosu
- Kısa Özet
1. Problemin Anlaşılması
Ön yüzü mavi, arka yüzü sarı olan dikdörtgen şeklinde bir kâğıt, soldan uzunluğunun
$(\tfrac{1}{5})’i ve sağdan uzunluğunun (\tfrac{1}{4})$’ü katlandığında, görseldeki gibi orta kısımda mavi, yanlarda ise sarı kısımlar görünür hale gelmektedir. Son durumda:
• Mavi dikdörtgenin alanı (ortada kalanın görünür mavi yüzü),
• İki yanda üstte görünen sarı dikdörtgenlerin toplam alanı
istenmektedir. Soru, mavi alanın sarı alanlar toplamına oranını sorar.
2. Adım Adım Çözüm – Katlamaların Geometrisi
-
Dikdörtgeni Modelleme:
- Toplam uzunluğu 1 kabul edelim (yükseklik de 1 olsun).
- Soldan katlanan kısım: 1/5 birim.
- Sağdan katlanan kısım: 1/4 birim.
-
Katlama Noktalarının Yerleri:
- Sol katlama çizgisi: x= \tfrac{1}{5}. Katlanan kısım [0,\tfrac{1}{5}] aralığıdır.
- Sağ katlama çizgisi: x=\tfrac{3}{4}. Katlanan kısım [\tfrac{3}{4},1] aralığıdır.
-
Katlanan Kısımların Yeni Konumu:
- Sol taraftaki [0,\tfrac{1}{5}] aralığı, sınırdan (yani $x=\tfrac{1}{5}’ten) içeri doğru katlanarak [\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5}]$ aralığını örter. Katlanan yüzün arka tarafı (sarı) artık üstte görünür hale gelir.
- Sağ taraftaki [\tfrac{3}{4},1] aralığı da benzer şekilde [\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}] aralığını örtmek için katlanır ve üstte sarı renk görünür.
-
Son Görünür Bantlar (Soldan Sağa):
- [\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5}]: Katlanmış sarı yüz (genişlik = 0.2).
- [\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{2}]: Katlanmamış mavi yüz (genişlik = 0.1).
- [\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}]: Katlanmış sarı yüz (genişlik = 0.25).
3. Matematiksel Hesaplamalar
-
Genişlikleri Toplamı:
- Mavi bölge genişliği: 0.1
- Sarı bölgelerin genişlikleri: 0.2 ve 0.25
- Kâğıdın yüksekliğini 1 aldığımız için her bir dikdörtgenin alanı (genişlik \times yükseklik) olarak hesaplanabilir.
-
Mavi Dikdörtgen Alanı:
\text{Alan}_{\text{mavi}} = 0.1 \times 1 = 0.1 -
Sarı Dikdörtgenlerin Toplam Alanı:
\text{Alan}_{\text{sarı}} = (0.2 \times 1) + (0.25 \times 1) = 0.2 + 0.25 = 0.45 -
İstenen Oran (Mavi / Sarı):
\frac{0.1}{0.45} = \frac{1}{4.5} = \frac{2}{9}
Bu da soruda verilen şıklardan 2/9’u işaret etmektedir.
4. Özet Tablosu
| Katlama Kısmı | Katlamadan Sonraki Konum | Görünen Renk | Genişlik | Alan |
|---|---|---|---|---|
| Soldaki 1/5 (0 - 0.2) | Katlanıp 0.2 - 0.4 aralığını örter | Sarı | 0.2 | 0.2 × 1 = 0.2 |
| Orta Kalan (0.2 - 0.75 arası, ancak sarıları ayırınca 0.4 - 0.5) | Katlanmamış orta parça | Mavi | 0.1 | 0.1 × 1 = 0.1 |
| Sağdaki 1/4 (0.75 - 1) | Katlanıp 0.5 - 0.75 aralığını örter | Sarı | 0.25 | 0.25 × 1 = 0.25 |
| Toplam Sarı Alan | — | — | — | 0.45 |
| Toplam Mavi Alan | — | — | — | 0.1 |
| Oran (Mavi / Sarı) | — | — | — | 2/9 |
5. Kısa Özet
Dikdörtgenin soldan $(\tfrac{1}{5})’lik ve sağdan (\tfrac{1}{4})$’lük kısımları katlandığında, üstte gözüken sarı bantların toplam genişliği 0.45, ortadaki mavi bandın genişliği ise 0.1 olur. Böylece mavi alanın (0.1) sarı alanlara (0.45) oranı \tfrac{0.1}{0.45} = \tfrac{2}{9} olarak bulunur.